Một số kết quả của schwat về tích các hàm suy rộng

Hàm suy rộng là một khái niệm mởrộng từ khái niệm hàm số điển, trong đó ngoài lớp hàm thông thường, người ta thêm vào hàm đo khả địa phương và hàm thông thường mà một đại diện là hàm Del

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu tới thầy giáo TS Tạ Trí đã tận

tình hướng dẫn để em thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

khoaToán toànthể thầy trong trường Đại Sư Phạm Hà Nội

2 đã dạy bảo vàtruyền đạt kiến em trong suốt quá trình tập tại

trường

Qua đâyem xin gửilời ơn thành tớigia đình,bạnbè

đã ở bên vũ, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình tập và

hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

giả

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Tôi xin đoan dưới sự hướng dẫn thầy giáo TS Tạ Trí khóa

luận hoànthành không trùng vớibất kỳ trình khoa nào

Trong quá trình hiện khóa luận tôi đã kế thừa thànhtựu nhà

khoa với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

giả

Nguyễn Thị Hồng Nhung

1 Lýthuyếthàmsuyrộng 7

1.1 Một số thuật ngữ vàkháiniệm bản 7

1.2 Không gian hàm thử 8

1.3 Hàm suyrộng 10

2 hàmsuyrộng 14 2.1 14

2.1.1 trong khônggian L p (R n ) 14

2.1.2 haihàm suy rộng 16

2.2 một hàm trơn vàmột hàm suy rộng 18

2.3 haihàm suyrộng 19

2.3.1 Phương pháp quy vàtiến quagiới hạn 19

2.4 Kết quảkhông thể 23

1 Lý do đề tài

Hàmsuy rộnggópphần quantrọngvào nghiên phươngtrình

đạo hàm riêng tuyến tính Hàm suy rộng là một khái niệm mởrộng từ

khái niệm hàm số điển, trong đó ngoài lớp hàm thông thường,

người ta thêm vào hàm đo khả địa phương và hàm thông

thường mà một đại diện là hàm Delta δ (x)

sự địnhhướng vàhướngdẫn TS.Tạ Trí emđã lựa đềtài “Một

kếtquả về hàmsuyrộng” luậnvăn tốtnghiệpkhóa

đại mình Khóa luận bao gồm 2

Chương 1 khóa luận trình bày tóm tắt về một số kí hiệu và khái

niệm,không gian hàm thử,hàm suy rộng

Chương 2 khóa luận trình bày về hàm suy rộng Phần đầu

trình bày về sau đó đến một hàm trơn và một hàm suy

hai hàm suy rộngvà trình bày về kết quả không thể

Nghiên lýthuyếthàm suyrộng làm nềntảng

xây dựng định nghĩa hàm suy rộng Trên sở đó trìnhbày kết

quả không thể

3 Đối tượng và phạm vi nghiên

• Tìm hiểu vềlý thuyết hàm suy rộng

• Tìm hiểu định nghĩa về hàm suy rộng.

• Tìm hiểu kết quả không thể L.SChwartz về hàm suy rộng

4 Phương pháp nghiên

• Phươngpháp phân so sánh, tổng hợp kiến

• tài liệu, tra

Lý thuyÕt hµm suy réng

1.1 Mét sè thuËt ng÷ vµ kh¸i niÖm b¶n

Trong luËn v¨n nµy, ta ký hiÖu N = 0; 1; 2; lµ tËp hîp sè tù nhiªn,

Ta gäimçi phÇntöα = (α 1 , α 2 , , α n ) |a j ∈ N lµ mét n − sè(hay dasè) víi |α| = α 1 + α 2 + + α n Víi mçi ®a sè α to¸ntö viph©n

1 ≤ p ≤ ∞ takýhiÖuL p (Ω) =  f : Ω → C| R Ω |f (x)| p dx < + ∞

Lp(Ω)

Khi p = ∞ thì L ∞ (Ω) = {f : Ω → C| esssup x ∈Ω |f (x)| p dx < + ∞},trong đó esssup x ∈Ω |f (x)| = inf {M > 0|à {x ∈ Ω| |f (x)| > M} = 0}.Khi đó trong L ∞ (Ω) là kf (x)k ∞ = esssup x ∈Ω |f (x)|.

Ta kí hiệu C k (Ω) là tập hợp hàm khả vi liên tới k Với

f.g ∈ C k (Ω)thì đạo hàm một theo Leibnizt:

số α

bởisuppf = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} Nếu K là một tập trong Rn ta

kí hiệu D k là tập hợp {f ∈ C ∞ (R) : supp f ⊆ K} hết ta thừa nhận

Do đó, từ bây giờ về sau, trong luận văn này ta ký hiêu K là một tập

Ω và K j là một trong tập trong họ {K j } nói trong

Dễ thấy D (Ω) = ∪ ∞ j=1 D K j (Ω) nên D (Ω) là không gian Hơn nữata

Mệnh đề 1.2 Không gian hàm thử D (Ω) là một không gian topo

lồi địaphương

Không gian hàm thử là không gian quan trọng trong giải hiện

đại Nó là để xây dựng khái niệm mới như mở rộng

khái niệm đã Sau đây ta thừa nhận tính D (Ω)

Định lý1.1 Cho không gian D (Ω) với topo τ Ta

1 Dãy hàm thử {φ l } ∞ l=1 hội t theo topo τ tới φ 0 trong D (Ω) khi và

khi tồntạij ∈ N ∗ sao suppφ l ⊂ K j với mọi l ∈ N ∗ và φ l → φ 0

trong D K j (Ω) biệt nếu {φ l } ∞ l=1 là dãy trong D (Ω)

thìtồntại j ∈ N ∗ sao τ l hộit trongD K j (Ω) và dođóhộit trong

D (Ω)

3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D (Ω) → C liên khi và khi với

mọi j ∈ N tồn tại N j ∈ N và hằng số c j > 0sao

Định nghĩa1.2 Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liên trên

D (Ω) gọilà một hàm suy rộng hay hàm suy rộng

Không gian hàm suy rộng trên Ω ký hiệu là D′(Ω) Với mỗihàm suy rộng u ta viết u (φ) là hu.φi với φ ∈ D (Ω)

Như vậy D ′ (Ω) là không gian đối ngẫu D (Ω) Dựa vào tính liênphiếm hàm trên D (Ω) ta

Mệnh đề1.3 Cho u làmột phiếm hàm tuyếntính trênD (Ω) mệnhđề

Với mọi φ ∈ D (Ω) và supppφ ∈ K

iii) Mọi dãy{φ l } ∞ l=1 hội t về 0 trong D (Ω) thì lim

j →0 hu.φi = 0

Ta biết rằng trong (1.3) nếu ta thay N bởi N ′ > N thì vẫn đúng Ta gọi

N là số nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) là hàm suy rộng Nếu không

Chú ý1.1 D ′ (Ω) là không gian với php toán xây dựngtrên

C như sau:

Php Với mọi u, v ∈ D ′ (Ω) ta định nghĩa u + v như sau:

hu + v, φi = hu, φi + hv, φi ∈ D (Ω)

Khi dó u + v ∈ D ′ (Ω)

Php nhân vớiphần tử vô hướng: Với mọi u ∈ D ′ (Ω) và mọi số λ

ta đinh nghĩa λu như sau:

hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D (Ω)

Khi đó λu ∈ D′(Ω)

VÝ d 1.1 1 Mçihµmf ∈ L loc (Ω)lµmét hµmsuyréngf : φ → hf, φi = R

ThËt vËy, víi mäi tËp K ⊂ R n

vµ víi mäi φ ∈ D (R n ) sao

suppφ ⊂ K ta |hδ, φi| = |φ (0)| ≤ 1 sup

K |φ (x)|

VÝ d 1.3 Víi mçi f ∈ L 1

loc (Ω) vµ víi α ∈ N n

, ¸nh x¹ uf.α : φ → R

bëiE′(Ω).

= Z

R n

f (x − y) g (y) dy

dx

≤ Z

= Z

R n |f (x − y)| |g (y)| p dy thì h p (x) < ∞ hầu khắp nơi trên R n Gọi q > 0

là liên hợp p, theo bất đẳng Holder thì:

= kfkf 1q 1{hp(x) }1 p.

R n

f (x − y) g (y) dy

1

 kfk 1 Z

Địnhnghĩa 2.2 Cho u, v ∈ D ′ (R n ), hai hàm suy rộngu và v

là một phiếm hàm tuyến tính, kýhiệu u ∗ v định bởi:

hu ∗ v, φi = hu (y) , hv (x) , φ (x + y)ii

VËy nªn u ∗ δ = δ ∗ u = u víi mäi u ∈ D ′ (R n ).

b) §Þnh nghÜa ë trªn hîp lÖ víi f, g ∈ L1(Rn) ThËt vËy víi

2.2 một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa2.4 Cho một hàm trơn f ∈ C ∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈

hfu, φi = hu, fφi , ∀φ ∈ D (Ω)

Không khó để minh vế phải đẳng trên là một hàm suy

rộng Thật vậy, rõ ràng nếu f ∈ C∞(Ω) và ∀φ ∈ D (Ω), thì φ ∈ C∞(Ω)

Leibnizt về lấy đạo hàm.

Định lý 2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω) , u ∈ R và α là một đa số tùy ý Thế thìta

Ngoài lấy một hàm trơn vàmột hàm suy rộng như ở trên, người

ta thể lấy hai hàm suy rộngbất kỳ với đơn vị là 1

2.3 hai hàm suy rộng

2.3.1 Phươngpháp quy và tiếnqua giới hạn

Định nghĩa2.5 δ -dãy

Một δ-dãy là một dãy (δ) + n=1 ∞ phần tử R m , m = 1, 2, sao

a) suppδ n ⊂ {x ∈ R n : kxk ≤ α n }, với α n → 0 khin → ∞

b)

R

R n δ n (x) dx = 1 tiến tới 1 khi n → ∞)

Nhìn một quan , một δ- dãy như là một dãy tiến tới hàm Delta

δ(hay độ đo tại 0 R m Trong vài trường hợp ta phải

định nghĩabổsungthêm tính δ-dãy, một vàiví dtính bổsung

khi định nghĩa δ-dãy, hạn:

c 1) Trong trường hợp m = 1, tính bổsung là theo (Mikusinski)

sup

x ∈R,n∈N

Định nghĩa2.6 (Theo Mikusinski) Ta nói rằng S và T là nhân với

nhau với S.T ∈ D ′ (R m ), nếu với mọi δ-dãy δ n thì (S ∗ δ n ) (T ∗ δ n )

hội t trongD ′ (R m ) khi n → ∞ tới một giới hạn lập với δ n

Với định nghĩa hai hàm suy rộng Mikusinski ta thể lấy

haihàmsuyrộng Tuyvậy khôngphải nào ta hiện

Ta mệnh đề sau:

Mệnhđề2.2 Khôngtồntại (δ) 2 trongD ′ (R)theo định nghĩa địnhnghĩa (2.6)

Chứng minh Cho mộthàmφ ∈ D (R)vớisuppφ ∈ [−1, 1]và

x ∗ δ n

 δ n , φ

x ∗ δ n

 , δn.φ

Vì δ n − ∗ δ n là một hàm nên hạng tửđầu tiên biểu trên bằng

0 Hạng tử tiến đến 0 khi n → ∞ Đối với hạng tử thứ hai,

2 δ

′

Trong đó D′(R) theo định nghĩa định nghĩa (2.6)

2.4 Kết quả không thể

Lý thuyết hàm suy rộngL xây dựng đã rất thành và đang

sử dng rộng rãi, tuy nhiên lý thuyết này điểm là đúng

php toán tuyến tính Nói một php nhân không

hiện hoàn toàn Ông khẳng định

Định lý 2.2 Cho A là một đại số đại số C 0 (R) tất

hàm liên trên R như một đại số Giả sử rằng hàm 1 ∈ C 0 (R) làmột phần tử đơn vị trong đại số A, và giả sử tồn tại một ánh xạ tuyến tính

Leibnizt:∂ (ab) = ∂a.b + a.∂b, thì ∂ 2 ( |x|) = 0

ta ra kết quả như sau:

Ta thấy rằng hàm x (log |x| − 1) và x 2 (log |x| − 1) ∈ C 1 (R) bằng

0 như là giá trị hàm tại 0 Sử dng quy Leibnizt trong

∂ 2 {x (log |x| − 1) x} = ∂ 2 {x (log |x| − 1) x} − 2∂ {x (log |x| − 1)}

Nhưng, từ ∂ trùng với toán tử đạo hàm thông thường trên lớp hàm

Để đơn giản, ta đặt y = ∂ 2 {x (log |x| − 1)}, thì y.x = 1, vì vậy

a.x = 0 ⇒ y (x.a) = 0 ⇒ 1.a = 0 ⇒ a = 0 Do đó x.∂ ( |x|) = 0 nên

Nếu một đại số A D ′ (R) mà trongđóquy Leibnizt thỏamãn, thì từ δ 2 ( |x|) = 2δ trong D ′ (R) và kết hợp với điều vừa minhtrên ta suyra δ = 0 Đó là một điều vô lý (!).Mâu thuẫnđó tỏ không

thể xây dựng một đại số D ′ (R) mà trong đó Leibniztthỏa mãn Nó giải ta hiểu tại sao kết quả này

gọi là kết quả không thể

lấy hai hàm suy rộng ý nghĩa rất lớn trong giải một số

phương trìnhđạo hàm riêng Tớinăm 1980 J.F Colombeau đã xây dựngmột

lý thuyết hàm suy rộng mới và ông xây dng đại số Colombeau trong

đó php nhân hai hàm suy rộng giải quyết triệt để

Trong khóa luận này em đã trình bày nội dung bản lý thuyết hàm

suy rộng hiểu định nghĩa hàm suy rộng,php lấy

hai hàm suy rộngtheo Colombeau và biệt là một kết quả không thể

để v giải toán phương trình đạo hàm riêng

Nội dung luận văn là trình bày:

• Chương 1: Kiến bị Chương này trình bày về khái niệmbản hàm suy rộng:không gian hàm thử,khônggian hàm

suy rộng

• Chương hàm suyrộngChươngnàytrình bàyvề hai hàmsuy phương pháp,định nghĩa và so sánh Và là kết

quả quan trọng là kết quả không thể

Trong thời gian hạn và kiến hạn nên luận văn nhiều

sai sót,em kính mong quý thầy và bạn đóng góp ý kiến để luận

văn hoàn thiện hơn

Em xin thành ơn

A Tµi liÖu tiÕng ViÖt

[1℄ NguyÔn Ph Hy (1992), Gi¸otr×nh gi¶i hµm, §¹i S­ ph¹m Hµ

Néi 2

[2℄ §ÆngAnhTuÊn(2005),LýthuyÕthµmsuyréngvµkh«nggian Sobolev

B Tµi liÖu tiÕng Anh

[3℄ Trever linear partial differentialequations,

press,New York

[4℄ Ta Tri (2004), The Colombeau theory of generalized

KdVinstitute, of UniversityofAmsterdamThe

Nether-lands

suy rộng

• Chương hàm suyrộngChươngnàytrình bàyvề hai hàmsuy phương pháp,định nghĩa so sánh Và kết

quả quan trọng kết. .. nội dung lý thuyết hàm< /p>

suy rộng hiểu định nghĩa hàm suy rộng, php lấy

hai hàm suy rộngtheo Colombeau biệt kết khơng thể

để v giải tốn phương trình đạo hàm riêng

Nội... đạo hàm.

Định lý 2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω) , u ∈ R α đa số tùy ý Thế thìta

Ngồi lấy hàm trơn v? ?một hàm suy rộng trên, người

ta thể lấy hai hàm suy rộngbất