Toán tử tích phân và ứng dụng

ưu, lý thuyết các bài toán cực trị.Phương pháp của Giải tích hàm là tiền đề hóa những tính chất đặc trưng của tập hợp số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề cơ bản

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội

2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn

thành khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.

Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứucủa bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

1.3Không gian Hilbert 16

2.4 Toán tử tích phân trong không gian

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tình 453.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính 473.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần Hạch lặp 47

3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến 65

ưu, lý thuyết các bài toán cực trị.

Phương pháp của Giải tích hàm là tiền

đề hóa những tính chất đặc trưng của tập hợp

số thực thành các không gian tương ứng và

mở rộng các vấn đề cơ bản của giải tích cổđiển vào những không gian đó

Vì vậy, việc học và nắm vững môn họcnày là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên khoatoán Tuy nhiên kiến thức trên lớp với thờilượng eo hẹp, cùng với sự mới mẻ và cái khócủa môn học này đã làm cho việc tiếp thunhững kiến thức của Giải tích hàm trở nênkhông dễ dàng với mỗi sinh viên khoa toán

Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản củaGiải tích hàm, đồng thời quyết tâm đi vàonghiên cứu khoa học, được sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo

Ts.Nguyễn Văn Hùng,

em đã chọn đề tài: “

Toán tử tích phân và ứng dụng giải phương trình tích phân ” để

làm khóa luận tốtnghiệp

2 Mục đích nghiên

cứu.

Bước đầu làmquen với công việcnghiên cứu khoa học vàtìm hiểu sâu hơn vềGiải tích hàm, đặc biệt

4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp đọc sách

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Phương pháp phân tích sản phẩm

5 Cấu trúc khóa luận.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luậngồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: Toán tử tích phân

Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân

vào tập hợp số thực  , thỏa mãn các tiên đề sau:

(tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên

Χ , số d ( x,

y )

gọi là khoảng cách giữa

hai phần tử x và y Các phần tử của Χ gọi là điểm, các tiên đề 1), 2), 3) gọi là tiên đề metric

Không gian metric được kí hiệu Μ = ( Χ , d )

• Sự hội tụ trong không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric Μ = ( Χ , d ), dãy điểm

( xn ) ⊂ Χ , điểm

Nhận xét: Nếu hai dãy điểm ( xn ) ,

Dễ thấy mọi dãy điểm ( xn ) ⊂ Χ hội tụ trong

Μ đều là dãy cơ bản Điều khẳng định ngược lai không

đúng

Định nghĩa 1.1.4

Không gian metric

Μ = ( Χ , d ) gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ

bản trong không gian này đều hội tụ

• Nguyên lý Banach về ánh xạ co.

Định nghĩa 1.1.5

Cho hai không gian metric Μ1 = ( Χ , d1 ) ,

*

Định lý 1.1.1(nguyên lý Banach về ánh xạ co).

Mọi ánh xạ co A ánh xạ từ không gian metric đầy Μ

phức) Nếu họ mãn các điều kiện:

a) A là bị chặn tại từng điểm trên Χ

thì A là một tập hợp compact tương đối trong

1.2 Không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.1

C ( Χ )

Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) làmột không gian tuyến tính Χ trên trường Ρ ( Ρ =  hoặc

Ρ =  ) cùng với một ánh xạ từ tập Χ vào  , kí hiệu là

⋅ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

• Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric.

Khi đó d là một metric trên Χ

Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric

• Không gian con.

Cho không gian định chuẩn

chuẩn con của không gian định chuẩn Χ

• Không gian Banach.

Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong Χ đều hội tụ.

• Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.4

Cho không gian đinh chuẩn

Χ ,

là lân cận yếu của điểm x

Định nghĩa 1.2.5

Cho không gian định chuẩn Χ Dãy ( xn

) ∈Χ gọi là hội tụ yếu tới

phần tử x ∈Χ , nếu với mọi lân cận yếu U của

Ρ =  ) Ánh xạ A từ không gian Χ vào không gian

Υ gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn điều kiện:

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A

chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A

chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn

Χ vào không gian định chuẩn Υ Ba mệnh đề sau tương đương:

1) A liên tục

2) A liên tục tại điểm 3) A bị chặn

x0 nào đó thuộc Χ .

• Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.

Cho hai không gian định chuẩn Χ và

không gian định chuẩn Υ Ta

+) Tổng của hai toán tử

Cho không gian định chuẩn Χ trên trường Ρ ( Ρ = 

các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không

gian Χ là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của không gian

Χ và kí

hiệu là Χ∗ ( thay cho

kí hiệu

L(Χ, Ρ))

Không gian liên hợp của không gian

Χ∗ gọi là không gian liên hợp thứ

hai của không gian Χ và

kí hiệu là

Định lý 1.2.4

Χ∗∗

Nếu không gian liên hợp

Χ∗ của không gian định chuẩn

Χ là táchđược thì không gian Χ là tách được

Định lý 1.2.5

Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn

Χ vào

không gian liên hợp thứ hai

Định nghĩa 1.2.10 Χ∗∗ của không gian Χ

Không gian định chuẩn Χ gọi là không gian

Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản

o Toán tử compact A ánh xạ mọi tập hợp bị chặn trong

Χ thành một tập compact tương đối

trong Υ o Toán tử compact là liên tục

Như vậy tính compact của một toán tử tuyến tính mạnh hơn tính liêntục, do đó người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn liêntục.

a) Nếu Χ và Υ là hai không gian định

→ Υ

b) Ngược lại, nếu toán tử A∗ là compact và giả thiết thêm rằng

Υ là một không gian Banach, thì A là một toán tử compact

1.3 Không gian Hilbert.

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

 x, x 

1) Η là không gian tuyến tính trên trường Ρ

2) Η được trang bị một tích vô hướng ( ⋅ , ⋅ )

3) Η là không gian Banach với

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

Η

là không gian Hilbert con của không gian Η

• Phần bù trực giao, tập con trực giao.

Định nghĩa 1.3.3

Cho không gian Hilbert Η , hai

phần tử

x, y ∈Η gọi là trực giao, kí

gọi là trực giao với tập hợp A ,

Dễ thấy F cũng là không gian con của Η khi đó ta có biểu diễn:

Η = Ε ⊕ F = { x = x1 + x2 , x1

∈Ε , x2 ∈ F }

Định lí 1.3.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)

Cho không gian Hilbert

Η và Η0 là không gian con của Η

Khi đóphần tử bất kỳ x

∈ Η

biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x = y + z, y ∈Η0 , z ⊥ Η0

3) ( ∀ x, y ∈Η ) ( x, y ) = ∑ ( x, en )( en ,

y ) ; (Đẳng thức Paseval)

n≥ 14) ( ∀ x

en

)2 ; (Phương trình đóng)

n≥ 15) Bao tuyến tính của hệ

( en

n

≥

1

trù mật khắp nơi trong không

gian Η (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạnbất kỳ

• Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục.

∈ Η

được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

• Toán tử tự liên hợp.

Định nghĩa 1.3.9

A∗

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert

Η vào chính nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

( Ax, y ) = ( x,

Ay ) ,

∀ x, , y ∈Η

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.

• Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.3.10

Cho không gian Hilbert Η Dãy điểm ( xn

) ⊂ Η gọi là hội tụ yếu tới

không gian Hilbert Υ A là toán tử compact khi và chỉ khi toán tử

A biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian Χ thành dãy hội tụmạnh (còn gọi là hội tụ theo chuẩn) trong không gian Υ

ta đếu có:

( Ax, x ) ≥ 0 .Khi đó người ta kí hiệu: A ≥ 0

và miền

với Τ là một toán tử dương, compact trong Χ , và V là toán tử đẳng cự bộ

phận, với miền gốc ℜ ( A∗ ) =

ℜ ( Τ ) ⊂ Χ

trong đó mỗi giá trị riêng được kể với một số lần

bằng số bội của nó, và ta có λn > 0, lim

λn < ∞ thì A được gọi là một toán tử Hilbert-Smith

Định lí 1.3.9

Giả sử

A : Χ

→ Υ

là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian

Hilbert Χ vào không gian Hilbert Υ Để A là một toán tử Hilbert-Smith, điều kiện cần và đủ là chuỗi:

− ∞ < a < b

< +∞ }

Đưa vào không gian

C[a;b

] hai phép toán đó là cộng hai hàm số và

phép nhân số thực với hàm số như thông thường:

+) ( x + y ) (t) = x(t) + y(t)

1 ∀ x(t) ∈

C[a;b] , ta có x(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [ a ;b ] , do đó:+) max

x(t) =

0 ∀ t ∈ [ a ;b ]

là dãy số cơ bản trong

□ Vì □ là không gian đầy nên (t) }n=1 { xn

tương đương với sự hội tụ đều

của dãy hàm liên tục trong không gian

hai phép toán: cộng hai hàm số và nhân một số

thực với hàm số như thông thường:

+) Dễ dàng kiểm tra hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tínhnên không gian

Lp ( Ε , µ ) trở thành không gian tuyến tính thực

≤

 ∫ Ε

x(t) d

y(t) d



nếu các tích phân trong bất đẳng thức trên đều hữu hạn

Định lí Fubini

Cho µ là một độ đo δ _ hữu hạn trên một δ _ đại số M

trong không gian Χ ,ν là một độ

đo δ _ hữu hạn trên một δ _ đại số N trong

Chương

2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục.

Giả sử Χ là một tập hợp compact trong không

Χ

(2.1.1)

tồn tại với mỗi x

∈ Χ

 1 2

tích phân ở vế phải của (2.1.1) với mỗi

( ∀ ε >

0 )( ∃

δ

> 0 ) ( ∀ x' , x' ', s', s' ' ∈ Χ :

x' −

x''

≤

δ ,

A được gọi là toán tử tích phân với hạch liên tục.

2.2 Toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.

Giả sử Χ là tập hợp đo được(theo nghĩa Lebesgue) trong không gian

A ϕ ∈ L2 (Χ )

Thật vậy, theo định lí Fubini ta có:

∫ K (x, s)

Χ

ds < ∞ , vớihầu hết

K (x, s)

dxd s

( A ϕ ) (x

) 2 =

2

∫ K (x, s) ϕ (s)ds

Ta đã chứng minh A là một ánh xạ từ không gian

Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính

A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.

2.3 Toán tử tích phân trong không gian C[a;b ] .

A ϕ (x

) =

by(x) = ∫ K (x, s) ϕ (s)ds

a

(2.3.1)

A gọi là toán tử tích phân, K (x,

s)

gọi là hạch(hạt nhân) của toán tử

Nhờ tính chất của tích phân phụ thuộc tham số, hàm số A ϕ (s) ∈

C[a;b] , vớimọi ϕ (s) ∈ C[a;b] Dễ dàng kiểm tra A là toán tử tuyến tính

+) Ta chứng minh toán tử A bị chặn:

2

ds =

a≤s≤b

b

ϕ ∫ K (x, s) ds

là tập compact tương đối trong C[a;b ] Vậy A là tập

2.4 Toán tử tích phân trên không gian Lp [ a ;b ] .

Không gian

Lp [ a

;b ]

gồm tất cả các hàm

số x(t) đo được theo độ đo

Lebesgue trên đoạn [ a

p > 1 ta đặt:

A ϕ (x

) =

by(x) = ∫ K (x, s) ϕ (s)ds

Vậy A là toán tử tuyến tính bị chặn trên

b

Vậy toán tử A xác định dương.

+) Toán tử A là toán tử compact, thật vậy:

{ ei = ei (x), i = 1, 2 } của không gian ấy

Mặt khác, theo định lí Fubini điều kiện (2.4.3) chứng tỏ rằng với hầuhết các điểm

ta suy ra rằng

2

2

An là không gian con n

là một cơ sở trực chuẩn trong không gian

L2 [a ;b ], khi đó{e n ( x); n = 1, 2 } cũng là cơ sở của không gian ấy

L2 [a ;b ], do đó có khai triển theo cơ sở {e n ; n = 1, 2 } :

∞

2

L

2

do đó(vì các hàm theo x sử dụng ở đây đều

b b 2 ∞ b 2 ∞ 2

∫ ∫ K (x, s)

Chú ý: Nếu A là toán tử Hilbert-Smith thì cũng chứng minh được A

là toán tử tích phân, thật vậy:

Do A là toán tử Hilbert-Smith nên:

Kết quả này chứng tỏ rằng chuỗi

đến một hàm, kí hiệu là K (x, s) Theo phần chứng minh ở

trên toán tử tích phân B trong L2 [a

là một toán tử Hilbert-Smith Nhưng theo định nghĩa

của rằng với mọi hàm ϕ (x) ∈ L2 [ a ;b ]

n= 1Đẳng thức này đúng với mọi ϕ , ψ ∈ L2 [a

2.5 Toán tử tích phân Fredholm.

Cho một hàm hai biến K (x,

K (x,

s) khả tích theo s , với hầu hết mọi x , nghĩa là

hàm

K (x, s)

xét như

hàm của s thuộc L2 [a ;b ] Do đó tích phân (2.5.2), tức tích vô hướng

của2

N 2

< +∞ , cho nên

k2 (x)

∈ L [ a ;

b ].Theo bất đẳng thức Schwarz-Bunhiakowski áp dụng cho tích vô hướng(2.5.2) ta có:

2

Ở đây định lí Fubini được áp dụng vì ϕ (x), ψ (x)

3 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Sau đây ta sẽ vận dụng lý thuyết về toán tử tích phân để khảo sát một

số phương trình tích phân Cụ thể ta sẽ đi giải phương trình tích phân tuyến tính.

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tính.

λ A ϕ

+ f

(3.2)

trong đó f cho trước, f ∈ Χ , λ là tham số thực hoặc phức,

được gọi làphương trình loại II, đôi khi còn được gọi là phương trình Fredholm loại II

Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì tương ứng với (3.1) và

(3.2) ta có phương trình tích phân tuyến tính loại I và loại II

Và λ ∈  hoặc λ ∈  .

Nếu A là toán tử tích phân Fredholm thì phương trình (3.1) và (3.2)

lần lượt gọi là phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loai I và loai II

Nếu A là toán tử tích phân Volterra thì phương trình (3.1) và (3.2) lần

lượt gọi là phương trình tích phân tuyến tính Volterra loai I và loai II

Phương pháp này dựa trên phân tích hàm ẩn ϕ

Ta có thể tiến hành như sau:

Xuất phát từ xấp xỉ dần đầu tiên

+ λn+ 1 An+ 1 f + .

= lim ( ϕn −

n→∞ f ) = ϕ − f

cho nên ϕ sẽ là nghiệm của phương trình (3.2.1)

Đương nhiên một nghiệm của phương trình (3.2.1) có thể xem là mộtđiểm bất động của toán tử B xác định bởi: B ϕ = λ A ϕ + f

Khi đó phương trình (3.2.1) sẽ có nghiệm duy nhất nếu B là ánh xạ co

và khi ấy nghiệm này sẽ thu được theo phương pháp xấp xỉ dần liên tiếp

Tuy nhiên nó không phải là điều kiện cần.

Một cách tổng quát hơn, nếu tồn tại một hằng số C sao cho:

An f ≤ C

n!

thì chuỗi (3.2.2) sẽ được làm trội bởi một chuỗi hội tụ, cho nên bản thân nó sẽhội tụ và do đó theo trên tổng của nó cho ta một nghiệm của phương trình(3.2.1)

Chẳng hạn, xét phương trình Volterra sau trong L2 [a ;b ]

x

ϕ (x) = λ ∫ K (x, s) ϕ (s)ds +

một trường hợp riêng của phương trình Fredholm Đặt

x

S =

∫a

f (s) ds

Vậy chuỗi (3.2.2) bắt đầu từ hạng tử thứ hai được làm trội bởi chuỗi sốhội tụ:

1

và tổng của nó cho ta

nghiệm của phương trình (3.2.3) Nói cách khác, phương trình Volterra luôn luôn có một nghiệm duy nhất xác định bởi (3.2.2)

Ta hãy xét xem trong trường hợp toán tử A trong phương trình (3.2.1)

là toán tử tích phân sinh bởi hạch

Nếu A , B là hai toán tử tích phân sinh bởi

hạch toán tử AB cũng là toán tử tích phân sinh bởi

b

AB ϕ = ∫ K (x, t)  ∫ L(t, s) ϕ (s)ds  dt = ∫  ∫ K (x, t)L(t, s)dt  ϕ (s)ds

toán tử tích phân, sinh bởi hạch lặp

ϕ (x) = λ ∫ K (x, s) ϕ (s)ds +

Nhận xét: Cũng như trước điều kiện (3.2.7) là đủ để đảm bảo cho sự

hội tụ của chuỗi (3.2.5) nhưng không phải là điều kiện cần Một cách tổngquát hơn nếu tồn tại hằng số C sao cho:

K < C

nn!

thì chuỗi (3.2.5) được làm trội bởi một chuỗi hội tụ mạnh nên sẽ hội tụ vànhững kết quả trên vẫn đúng