Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều

Lí do chon đe tài Lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% là m®t b® ph¾n cna Giái tíchđieu hòa, là khói đau cna lý thuyet toán tú giá vi phân và m®t so phươngpháp hi¾n đai trong Giái tích và P

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna PGS.TS Hà TienNgoan Trong suot quá trình thnc hi¾n lu¾n văn Thay đã truyen đat chobán thân tôi nhung kien thúc quý báu và luôn đ®ng viên, hưóng dan t¾ntình đe tôi hoàn thành công vi¾c Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòngkính trong sâu sac nhat đoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán cùng các quý thay cô đãtao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trìnhCao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin trân trong cám ơn Trưòng Đai hoc Sao Đó, Khoa Khoahoc Cơ bán và đong nghi¾p và đ¾c bi¾t gia đình, ngưòi thân nhungngưòi đã tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và báo v¾thành công lu¾n văn này!

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Hà Tien Ngoan

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Tác giá

Mnc lnc

Má

1 M®t so kien th Nc c huan b% 5

1.1 Tíc h phân trong k h ô n g gian nhieu chieu 5

1.1.1 Tíc h phân suy r®ng 5

1.1.2 Tíc h phân m¾t loai hai 8

1.1.3 Tích phân giá tr% chính 11

1.2 Tích c h¾p 12

1.3 Bien đoi Fourier 14

1.3.1 Phép bien đoi F ourier trong k h ô n g gian L 1 ( E n ) 14 1.3.2 Phép bien đoi F ourier trong k h ô n g gian L 2 ( E n ) 23 2 oán T t N tích phân kỳ d% và các tính c hat 26 2.1 Đ%nh nghĩa toán tú tích phân kỳ d% 26

2.1.1 Bien đoi Hilbert v à k et q uá 26

2.1.2 Toán tú tích phân kỳ d% 30

2.2 Toán tú tích phân kỳ d% v ói nhân lé 33

2.3 Toán tú tích phân kỳ d% v ói nhân c han 40

3 M®t so Nng dnng cúa toán t N tích phân kỳ d% 46 3.1 Sn ton tai v et cna hàm vecto trên m¾t phang 47

3.2 Bat đang thúc trên biên cna hàm đieu hòa 50

iii

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% là m®t b® ph¾n cna Giái tíchđieu hòa, là khói đau cna lý thuyet toán tú giá vi phân và m®t so phươngpháp hi¾n đai trong Giái tích và Phương trình đao hàm riêng

Lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% đã xuat hi¾n hơn m®t the kýqua Ban đau lý thuyet này mói chí đe c¾p trong các bài toán m®t chieuđơn gián Đen nhung th¾p niên 50 và 60 cna the ký XX thì sn phát triencna lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% đã mó r®ng hơn trong các khônggian nhieu chieu Trong lý thuyet Phương trình đao hàm riêng và Lýthuyet hàm, toán tú tích phân kỳ d% đóng m®t vai trò quan trong Nócho phép mô tá ngh%ch đáo cna các toán tú vi phân đao hàm riêng tuyentính loai elliptic vói h¾ so hang và giúp mô tá nhieu tính chat đ%nh tínhcna các không gian hàm so khác nhau

Hơn nua trong các bài toán cna cơ hoc đàn hoi và cna lý thuyetthe v%, m®t so các đai lưong can tính toán đưoc bieu dien dưói dang toán

tú tích phân kỳ d%, do đó có the đưoc xác đ%nh m®t cách huu hi¾u hơn

Vì v¾y đòi hói chúng ta phái nghiên cúu các tính chat cna chúng đe làm

rõ vai trò cna lý thuyet này Trên đây là nhung lý do đe chúng tôi tienhành nghiên cúu đe tài:

"Toán tÚ tích phân kỳ d% nhieu chieu "

2

2 Mnc đích nghiên cNu

H¾ thong lai khái ni¾m, tính chat cna toán tú tích phân kỳ d%nhieu chieu Chí ra moi liên h¾ giua toán tú tích phân kỳ d% nhieu chieuvói lý thuyet giá vi phân Đưa ra các úng dung cna toán tú tích phân

kỳ d% vào các bài toán hàm đieu hòa

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vói muc đích đã nêu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu chính cnalu¾n văn là:

Mô tá các khái ni¾m và tính chat cna tích phân kỳ d% và phươngtrình tích phân kỳ d% cũng như các úng dung cna chúng

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong: M®t so lý thuyet ve toán tú tích phân kỳ d%, cáckhông gian hàm liên quan và úng dung vào phương trình tích phân

Pham vi: Nghiên cúu lý thuyet và xây dnng các úng dung trên

cơ só các tài li¾u chuyên kháo

5 Phương pháp nghiên cNu

Lu¾n văn chn yeu dùng các phương pháp nghiên cúu truyenthong cna Giái tích hàm: Phân tích, tong hop kien thúc Xuat phát tùtoán tú Hilbert trong trưòng hop m®t chieu, lu¾n văn se đưa vào toán

tú tích phân kỳ d% nhieu chieu và nghiên cúu các tính chat cna chúng.Vi¾c úng dung se đưoc mó r®ng tù lóp các hàm liên hop đieu hòa và cácphương trình tích phân kỳ d% Ngoài ra lu¾n văn còn nghiên cúu trên cáctài li¾u liên quan: Giáo trình, tap chí,

6 Giá thuyet khoa hoc

Lu¾n văn đưoc trình bày m®t cách có h¾ thong và khoa hoc cácvan đe ve toán tú tích phân kỳ d% và các úng dung cna tích phân kỳ d%

ve sn ton tai vet cna hàm vecto trên m¾t phang và bat đang thúc giuacác thành phan tiep tuyen và pháp tuyen trên biên cna gradient hàmđieu hòa Đây se là m®t đóng góp quan trong ve lý thuyet đe giái quyettri¾t đe các van đe ve toán tú tích phân kỳ d% và phương trình tích phân

kỳ d% trên các không gian nhieu chieu khác

Chương 1

M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Tích phân trong không gian nhieu chieu

1.1.1 Tích phân suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú f là hàm xác đ%nh trên R n và f khá tích trên

moi t¾p b% ch¾n Neu ton tai

thì ta goi giói han trên là tích phân suy r®ng loai 1 cna hàm n bien

Tích phân I = ¸ f (x)dx đưoc goi là h®i tu neu giói han là ton

Ví dn 1.1.2 Trong trưòng hop tong quát thì tích phân

¸

dx

Rn (1 + |x|) m

se h®i tu neu m > n và phân kì neu m ≤ n

thì giói han đó đưoc goi là tích phân suy r®ng loai 2 cna hàm f trên ΩCũng giong như tích phân suy r®ng loai 1 đưoc đ%nh nghĩa như ó

trên, neu tích phân I = ¸Ω f (x)dx có giá tr% huu han thì ta nói tích

phân h®i

tu và ngưoc lai ta nói tích phân phân kì

Ví dn 1.1.5 Trong R1 xét tích phân trong R n:

Ví dn 1.1.6 Trong trưòng hop tong quát, xét tích phân

¸

dx

k

Khi đó tích phân se h®i tu neu k < n và phân kì khi k ≥ n.

Nh¾n xét 1.1.7 Tích phân suy r®ng loai 2 cũng có các tính chat và

ket quá giong vói tích phân suy r®ng loai 1

1.1.2 Tích phân m¾t loai hai

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Xét m¾t cong S là t¾p hop các điem M (x, y, z) thóa

mãn phương trình

F (x, y, z) = 0 M¾t S goi là trơn khi và chí khi hàm F (x, y, z) có các đao hàm

liên tuc và khác 0 trên m¾t S.

Trưòng hop m¾t S có phương trình tham so:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) Giá sú vecto r = r(u, v) = ix + jy + kz Khi đó m¾t S goi là trơn

neu hàm r(u, v) khá vi, liên tuc và:

Đ%nh nghĩa 1.1.4 M¾t S goi là m¾t đ%nh hưóng đưoc (hay goi là m¾t

hai phía) neu tai moi điem M cna S xác đ%nh đưoc m®t vecto pháp tuyen

−

(M

−→

) là liên tuc trên S, đong

thòi sau khi di

chuyen theo đưòng cong kín bat kỳ trên S và quay ve v% trí ban đau thì

vecto pháp tuyen này không đoi hưóng

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho các hàm so P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác đ

%nh trên m¾t đ%nh hưóng S vói vecto pháp tuyen đơn v% →−n (cosα, cosβ,

cosγ ).

Khi đó tích phân m¾t loai hai cna các hàm P, Q, R trên m¾t đ%nh hưóng

S đưoc tính theo công thúc:

Trong đó S là m¾t cong có phương trình z = z(x, y)(trơn ho¾c trơn

tùng khúc) vói vecto pháp tuyen đ%nh hưóng phía trên (phía trên m¾tcong tao vói hưóng dương truc Oz m®t góc nhon)

Ta thay cosγ i ∆S i ≈ ∆Di, trong đó:

∆Si: Di¾n tích m¾t cong ∆Si

∆D i: Di¾n tích hình chieu mánh cong ∆Si xuong m¾t phang Oxy.Khi đó vecto pháp tuyen →−

n tao vói truc Oz m®t góc nhon, nên cosγ i

trong đó D1 là hình chieu cna S xuong Oxy

Neu đoi hưóng m¾t S túc cosγ i < 0 và ∆D i lay dau âm Khi đó:

Q (x, y(x, z), z)dxdz

P dydz = ± S

=

2

và nó úng cho hai giá tr% y dương và y âm Khi đó:

lay dau dương và:

lay dau âm

1.1.3 Tích phân giá tr% chính

lóp tat cá các C ∞ cna hàm ϕ trong E n (đao hàm riêng moi cap cna ϕ

ton tai và liên tuc) thóa mãn:

sup ..x α (D β ϕ )(x). < ∞

2

x∈E n

vói moi đa chí so α = (α1, α2, , α n ) và β = (β1, β2, , β n) cnacác

so nguyên không âm, trong đó x α = x α1 x α2 x α n , D β = D β1 D β2

thú, ϕ ∈ S, vói P (x) là đa thúc đieu hòa trong E n (thuan nhat b¾c k)

Xét hach K(x) = P (x) , k ≥ 1 Hàm K(x) không khá tích tai lân

c¾n

cna goc toa đ® |x|

Khi đó ta đ%nh nghĩa hàm suy r®ng tăng ch¾m (phiem hàm tuyen tính trên không gian các hàm giám nhanh ó vô cnc):

ký hi¾u f ∗ g đưoc xác đ%nh như sau:

f (x − y)g(y)dy E n

trong đó tích phân trên là ton tai hau khap nơi theo x ∈ E n và khi đó

f (x − y)g(y) là hàm đo đưoc cna hai bien x và y.

dy = "f p "g"1 .

1.3 Bien đoi Fourier

1.3.1 Phép bien đoi Fourier trong không gian L1(E n)

fˆ r (x) = −2πitfˆ(x)

ó đây γ = γk,α = 2

Trong trưòng hop đ¾c bi¾t neu α → 0 thì ta có đ%nh lí sau:

K (t) [ϕˆ(t) − ϕˆ(0)]

là khá tích đ%a phương.

Theo đ%nh lí ve sn h®i tu tr®i, ta có:

¸lim

bói công thúc:

A s (f ) = vói f ∈ L1(E n) Khi đó:

Ta se goi M s(f ) là Φ− trung bình cna tích phân (1.5).

Đ%nh lí 1.3.8 Vói moi α > 0 ta đeu có:

Nh¾n xét 1.3.10 Giá sú rang hàm φ trong Nh¾n xét 1.3.7 là khá tích

và bien đoi Fourier cna nó là φˆ = ϕ.

Neu ta cho ϕ s (x) = s −n ϕ .x ., vói s > 0 thì:

khi φ(x) = e −2π|

x|

ϕ s (x) = P (x, s)

ϕ s (x) = s −n ϕ .

s Neu f ∈ L p (E n ), 1 ≤ p < ∞ ho¾c f ∈ C0 ⊂ L ∞ (E n ) thì:

Đ%nh lí 1.3.13 Neu φ và bien đoi Fourier cúa nó ϕ = φˆ là các

hàm khá tích và ¸

tn tói f (x) trong chuan L1.

Ngoài ra trung bình Abel và Gauss cúa tích phân này h®i tn tói f (x)

và thì f1(t) = f2(t) vói hau het t ∈ En fˆ1(x) = fˆ2(x) vói x

vói s > 0 cho ϕ s (x) = s −n ϕ s .x ..

Neu ψ ∈ L1(E n ) và f ∈ L p (E n ), 1 ≤ p < ∞ thì:

¸

lim(f ϕ s )(x) = f (x)

= |f |2 dx.

Đ%nh lí này khang đ%nh phép bien đoi Fourier là toán tú b% ch¾n đưoc

xác đ%nh trên t¾p con trù m¾t f ∈ L1 ∩ L2 cna L2(E n) (ta hieu nó

là m®t phép đang cn) Như the ó đó ton tai duy nhat τ b% ch¾n và xác đ

%nh trên cá không gian L2

τ se đưoc goi là bien đoi Fourier trên L2 Ta cũng sú dung kí hi¾u:

vói f ∈

L2(E n)

fˆ = τ f

Trong trưòng hop tong quát, neu f ∈ L2(E n) thì đ%nh nghĩa ve bien

đoi Fourier này cho chúng ta fˆ như giói han L2 cna dãy ,h k,, ó đây

{h k } là m®t dãy nào đó trong f ∈ L1 ∩ L2 h®i tu tói f trong chuan L2

Đe có đưoc đieu đó thì ó đây ta chon h k (t) bang f (t) khi t ≤ |k|

và bang 0 trong các trưòng hop khác

Vì v¾y fˆ là giói han L2 cna dãy hàm ˆh k đưoc đ%nh nghĩa bói:

H¾ quá trnc tiep cna Đ%nh lí 1.3.15 chí ra τ là m®t đang cn.

Đ%nh lí 1.3.17 Bien đoi Fourier ngưoc τ có the thu đưoc bói:

vói moi g ∈

L2(En).

(τ −1 g )(x) = (τg)(−x)

ˆ

đưoc goi là phán xa cna f (tương úng goc toa đ®).

đưoc đ%nh nghĩa bói Bϕ = u ∗ ϕ, hơn

u

∗ ϕ) = uˆϕˆ.

Chương 2

Toán tN tích phân kỳ d% và các tính chat

2.1 Đ%nh nghĩa toán tN tích phân kỳ d%

26

và như the ta có đưoc đieu mong muon.

Hilbert là kieu (p, p), 1 < p < ∞ Chúng ta dn đoán rang bien đoi

1

s

−∞

t

dt.

cũng có dang (p, p).

%nh nghĩa hàm Hardy - Littlewood lón nhat m f bói:

m f (x) = sup

Ωn r n t

ó đây Ωn là m®t "the tích" (đ® đo Lebesgue) cna khoi hình cau đơn v%

{t ∈ E n : |t| ≤ 1} C¾n trên đúng là lay trên tat cá các hình cau S x

có tâm là x bán kính dương, và |S x | là đ® đo Lebesgue cna S x (vì v¾y

neu bán kính cna S x là r thì ta có |S x | = Ω n r n)

tính L p (En), 1 ≤ p ≤ ∞, vào không gian cúa các hàm đo đưoc trên

E n Vói moi h ∈ L p (E n ) ta đ%nh nghĩa Mh bói

Bo đe 2.1.2 Giá sú ϕ là hàm đ¾c trưng cúa khoi hình cau đơn v%

"Mf" p ≤ B p "f" p

"f ∗ g" L1 ≤ "f" L1 "g" L1

và neu f ∈ L1(R n ), g ∈ L p (R n ), p > 1 thì (f ∗ g) ∈ L1(R n ) và

"f ∗ g" L p ≤ "f" L1 "g" L p

a Vói n = 1, f (x) = 1 , g (x) ∈ C ∞ (R) Ta có đ%nh nghĩa toán

và toán tú này đưoc goi là toán tú Hilbert

b Vói n ≥ 1 Giá sú xét nhân là hàm K(x) thóa mãn:

se h®i tn neu k < n và phân kỳ neu k ≥ n.

R

là nhân thóa mãn tích phân kỳ d%

Trong R n vói n = 2 Xét x = (x1, x2), vói K(x1, x2) là hàm lé, thuan nhat b¾c 2 có dang:

nhân cna toán tú tích phân kỳ d%.

2.2 Toán tN tích phân kỳ d% vái nhân lé

Muc đích cna chúng ta trong phan này là mó r®ng ket quá cna tích

phân kỳ d% tói n chieu Đau tiên chúng ta phái tìm m®t bien đoi

Hilbert tong quát thích hop Ta có the giá sú nhân cna nó có dang:

sgnt là tích ch¾p cna f vói K (theo hưóng giá tr%

chính) tói bien đoi Hilbert cna f Vì v¾y dna vào ket quá ve bien đoi

Hilbert trong Muc (2.1.1) ta có đưoc toán tú:

(neu ¸. n−1 |Ω(t r )| dt r < ∞) Vì v¾y toán tú này đưoc biet như m®t

toán tÚ tích phân kỳ d% vái nhân lé

M®t cách tong quát hơn hach thu đưoc neu chúng ta đơn thuan thùa nh¾n rang vi¾c han che Ω tù hình cau đơn v% là khá tích và

và ta thay đieu ki¾n này là de dàng thóa mãn khi Ω là m®t hàm lé.

Cuoi cùng chúng ta chí ra toán tú đưoc đ%nh nghĩa bói (2.3) khi hach K

có dang (2.2) vói Ω thóa mãn đieu ki¾n tong quát

Đ%nh lí 2.2.1 Giá sú rang K là hach đưoc đ%nh nghĩa bói (2.2) và

Ω là m®t hàm lé, thuan nhat b¾c 0 và khá tích trên .n−1 Khi đó vói moi s > 0 và f ∈ L p (E n ), 1 ≤ p < ∞ ta có:

Chúng minh Đe chí ra đưoc đ%nh lí này, đau tiên ta có bieu th% t trong

toa đ® cau t = rt r vói |t| = r và t r ∈ .n−1 và vì v¾y ta có:

dt r

Vì v¾y:

Neu σ là m®t phan tú cna nhóm quay SO(n) tn đ®ng trên En thì chúng

ta goi R σ là toán tú trên E n và đưoc đ%nh nghĩa bói:

H(1

)

d s d s

dr , ó đây

và dx r là đ® đo Lebesgue cám sinh trên .n−1

b) Giá sú ϕ là khá tích trên .n−1 Khi đó:

.1

ó đây dσ là ưóc so Haar trong chuan SO (n) cho bói ¸SO (n) dσ = 1

Như v¾y ta có the thay bo đe là h¾ quá trnc tiep cna phương trình (2.4).

H¾ quá 2.2.1 Cho f ∈ L p (E n ), 1 ≤ p < ∞ Khi đó:

g (x) cho bói công thúc:

g (x) = sup(2r) −1

Ket quá nó kéo theo tù Đ%nh lí 2.1.3 và trên thnc te Rσ là m®t đang cn

khi đưoc han che trên L p (En), cho vói 1 < p < ∞,