Toán tử tích phân và ứng dụng

Phương pháp của Giải tích hàm là tiền đề hóa những tính chất đặc trưng của tập hợp số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề cơ bản của giải tích cổ điển vào những khô

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội

2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn

Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn

thành khóa luận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa

luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của

các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu

của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục 30

2.2 Toán Tử tích phân với hạch bình phương khả tích 32

2.3 Toán tử tích phân trong không gian C a;b 33

2.4 Toán tử tích phân trong không gian L a bp  ; 35

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tình 45

3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính 47

3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần Hạch lặp 47

3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến 65

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm và Giải tích hàm là một bộ môn lý thuyết được ra đời và

phát triển từ những năm đầu của thế kỷ XX đã tích lũy được những nội dung

hết sức phong phú, những phương pháp và kết quả hết sức mẫu mực, Giải tích

hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến

những công cụ giải tích Vì lẽ đó Giải tích hàm trở thành nơi gặp gỡ của nhiều

ngành khoa học lý thuyết và ứng dụng như: lý thuyết phương trình vi

phân_tích phân, điều khiển tối ưu, lý thuyết các bài toán cực trị

Phương pháp của Giải tích hàm là tiền đề hóa những tính chất đặc trưng

của tập hợp số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề

cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó

Vì vậy, việc học và nắm vững môn học này là rất cần thiết đối với mỗi

sinh viên khoa toán Tuy nhiên kiến thức trên lớp với thời lượng eo hẹp, cùng

với sự mới mẻ và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những

kiến thức của Giải tích hàm trở nên không dễ dàng với mỗi sinh viên khoa

toán Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm, đồng thời

quyết tâm đi vào nghiên cứu khoa học, được sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng, em đã chọn đề tài: “ Toán tử tích phân và ứng

dụng giải phương trình tích phân ” để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

hơn về Giải tích hàm, đặc biệt là lý thuyết toán tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết liên quan đến toán tử tích phân, tính

chất của toán tử tích phân, ứng dụng của toán tử tích phân vào giải phương

trình tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Phương pháp phân tích sản phẩm

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: Toán tử tích phân

Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1

Không gian metric là một tập hợp  khác rỗng cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes    vào tập hợp số thực  , thỏa mãn các tiên đề sau:

1)   x y ,    d x y   ,  0, d x y   ,    0 x y (tiên đề đồng nhất)

2)   x y ,   d x y   ,  d y x   ,   x y (tiên đề đối xứng)

3)   x y z , ,   d x y  ,   d x z   ,  d z y   , (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên  , số d x y   , gọi là khoảng cách giữa

hai phần tử xvà y Các phần tử của  gọi là điểm, các tiên đề 1), 2), 3)

gọi là tiên đề metric

Không gian metric được kí hiệu     , d 

 Sự hội tụ trong không gian metric

Nhận xét: Nếu hai dãy điểm   xn ,   yn hội tụ tương ứng tới xvà

Cho không gian metric     , d  Dãy điểm   xn  gọi là dãy

cơ bản trong , nếu:

Dễ thấy mọi dãy điểm   xn  hội tụ trong  đều là dãy cơ bản

Điều khẳng định ngược lai không đúng

Định nghĩa 1.1.4

Không gian metric     , d  gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ

bản trong không gian này đều hội tụ

 Nguyên lý Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.5

Cho hai không gian metric   1  , d1, 2    , d2 Ánh xạ Atừ

không gian 1 vào không gian 2 gọi là ánh xạ co, nếu:

     0,1     x x , '    d2 A A x , x '    d x x1 , ' 

Định lý 1.1.1(nguyên lý Banach về ánh xạ co)

Mọi ánh xạ co A ánh xạ từ không gian metric đầy     , d  vào

chính nó đều có điểm bất động x_ duy nhất, nghĩa là x_   thỏa mãn hệ

Giả sử  là không gian metric compact Gọi C    là tập hợp tất cả

các hàm liên tục trên (với giá trị thực hay phức) Nếu họ A  C    thỏa

mãn các điều kiện:

a) A là bị chặn tại từng điểm trên 

b) A là đồng liên tục trên 

thì A là một tập hợp compact tương đối trong C   

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1

Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một

không gian tuyến tính  trên trường (   hoặc    ) cùng với một

ánh xạ từ tập vào  , kí hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề

sau:

1)    x  x  0, x    0 x  (kí hiệu phần tử không là  );

2)      x     x    x ;

3)   x y ,   x   y x  y ;

Số x gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định

chuẩn là  Các tiên đề 1), 2), 3) gọi lả hệ tiên đề chuẩn

 Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric

Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric

 Không gian con

Cho không gian định chuẩn  và tập hợp 0 ,  0 

Nếu 0 là một không gian tuyến tính con của  và chuẩn xác định

trên 0là chuẩn xác định trên , thì 0được gọi là không gian định

chuẩn con của không gian định chuẩn 

 Không gian Banach

Không gian định chuẩn  gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ

bản trong  đều hội tụ

 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.4

Cho không gian đinh chuẩn  , x  

Tập U   y  : f x    f y      ,  0 cho trước , f    gọi

là lân cận yếu của điểm x

Định nghĩa 1.2.5

Cho không gian định chuẩn  Dãy   xn  gọi là hội tụ yếu tới

phần tử x  , nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìm được số n0  

Cho các không gian tuyến tính  và  trên trường (   hoặc

   ) Ánh xạ A từ không gian vào không gian  gọi là tuyến tính,

nếu ánh xạ Athỏa mãn điều kiện:

1)   x x , '   A x   x '   Ax  Ax '

2)     x       A    x   A x

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A

chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A

chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất

Khi  =  thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến

tính

Định nghĩa 1.2.8

Cho hai không gian định chuẩn và  Toán tử tuyến tính A từ

không gian vào không gian  gọi là bị chặn (giới nội), nếu tồn tại hằng

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn vào không

gian định chuẩn  Ba mệnh đề sau tương đương:

1) A liên tục

2) A liên tục tại điểm x0nào đó thuộc 

3) A bị chặn

 Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn

Cho hai không gian định chuẩn  và  Kí hiệu L    ,  là tập

hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn  vào

không gian định chuẩn  Ta đưa vào L   ,   hai phép toán:

+) Tổng của hai toán tử A B ,  L    ,  là toán tử, kí hiệu A B  ,

Dễ dàng kiểm tra A  B  L   ,  ,  A  L    ,  với hai phép

toán trên thỏa mãn hệ tiên đề không gian tuyến tính Do đó tập hợp L   ,  

cùng với hai phép toán trên trở thành không gian tuyến tính trên trường 

Với mỗi toán tử bất kỳ A  L   ,  , ta đặt:

Nếu  là không gian Banach thì L   ,   là không gian Banach

 Không gian liên hợp và phản xạ

Định nghĩa 1.2.9

Cho không gian định chuẩn trên trường  (   hoặc    )

Ta gọi không gian L   ,   các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không

gian là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của không gian

và kí hiệu là ( thay cho kí hiệu L,)

Không gian liên hợp của không gian gọi là không gian liên hợp thứ

hai của không gian và kí hiệu là 

Định lý 1.2.4

Nếu không gian liên hợp của không gian định chuẩn là tách

được thì không gian  là tách được

Định lý 1.2.5

Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn  vào

không gian liên hợp thứ hai của không gian 

gọi là compact, nếu ánh xạ A hình cầu đơn vị đóng của thành một tập

hợp compact tương đối trong 

Từ các tính chất của các tập hợp bị chặn và các tập hợp tương đối, ta

suy ra:

o Toán tử compact A ánh xạ mọi tập hợp bị chặn trong

thành một tập compact tương đối trong 

o Toán tử compact là liên tục

Như vậy tính compact của một toán tử tuyến tính mạnh hơn tính liên

tục, do đó người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn liên

tục

Định lý 1.2.7

Nếu A :    là một toán tử compact của không gian định chuẩn

vào không gian định chuẩn  , thì ánh xạ A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu

trong thành dãy hội tụ (mạnh) trong 

Định lý 1.2.8

Giả sử là không gian Banach phản xạ và  là một không gian định

chuẩn tùy ý Nếu toán tử tuyến tính:

A :   

ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  thì A

là một toán tử compact

Định lý 1.2.9

Giả sử là một không gian định chuẩn tùy ý và  là một không gian

Banach Nếu An   L  ,   n  1 , 2  là một dãy toán tử compact, hội tụ

a) Nếu  và  là hai không gian định chuẩn và A :    là một

toán tử compact, thì toán tử liên hợp A:    cũng là compact

b) Ngược lại, nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng  là

một không gian Banach, thì Alà một toán tử compact

1.3 Không gian Hilbert

 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.1

Cho không gian tuyến tính  trên trường  (   hoặc    )

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian mọi ánh xạ từ tích Descartes

Các phần tử x , y , z gọi là các phần tử của tích vô hướng Số   x y ,

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là

hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.2 (định nghĩa không gian Hilbert)

Ta gọi một tập hợp    gồm các phần tử x y z , , , nào đấy là

không Gian Hilbert, nếu tập hợp  thỏa mãn các điều kiện:

1)  là không gian tuyến tính trên trường 

2)  được trang bị một tích vô hướng    , 

3)  là không gian Banach với chuẩn x    x x , , x 

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert 

là không gian Hilbert con của không gian 

 Phần bù trực giao, tập con trực giao

Định nghĩa 1.3.3

Cho không gian Hilbert , hai phần tử x y ,  gọi là trực giao, kí

hiệu x  y, nếu   x , y  0

Định nghĩa 1.3.4

Cho không gian Hilbert  và tập hợp A   , A   Phần tử x  

gọi là trực giao với tập hợp A, nếu x  y   y  A , kí hiệu x  A

F gồm các phần tử của không gian  trực giao với tập  gọi là phần

bù trực giao của tập  trên không gian  và kí hiệu: F    

Dễ thấy F cũng là không gian con của  khi đó ta có biểu diễn:

    F   x  x1 x2, x1  , x2 F 

Định lí 1.3.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)

Cho không gian Hilbert  và 0 là không gian con của  Khi đó

phần tử bất kỳ x   biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x  y  z , y  0, z  0

 Hệ trực chuẩn

Định nghĩa 1.3.6

Cho không gian Hilbert  Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm hữu

hạn hay đếm được các phần tử  e n n1   gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

Hệ trực chuẩn   en n1 trong không gian Hilbert  gọi là cơ sở trực

chuẩn của không gian , nếu trong không gian  không tồn tại vectơ khác

không nào trực giao với hệ đó

Định lí 1.3.3

Cho   en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert  Năm

mệnh đề sau tương đương:

1) Hệ   en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian ;

,

n

n

e x x

 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lí 1.3.4 (F Riesz)

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert  đều có

thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào

không gian Hilbert  Toán tử B ánh xạ không gian  vào không gian 

gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu:

 A x , y    x , By  ,  x   ,  y  

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A

 Toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.3.9

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính

nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

 A x , y    x , A y  ,  x , , y  

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lí 1.3.5

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính

nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng  A , x x  là một số thực đối với

mọi x 

 Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.3.10

Cho không gian Hilbert  Dãy điểm   xn  gọi là hội tụ yếu tới

điểm x  , kí hiệu xn yêu x, nếu với mọi điểm y ta có:

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào

không gian Hilbert  A là toán tử compact khi và chỉ khi toán tử A biến

mọi dãy hội tụ yếu trong không gian  thành dãy hội tụ mạnh (còn gọi là hội

tụ theo chuẩn) trong không gian 

Định lí 1.3.7

Nếu  là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử

compact trong  đều là một toán tử compact

 Điều kiện Lípchitz

Ta nói rằng trên   a b ; ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lípchitz theo biến

y, nếu tồn tại số L  0 sao cho với mọi y y , '    a b ; ta có bất đẳng thức:

A y  A y '  L y  y '

Số L được gọi là hằng số Lípchitz

 Toán tử dương

Toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert  gọi là

dương nếu với mọi x   ta đếu có:

 A x , x   0

Khi đó người ta kí hiệu: A  0

a) Vx  0 khi x  , tức là thu hẹp của V lên  là toán tử không

b) V x  x khi x  , tức là thu hẹp V lên  là toán tử đẳng cự

Giả sử  và  là hai không gian Hilbert và A :    là một toán

tử Compact của không gian  vào không gian  Như đã biết, toán tử A

có thể biểu diễn dưới dạng:

A  VT

với  là một toán tử dương, compact trong , và V là toán tử đẳng cự bộ

phận, với miền gốc          

A và miền ảnh    A  

Vì  là compact và dương, nên ta có thể xét dãy các giá trị riêng khác

0 của  là:  1, 2, ,n, trong đó mỗi giá trị riêng được kể với một số lần

bằng số bội của nó, và ta có n 0, lim n 0

Giả sử A :    là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian

Hilbert  vào không gian Hilbert  Để A là một toán tử Hilbert-Smith,

điều kiện cần và đủ là chuỗi:

Đưa vào không gian C a;b hai phép toán đó là cộng hai hàm số và

phép nhân số thực với hàm số như thông thường:

+)  x  y  ( t )  x ( t )  y ( t )

; x t x

t x

b a

(

; x t x

t

x

b a

t



 xác định một chuẩn trên C a;b Thật vậy:

o x t ( )  C a b; , suy ra x t ( ) liên tục trên   a b ; , nên x (t ) đạt GTLN trên  a b ;

Tiên đề 3 được thỏa mãn

Vậy C a;b cùng với chuẩn (1.4.1) lập thành một không gian định

Điều này chứng tỏ   t   a b ; thì dãy  

 1

) ( n

t (1.4.3) Suy ra xn   x 

Suy ra xn  x

Từ (1.4.3) ta có xn( t )  x ( t )

Mà xn(t ) liên tục trên   a b ; , nên x t ( ) liên tục trên   a b ;

Suy ra x t ( )  C a b;

Ta có sự hội tụ trong không gian C a;b tương đương với sự hội tụ đều

của dãy hàm liên tục trong không gian C a;b

Cho không gian độ đo , với độ đo  Ta kí hiệu L a bp  ;  p  1  là

tập hợp tất cả các hàm số x (t )đo được theo độ đo  trên , sao cho:

Ta đưa vào L a bp  ; hai phép toán: cộng hai hàm số và nhân một số

thực với hàm số như thông thường:

+) Dễ dàng kiểm tra hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính

nên không gian Lp  ,   trở thành không gian tuyến tính thực

d t x x

t x

1

) ( )

d t x

k x k x t d k x t d k x

p p

p p

) ( )

3  x ( t ), y ( t )  Lp   ;  , ta có:

p p p

p p

p

d t y d

t x d

t y t x y

x

1 1

1

) ( )

( )

( ) (                 

(Theo bất đẳng thức tích phân Mincovxki)

Vậy Lp   ;   cùng với chuẩn trên lập thành không gian định chuẩn

trên 

Nếu     a b p ; ,  2 ta có không gianL a b2  ;

Hàm x t ( ) L a b  2  ; thì ( )2

b a

b a

             

q q p

p

d t y d

t x d

t y t x

1 1

) ( )

( )

( )

nếu các tích phân trong bất đẳng thức trên hữu hạn

Bất đẳng thức Mincovxki

Giả sử x ( t ), y ( t )là hai hàm  _ đo được trên tập , số thực p  1

Khi đó nhận được bất đẳng thức tích phân Mincovxki:

p p p

p p

p

d t y d

t x d

t y t

x

1 1

1

) ( )

( )

( ) (                 

Cho  là một độ đo  _ hữu hạn trên một  _ đại số M trong không

gian , là một độ đo  _ hữu hạn trên một  _ đại số N trong không

gian  , f x y ( , ) là một hàm đo được theo độ đo    

Nếu f x y ( , ) không âm và khả tích / tập A  B  M  N thì ta có:

d y x f d

y x

Nhiều khi f x y ( , ) khả tích /A  B thì với  y  B hàm số f x y ( , )

xem như hàm số theo một biến x là khả tích trên A (B ) Đồng thời với mọi

  hàm số f x y ( , ) xem như một biến y khả tích trên B ( A )

Chương 2

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN 2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục

Giả sử  là một tập hợp compact trong không gian  m,K là một

hàm số liên tục trên    Ta sẽ chứng minh rằng nếu   L2   thì tích

phân:

  



 K x s s ds x

A  ( ) ( , )  ( ) (2.1.1)

tồn tại với mỗi x   và A  là một hàm số liên tục trên 

Trước hết chú ý rằng nếu  có độ đo hữu hạn và   L2   thì ta có:

Từ đó và tính giới nội của hàm số K trên tập hợp suy ra sự tồn tại của

tích phân ở vế phải của (2.1.1) với mỗi x  

Ta sẽ chứng minh A  là toán tử tuyến tính liên tục:

+) Do K là hàm số liên tục trên   , mà  là không gian

compact Nên K sẽ liên tục đều trên   , nghĩa là:

(Ở đây ta xét trường hợp   0 Nếu   0 thì    0)

Khi đó với mọi x ' x , '  , nếu x ' x  '   thì

    



s s

x K s x

1 )

, '' ( ) , ' (

(

1 1

2

2

x x ds







Vậy A  là một hàm số liên tục trên  Vì  là tập hợp compact nên

mỗi hàm số liên tục trên  đều thuộc L2   Do đó A  là một ánh xạ từ

không gian L2   vào chính nó

+) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính

Suy ra A  bị chặn

Vậy A là một toán tử tuyến tính liên tục từ L2   vào L2  

A được gọi là toán tử tích phân với hạch liên tục

2.2 Toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích

Giả sử  là tập hợp đo được(theo nghĩa Lebesgue) trong không gian

A  ( ) ( , )  ( ) (2.2.1)

tồn tại với hầu hết x   và A   L2  

Thật vậy, theo định lí Fubini ta có:

x K dx

ds s x

K ( , )2 ( , )2 (2.2.2)

Do đó từ bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra tích phân ở vế phải của

(2.2.1) tồn tại với hầu hết x  , và:

2 2

) ( )

, ( )

( ) , ( )



 A  ( x )2dx     K ( x , s )2ds    dx . ( x )2ds (2.2.3) Vậy A   L2  

Ta đã chứng minh A là một ánh xạ từ không gian L2   vào chính

nó

Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính

A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích

2.3 Toán tử tích phân trong không gian C a;b

Cho hàm số K ( x , s ) xác định và liên tục trên hình vuông

y x

A  ( ) ( ) ( , )  ( ) (2.3.1)

A gọi là toán tử tích phân, K x s ( , ) gọi là hạch(hạt nhân) của toán tử

Nhờ tính chất của tích phân phụ thuộc tham số, hàm số A  ( s )  C a;b , với

mọi  ( s )  C a;b Dễ dàng kiểm tra A là toán tử tuyến tính

b a b

s a b

a

ds s x K ds

s s

x K ds

s s x K s

 a b

b a b s

suy ra  a b

b s

Vì hàm K ( s x , ) liên tục trên hình vuông D nên K ( s x , ) bị chặn và

liên tục đều trên hình vuông ấy, do đó:

D s x

và với số   0 cho trước, ta tìm được một số   0 sao cho x1  x2   thì:

thành thử tập hợp A S    C a b; là bị chặn và liên tục đều, định lí Axcoli

chứng tỏ rằng A   S là tập compact tương đối trong C a;b Vậy A là tập

compact

2.4 Toán tử tích phân trên không gianL a bp  ;

Không gian L a bp  ; gồm tất cả các hàm số x (t ) đo được theo độ đo

Lebesgue trên đoạn   a b ; sao cho: ( )

b

p a

K x s dx M

b a

y x

A  ( ) ( ) ( , )  ( ) (2.4.2)

Ta chứng minh y t ( )  L a bp  ; với p  1 Giả sử q là số sao cho:

1

1 1

q p

Áp dụng bất đẳng thức Holder h k n trên   a b ; ta có:

a

q p b

a

ds s

s x K ds

s s x K x

y

1 1

) ( ) , ( )

( ) , ( )

1 1

a

p

a b ds

s s

x K

1 1

1

) (

) ( ) ,

b a

p q

p p pq p

ds s dx

s x K a

   p  

p p pq p

a b

1

) (

Vậy A là toán tử tuyến tính bị chặn trên L a bp  ;

Với p  2 ta có không gian L a b2  ; , trong không gian này ta xét toán

tử tích phân:

  ( ) ( , ) ( )

b a

A  x   K x s  s ds

với nhân K ( x , s ) là hàm có bình phương khả tích, tức là:

b a

ds s dx

x s x

K ( , )  ( )  ( )

Do đó    b

a

ds s x s K x

A  ( ) ( , )  ( )

Hay A cũng là một toán tử tích phân với hạch:

K( x , s )  K ( s , x )

+) Toán tử tích phân A là dương, thật vậy:

Giả sử hàm K ( x , s )  0 h k n trên hình vuông D   a  x s ,  b 

b a

b a

dxds s

x K ds

s ds s s x K

2

) , ( )

( )

( ) , (



Suy ra  A  ,    0

Vậy toán tử A xác định dương

+) Toán tử A là toán tử compact, thật vậy:

Vì không gian L a b2  ; là khả ly, nên tồn tại một cơ sở trực chuẩn đếm

được  ei  e x ii( ),  1, 2  của không gian ấy

Mặt khác, theo định lí Fubini điều kiện (2.4.3) chứng tỏ rằng với hầu

b a j b

a

b a

j

j x K x s e s ds K x s ds e s ds K x s ds

2 2

) , ( )

( )

, ( )

( ) , ( )

) ( )

(

j

i ij

j i

ije x e s s

x K

) ( ) ( )

b b n n

ij i j n

j i

n n n

ij i j j

n i

b a j n

j

i ij n

n x K x s s ds e x e s s ds

A

)()()()

(),()

Rõ ràng toán tử Anlà liên tục và hữu hạn chiều vì đẳng thức (2.4.5)

chứng tỏ miền giá trị của An là không gian con n_chiều của L a b2  ; tạo bởi

các vectơ e xi( ) 1    i n  Vậy An là toán tử compact

Cuối cùng để chú ý rằng    L a b2  ; thì:

b a

n

n A x A x dx A