Tiểu luận toán c1 TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG TRONG kinh tế

C ÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH N GUYÊN HÀM .... Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích .... Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO BẰNG HAI

1 Nguyễn Thị Thùy Mai – B20 KDN

2 Nguyễn Ngọc Hương Sen – B20 KKT

3 Trần Thị Thanh Hà – B20 KDN

Đà Nẵng, Tháng 06/2015

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

1 N GUYÊN HÀM : 2

1.1 Định nghĩa: 2

2 C ÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH PHÂN BẤT ĐỊNH (N GUYÊN HÀM ) 3

2.1 Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích 3

2.2 Phương pháp đổi biến số 3

2.3 Phương pháp tích phân từng phần 4

3 T ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 5

3.1 Định nghĩa 5

PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 8

1 B ÀI TẬP D ẠNG 1 8

Bài tập 1 8

Bài tập 2 : 8

2 B AI TẬP D ẠNG 2 9

Bài tập 3 : 9

Bài tập 4: 10

Bài tập 5: 11

3 B AI TẬP D ẠNG 3 12

Bài tập 6: 12

Bài tập 7: 14

4 B AI TẬP D ẠNG 4 15

Bài tập 8: 15

5 B AI TẬP D ẠNG 5 16

Bài tập 9: 16

Bài tập 10 : 17

Bài tập 11: 18

KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Trang 1

LỜI MỞ ĐẦU

Những vấn đề thường gặp trong các hoạt động kinh tế rất đa dạng và phức tạp Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề như vậy một cách chặt chẽ và hợp lý, mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu cấp bách đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế

Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong kinh tế, nhóm chúng em đã chọn

đề tài “Tích phân và ứng dụng trong kinh tế” Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng của tích phân nhằm giải các bài toán trong kinh tế học

ĐỊNH NGHĨA:

Cho K là một khoảng trong ℝ (tức là K là một trong các dạng:

a, b, a, b, [a, b hoặc [a, b) Hàm Fx được gọi là nguyên hàm của hàm fx trên K nếu

Fx = fx, ∀x ∈ K

Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía

Như vậy, trong một khoảng nếu f′x là đạo hàm của fx thì ngược lại fx được gọi là nguyên hàm của f′x

Trang 3

∫ # $ = # + %

2 Các phương pháp tính phân bất định (Nguyên hàm)

Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu ột số phương pháp chung để tìm tích phân bất định bao gồm các dạng toán như sau:

2.1 Phân tích hàm cần tìm tích phân thành tổng của các hàm khả tích

Dựa vào tính chất tuyến tính của tích phân bất định và bảng tích phân cơ bản,

ta có thể tìm tích phân bất định của một hàm số bằng cách phân tích thành tổng của các hàm đã có tích phân được tìm sẵn

2.2 Phương pháp đổi biến số

dx là một vi phân nên ta có thể viết như sau

ĐỊNH LÝ 1:

Điều kiện khả tích đủ để một hàm số y= f x( ) khả tích trên miền [a b, ] bao gồm các điều kiện sau:

• f x( ) liên tục hoặc có một số điểm gián đoạn hữu hạn trên [a b, ] ;

• f x( ) đơn điệu và bị chặn trên [a b, ]

ĐỊNH LÝ 2

Hàm y= f x( ) khả tích trên miền [a b, ] thì nó bị chặn trên đoạn đó

Trang 8

PHẦN II: BÀI TẬP TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

1 Bài tập Dạng 1

Biết đại lượng Q(t) thay đổi với tốc độ Q’(t) đã biết Tính lượng thay đổi của

Bài tập 1: Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất

Bài tập 2 :

Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn vị được sản xuất là 4(q − 5)3 đô la/ đơn vị Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị ?

Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế

(GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ đầu năm 2004 sẽ là 30 1 5

USD/năm Biết rằng GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2004 là 100 tỷ USD

a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đó vào đầu năm 2015

b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm

1

b) Ta có :

Trang 10

2 1

) (

).

( '

t f

t t

=

) 5 , 11 (

5 , 0 ).

5 , 11 ( '

f

f

Bài tập 4:

Hưởng ứng phong trào “Ngày vì người nghèo” do Đài truyền hình Việt Nam tổ

chức, tối ngày 16/06/2015 Chương trình “Chung tay vì người nghèo” đã được tổ chức tại 3 điểm cầu truyền hình tại 03 thành phố lớn của đất nước là: Hà Nội, Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh và được truyền hình trực tiếp trên kênh VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam Trong chương trình này, các cá nhân, tổ chức trong và ngoài nước có dịp được chung tay góp sức giúp đỡ người nghèo bằng cách nhắn tin hoặc quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp sẽ thay đổi với tốc độ 300te./,0 (triệu đồng/giờ) Hãy xác định số tiền có được sau 05 giờ quyên góp?

<$> = 3= = 3001 ⇒ $= = 300 $1./,4 $1 ⇒ > = −103./,4

Do đó,

#1 = −300013./,4 − ? −300013./,4 $1 = −300013./,4 − 300003./,4 + %

Trang 13

a Hỏi bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm

b Tính tiền lãi thực sinh của máy trong khoảng thời gian đã được xác định trong câu (a)

Vậy sau 25 năm thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm

b) Tiền lãi thực sinh trong khoảng thời gian trên là:

Tại một cửa hàng kinh doanh quần áo X sinh ra doanh thu với tốc độ M′(1 =

7250 − 181 (triệu/năm) sau 1 năm Chi phí kinh doanh của cửa hàng tăng với tốc

độ %4 = 3620  121 (triệu /năm) Sau bao nhiêu năm lợi nhuận của cửa hàng bắt đầu giảm và lợi nhuận sinh ra trong khoảng thời gian đã được xác định là bao nhiêu?

Bài tập 8:

Sau t tháng làm việc tại xưởng may, một nhân viên cắt may có thể cắt F(1 =

700 − 3./.B4 chiếc quần dài trên một giờ Tính tốc độ sắp xếp trung bình của nhân viên cắt may trên trong 3 tháng đầu tiên làm việc

Bài toán tìm hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm biên

Cho biết khuynh hướng tiết kiệm biên MSP (marginal propensity to save) phụ thuộc vào mức thu nhập: MSP = dS/dY = 0,3 – 0,1Y − 0 , 5, với Y là thu nhập và

S = S(Y) là hàm tiết kiệm Cho điều kiện ban đầu S = 0 khi Y = 81 Tìm hàm tiết kiệm

Trang 17

Bài tập 10 :

Bài toán đầu tư và hình thành vốn

Xét hàm tích trữ vốn: K = K(t) (đây là khái niệm tích trữ – stock concept) và hàm I

= I(t), cường độ đầu tư thuần (đây là khái niệm dòng –flow concept) Vốn tích trữ

K và cường độ đầu tư I có mối quan hệ cho bởi phương trình vi phân I (t)

dt

dK

= Vế trái là tốc độ biến thiên của vốn tích trữ, cònvế phải là cường độ đầu tư Biết hàm

- Hàm f(x) liên tục trên [a,b] Ta tính được giá trị trung bình của f(x) trên [a,b]

- Bài toán đầu tư và hình thành vốn…

Trong phạm vi của tiểu luận, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu một số các ứng dụng của tích phân trong vô vàn ứng dụng đa dạng của tích phân trong kinh tế… Kính mong các thầy cô chân thành góp ý để nhóm chúng tôi có thể hoàn thiện hơn trong những lần thực hiện tiếp theo

Trang 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Toán cao cấp I & II dành cho khối ngành kinh tế - Nguyễn Văn Bắc

[2] Tiểu luận toán cao cấp C – Trần Thị Phượng

[3] Giáo trình toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Thị Lệ Nhung; ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích

[4] Tài liệu ôn tập môn Toán cao cấp C1 – ThS Nguyễn Tấn Huy

[5] Calculus for Business, Economics, Life Sciences and Social Sciences – Raymond A Barnett; Michael R Ziegler, Karl E Byleen