Toán tử sai phân và ứng dụng vào giải toán sơ cấp

Mở đầuToán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa,tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử: • Bài toán chia hết, phần nguyê

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS.Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình

và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạylớp Cao học Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệm đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vànghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giađình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quátrình học cao học và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Trang

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Một số tính chất của toán tử sai phân 5

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 8

1.4 Phương trình sai phân phi tuyến 18

2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh khá, giỏi 20 2.1 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng tổng quát 20

2.2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tính tổng 23

2.3 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về bất đẳng thức 27

2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán chia hết, phần nguyên 29

2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài tổ hợp 34

2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về giới hạn 36 2.7 Một số bài tập đề nghị 39

Mở đầu

Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa,tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử:

• Bài toán chia hết, phần nguyên;

• Bài toán đếm của giải tích tổ hợp;

• Bài toán về giới hạn hàm số;

• Bài toán về bất đẳng thức;

• Tính tổng của một dãy số;

• Xác định số hạng tổng quát của một dãy số

Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào các dạng bài toán kểtrên, ta còn có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phươngpháp sai phân vào giải các bài toán thực tiễn

Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vàogiải một số bài toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào quátrình dạy học của bản thân, Em đã lựa chọn đề tài về ứng dụng toán tửsai phân vào giải một số bài toán sơ cấp Luận văn có các nhiệm vụ chínhsau:

• Tìm hiểu về định nghĩa và các tính chất của toán tử sai phân;

• Đọc hiểu ý tưởng vận dụng toán tử sai phân vào giải môt số bài toán

sơ cấp được trình bày trong bài báo [5], [6]

• Sưu tầm một số bài toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mànhững bài tập đó có thể giải bằng cách vận dụng khái niệm, tính chấtcủa toán tử sai phân;

• Trình bày tường minh lời giải một số bài toán trên cơ sở vận dụngkhái niệm, tính chất của toán tử sai phân.

Ngoài ra, luận văn cũng trình bày các cách giải khác nhau của cùng mộtbài toán và so sánh những phương pháp giải với lời giải khi ứng dụng tínhchất của toán tử sai phân đó người đọc có thể đưa ra nhận xét, so sánhgiữa các lời giải với nhau

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 được chúng tôi sử dụng để nhắc lại các kiến thức thường đượctrình bày trong các giáo trình giảng dạy ở bậc đại học Nội dung chương 1

được chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [4] - [7]

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 [5] Cho h là một số thực khác 0 và hàm f (x) Khi

Ký hiệu ∆0hf (x) hoặc If (x) thay cho f (x)

Với bất kỳ số nguyên n > 1, chúng ta định nghĩa sai phân bậc n bởi

∆nhf (x) = ∆n(∆n−1h f )(x)

Ví dụ

∆2hf (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x),

∆3hf (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x)

Bằng quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được

∆nhf (x) =

n

X

k=0(−1)n−kCnkf (x + kh), (1.1)

1.2 Một số tính chất của toán tử sai phân

n

X

i=0(−1)iCinf (x + (n − i)h)

Tính chất 1.2.6 [4] Giả sử f ∈ Cn[a; b] và (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:

Tính chất 1.2.7 [4] Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và h = 1; kíhiệu xk = f (k); k = 0, 1, thì

D(f (x)) = df

dx = limh→0

f (x + h) − f (x)

Cho h = 1 và thay biến x bằng n ta có toán tử sai phân ∆ Như vậy

∆ có các tính chất của toán tử sai phân D.Ta xét một số tính chất thôngqua các định lý sau với D(xn) = nxn−1

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1 [4] Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thứctuyến tính của sai phân các cấp dạng:

a0un+k + a1un+k−1 + + akun = fn, (1.3)

trong đó a0, a1, , ak (với a0 6= 0, ak 6= 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng sốcho trước hay các hàm số của n, fn là một hàm số của biến n, un là ẩn sốcần tìm.

a0un+k + a1un+k−1 + + akun = 0 (1.4)Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậckvới hệ số hằng.+ Nếu a0, a1, , ak là các hàm số của n thì (1.3) là phương trình saiphân tuyến tính với hệ số biến thiên

u0, u1, , uk−1 ta đều xác định được duy nhất các tham số C1, C2, , Ck

để nghiệm un trở thành nghiệm riêng của (1.4), nghĩa là đồng thời thỏamãn (1.4) và un = ui, i = 0, k − 1

Cấu trúc nghiệm:

Định lý 1.3.1 [4] Nghiệm tổng quát của (1.3) là un = un+ u∗n, trong đó

un là nghiệm tổng quát của (1.4), u∗n là nghiệm riêng của (1.3)

Định lý 1.3.2 [4] Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng:

un = C1un1 + C2un2 + + Ckunk,

trong đóun1, un2, , unk làk nghiệm độc lập tuyến tính của (1.4) vàC1, C2, , Ck

là các hằng số tùy ý

Định lý 1.3.3 [4] Xét phương trình đặc trưng:

a0λk+ a1λk−1 + + ak = 0 (1.5)+ Trường hợp 1 Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2, , λk

+ Trường hợp 2 Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s thì ngoài nghiệm

λnj ta bổ sung thêm s − 1 nghiệm nλnj, n2λnj, , ns−1λnj cũng là các nghiệmđộc lập tuyến tính của (1.5) Khi đó

+ Trường hợp 3 Nếu (1.5) có nghiệm phức

λj = r(cos ϕ + i sin ϕ),tanϕ = b/a, r = |λj| = √a2 + b2

thì ta lấy thêm các nghiệm rncos nϕ, rnsin nϕ Khi đó

* Trường hợp 1 Nếu fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N

+ và (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn u∗n = Qm(n)

+ và (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì ta chọn u∗n = nsQm(n)

* Trường hợp 2 Nếu fn = αnPm(n), α 6= 0, m ∈ N, Pm(n) là đa thứcbậc m của n

un = C1(n)un1 + C2(n)un2 + + Ck(n)unk.

Phương pháp 3 Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phươngtrình sai phân tuyến tính

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k > 3:

un+k = a1un+k−1 + a2un+k−2+ + akun + fn

Trong đóa1, a2, , aklà các hệ số;un, un+1, , un+k là các ẩn;u0, u1, , uk−1

là các gia trị ban đầu

Phương trình đã cho luôn đưa được về dạng chính tắc

−

→yn+1 = A−→y

Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho

QAQ−1 = Λ Trong đó Λ là ma trận đường chéo Gioocđan

Thực hiện phép đổi biến

Định nghĩa 1.3.5 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

aun+1 + bun = fn, với a, b 6= 0 hoặc un+1 = qun+ fn, q 6= 0

+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.+ Nếu fn 6≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 khôngthuần nhất

+ Nếu a, b hay q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyếntính cấp 1 với hệ số hằng

+ Nếu a, b hay q là các hàm củanthì ta có phương trình sai phân tuyếntính cấp 1 với hệ số biến thiên

Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 khôngthuần nhất có dạng: un = un + u∗n, trong đó un là nghiệm tổng quát củaphương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêngcủa phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 khôngthuần nhất có dạng un = Cλn, với λ = −b/a hay λ = q

Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:

* Trường hợp 1 Nếu fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n, m ∈N

Thay u∗n = an + b vào phương trình ban đầu ta có

a(n + 1) + b − 2(an + b) = n + 1 ⇔ −an − b + a = n + 1, ∀n ∈ N∗

+ Nếu a, b, c hay p, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phântuyến tính cấp 1 với hệ số hằng

+ Nếu a, b, c hay p, q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phântuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên

Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 khôngthuần nhất có dạng: un = un + u∗n, trong đó un là nghiệm tổng quát củaphương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêngcủa phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

Để tìm nghiệm tổng quátun của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2thuần nhất, ta giải phương trình đặc trưng

* Trường hợp 3 Nếufn = Pm(n) cos αn+Q`(n) sin αn,vớiPm(n), Q`(n)

tướng ứng là các đa thức bậc m, ` củan Ký hiệu k = max{m, `} Ta thấy+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 không là nghiệm của phương trìnhđặc trưng thì

u∗n = Tk(n) cos αn + nRk(n) sin αn

+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 là nghiệm của phương trình đặctrưng thì

Khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng un = c12n+ c23n

Theo giả thiết







u0 = 2,u1 = 5

Vậy

un = 2

√3

3 sin

nπ

3 .

Định nghĩa 1.3.7 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 có dạng:

aun+3 + bun+2 + cun+1 + duu = fn, a, d 6= 0

hoặc

un+3 = pun+2 + qun+1+ kuu+ fn, k 6= 0

+ Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất.+ Nếu fn 6= 0ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuầnnhất

+ Nếua, b, c, d hayp, q, k là các hằng số thì ta có phương trình sai phântuyến tính cấp 3 với hệ số hằng

+ Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hàm của n thì ta có phương trình saiphân tuyến tính cấp 3 với hệ số biến thiên

Định nghĩa 1.3.8 [4] Nghiệm tổng quát của phương trình sai phântuyến tính cấp 3 không thuần nhất có dạng: un = un+ u∗n, trong đó un lànghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất

và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 khôngthuần nhất

Cách tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tínhcấp 3 thuần nhất:

Giải phương trình đặc trưng:

+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 vàλ2 = λ3 =

λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = c1λn1 + (c2n + c3)λn

+ Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực λ và hai nghiệmphức thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:

1.4 Phương trình sai phân phi tuyến

Định nghĩa 1.4.1 [4] Một phương trình sai phân không tuyến tính đượcgọi là phương trình sai phân phi tuyến tính

Ví dụ 1.4.1 Ta có các phương trình sai phân phi tuyến tính sau:

Trong nhiều trường hợp một số phương trình sai phân dạng phi tuyến

có thể thực hiện được như vậy và dạng tuyến tính là có thể giải được, nhờ

đó làm phong phú thêm ứng dụng của phương trình sai phân

Phương pháp để đưa phương trình sai phân phi tuyến tính thành phươngtrình sai phân tuyến tính:

Giả sử phương trình sai phân un = ϕ(un−1, un−2, , un−k) là tuyến tínhhóa được với k giá trị bạn đầu u1, u2, , uk

Khi đó cần tồn tại các hệ số a1, a2, , ak không đồng thời bằng 0sao cho

un = a1un−1 + a2un−2 + + akun−k

Các giá trịuk+1, uk+2, , u2k tính trực tiếp quak giá trị ban đầuu1, u2, , uk

uk+1 = a1u2k−1+ a2u2k−2+ + akuk

Giải hệ phương trình trên ta tìm được a1, a2, , ak Từ đó ta tìmđược un

Sau đó chứng minh tính đúng đắn của biểu thức tuyến tính với mọi n

Ví dụ 1.4.2 Tuyến tính hóa phương trình

un = u

2 n−1+ 2

un−2 , u1 = u2 = 1, n > 3

Giải Ta tìm a, b sao cho

Giải Ta tìm a, b sao cho

un+1 = aun+ bun−1 (1.7)

Chương 2

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh khá, giỏi

Toán tử sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng, nó không những gópphần giải quyết các bài toán về dãy số mà còn giúp giải một số bài toánkhác như phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Trong chương nàychúng tôi xét một số ứng dụng của toán tử sai phân vào giải một số bàitoán sơ cấp như bài toán tìm số hạng tổng quát, bài toán tính tổng, bàitoán về bất đẳng thức, bài toán chia hết, phần nguyên, bài toán tổ hợp,bài toán về giới hạn và một số bài toán khác Nội dung chính của chươngnày được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6]

2.1 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng

tổng quát

Để tìm số hạng tổng quát của dãy {un} cho trước, ta đưa dãy đã cho

về dạng phương trình sai phân tuyến tính giải được Giải phương trình saiphân tuyến tính này ta sẽ tìm được số hạng tổng quát cần tìm

Bài toán 2.1.1 Cho dãy {un}: u1 cho trước, un+1 = aun+ b với a, b chotrước Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy số

Giải

Phương pháp 1

+ Nếu a = 1 thì dãy số là cấp số cộng với công sai là b nên ta có

un = u1 + (n − 1)b

+ Nếu a 6= 1, ta gọi {vn}là dãy số có các số hạng thỏa mãnun = vn+ c.Thay vào hệ thức truy hồi ta có vn = avn−1+ (a − 1)c + b Ta chọn c saocho (a − 1)c + b = 0 hay c = b/(1 − a) Khi đó {vn} là một cấp số nhânvới công bội q = a, số hạng đầu v1 = u1 − c Tức là v1 = u1 − b/(1 − a)

√ 14

14

Do đó

un = (7 − 2

√14)(3 +√

Thay u∗n = an + b vào phương trình đã cho ta có

a(n+2)+b = 5[a(n+1)+b]−6(an+b)+n+2 ⇔ (2a−1)n−(3a−2b+2) = 0

2.2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tính tổng

Trong một số bài toán ta cần tính tổng của một số số hạng đầu tiên

Có nhiều cách khác nhau để giải các bài toán như vậy Trong mục này,chúng tôi sử dụng toán tử sai phân và các tính chất của nó để giải bài toántính tổng

Bài toán 2.2.1 Tính tổng

S = 13 + 23 + 33 + + n3

Giải Đặt k3 = uk+1 − uk; k = 1, 2, , n, ta có

S = un+1 − u1.

Ta tìm un từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau

un+1 − un = n3

Phương trình thuần nhất: un+1− un = o

Ta có phương trình đặc trưng: k − 1 = 0 ⇔ k = 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: un = C

Ta tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất dưới dạng

4n

2

Phương trình thuần nhất: un+1− un = 0.

Phương trình đặc trưng: k − 1 = 0 ⇔ k = 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: un = C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: un = C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

Giải Xét phương trình đặc trưng λ2 − 3λ + 2 = 0 có hai nghiệm

Bài toán 2.3.1 Cho dãy {un} xác định bởi

2 .

Từ đó ta tìm nghiệm

un = c13 +

√52

n+ c23 −

√52

un+2+ un = u

2 n+1

un +

1

un + un
>2 + u

2 n+1

e

un+1un−1 = u

√ 3

n , ∀n> 2

(2.3)

Chứng minh 1e 6 un 6 e với mọi n> 1

Giải Ta thấy un > 0 với mọi n > 1 Suy ra lnun+1+lnun−1 = √

3lnun.Hay an+1−√3an + an−1 = 0 với an = lnun, a1 =

√ 3

2 , a2 = 12.Xét phương trình đặc trưng λ2 −√3λ + 1 = 0 có nghiệm phức

Vì −1 6 cos nπ6 6 1 nên 1e 6 un 6 e với mọi n > 1.

2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán chia hết,

phần nguyên

Việc giải một số bài toán chia hết, phần nguyên có thể dẫn tới giảiphương trình sai phân Do đó ta có thể sử dụng toán tử sai phân và cáctính chất của nó để giải các bài toán đó

Bài toán 2.4.1 Cho dãy số nguyên dương {un} xác định bởi

u0 = 1, u1 = 9, un = 10un−1− un−2

a)Hỏi 3u2k− 1 có chia hết cho 2 không?

b) Hỏi 5uk − uk−1 có chia hết cho 4 không?

Giải Xét phương trình đặc trưng λ2 − 10λ + 1 = 0 có hai nghiệm

2 − √1

6)(5 − 2

√6)n

Theo giả thiết suy ra un+2 và un cùng tính chẵn lẻ

Vì u0 = 1, u1 = 9 là là các số lẻ nên un lẻ với mọi số nguyên dương n.Mặt khác ta có:

12 − √1

6)(5 − 2

√6)2k + 1

6.

Suy ra 3u2k − 1 chia hết cho 2

Theo giả thiết ta có

un+1 = 10un − un−1 = 10un− 10un−2+ un−3 ⇒ un+1 ≡ un−3 (mod 4)