Luận văn sư phạm Toán tử tích phân và ứng dụng

1.3 Không gian Hilbert.

L I C M N

hoàn thành khóa lu n này tr c h t em xin bày t lòng bi t n sâu

s c đ n các th y cô giáo trong t Gi i tích - khoa Toán - tr ng HSP Hà N i

2 đã đ ng viên giúp đ em trong su t quá trình làm khóa lu n

c bi t, em xin chân thành c m n th y giáo h ng d n Ts.Nguy n

V n Hùng đã t o đi u ki n t t nh t và ch b o t n tình đ em có th hoàn

thành khóa lu n t t nghi p này

Do th i gian và ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày trong khóa

lu n không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng

ý ki n đóng góp quý báu c a các th y cô và các b n sinh viên

M t l n n a em xin chân thành c m n!

HƠ N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th H ng Nhung

L I CAM OAN

Khóa lu n t t nghi p c a em đ c hoàn thành d i s h ng d n t n

tình c a th y giáo Ts.Nguy n V n Hùng cùng v i s c g ng c a b n thân

Trong quá trình nghiên c u, em đã k th a nh ng thành qu nghiên c u c a

các nhà khoa h c, các nhà nghiên c u v i s trân tr ng và bi t n

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khóa lu n là k t qu nghiên c u

2.4 Toán t tích phân trong không gian L a bp  ; 35

3.2.3 Ph ng trình tích phân v i nhân không suy bi n 65

ngành khoa h c lý thuy t và ng d ng nh : lý thuy t ph ng trình vi

phân_tích phân, đi u khi n t i u, lý thuy t các bài toán c c tr

Ph ng pháp c a Gi i tích hàm là ti n đ hóa nh ng tính ch t đ c tr ng

c a t p h p s th c thành các không gian t ng ng và m r ng các v n đ

c b n c a gi i tích c đi n vào nh ng không gian đó

Vì v y, vi c h c và n m v ng môn h c này là r t c n thi t đ i v i m i

sinh viên khoa toán Tuy nhiên ki n th c trên l p v i th i l ng eo h p, cùng

v i s m i m và cái khó c a môn h c này đã làm cho vi c ti p thu nh ng

ki n th c c a Gi i tích hàm tr nên không d dàng v i m i sinh viên khoa

toán Do đó đ n m v ng các ki n th c c b n c a Gi i tích hàm, đ ng th i

quy t tâm đi vào nghiên c u khoa h c, đ c s h ng d n t n tình c a th y

giáo Ts Nguy n V n Hùng, em đã ch n đ tài: “ Toán t tích phơn vƠ ng

d ng gi i ph ng trình tích phơn ” đ làm khóa lu n t t nghi p

2 M c đích nghiên c u

B c đ u làm quen v i công vi c nghiên c u khoa h c và tìm hi u sâu

h n v Gi i tích hàm, đ c bi t là lý thuy t toán t

3 Nhi m v nghiên c u

Nghiên c u m t s c s lý thuy t liên quan đ n toán t tích phân, tính

ch t c a toán t tích phân, ng d ng c a toán t tích phân vào gi i ph ng

trình tích phân

Ch ng 1

M T S KI N TH C C S 1.1 Không gian metric

nh ngh a 1.1.1

Không gian metric là m t t p h p  khác r ng cùng v i m t ánh x

d t tích Descartes    vào t p h p s th c ฀ , th a mãn các tiên đ sau:

1)   x y ,    d x y   ,  0, d x y   ,    0 x y (tiên đ đ ng nh t)

2)   x y ,   d x y    , d y x   ,   x y (tiên đ đ i x ng)

3)   x y z , ,   d x y   ,  d x z   ,  d z y   , (tiên đ tam giác)

Ánh x d g i là metric trên  , s d x y   , g i là kho ng cách gi a

hai ph n t xvà y Các ph n t c a  g i là đi m, các tiên đ 1), 2), 3)

g i là tiên đ metric

Không gian metric đ c kí hi u     , d 

 S h i t trong không gian metric

Nh n xét: N u hai dãy đi m   xn ,   yn h i t t ng ng t i xvà

Không gian metric     , d  g i là không gian đ y n u m i dãy c

b n trong không gian này đ u h i t

 Nguyên lý Banach v ánh x co

nh ngh a 1.1.5

Cho hai không gian metric   1  , d1, 2    , d2 Ánh x At

không gian 1 vào không gian 2 g i là ánh x co, n u:

     0,1     x x , '    d2 A A x , x '    d x x1 , ' 

nh lý 1.1.1(nguyên lý Banach v ánh x co)

M i ánh x co A ánh x t không gian metric đ y     , d  vào

Gi s  là không gian metric compact G i C    là t p h p t t c

các hàm liên t c trên (v i giá tr th c hay ph c) N u h A C    th a

Không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính đ nh chu n) là m t

không gian tuy n tính  trên tr ng (  ฀ ho c   ฀ ) cùng v i m t

ánh x t t p vào ฀ , kí hi u là  và đ c là chu n, th a mãn các tiên đ

sau:

1)    x  x  0, x    0 x  (kí hi u ph n t không là  );

2)      x     x    x ;

3)   x y ,   x y   x  y ;

S x g i là chu n c a vect x Ta c ng kí hi u không gian đ nh

chu n là  Các tiên đ 1), 2), 3) g i l h tiên đ chu n

 Liên h gi a không gian đ nh chu n vƠ không gian metric

Khi đó d là m t metric trên 

Vì v y, m i không gian đ nh chu n đ u là không gian metric

 Không gian con

Cho không gian đ nh chu n  và t p h p 0 ,  0 

N u 0 là m t không gian tuy n tính con c a  và chu n xác đ nh

trên 0là chu n xác đ nh trên , thì 0đ c g i là không gian đ nh

chu n con c a không gian đ nh chu n 

 Không gian Banach

Cho các không gian tuy n tính  và  trên tr ng ( ฀  ho c

  ฀ ) Ánh x A t không gian vào không gian  g i là tuy n tính,

n u ánh x Ath a mãn đi u ki n:

1)   x x , '   A x x   '   Ax Ax  '

2)     x       A    x   A x

Ta th ng g i ánh x tuy n tính là toán t tuy n tính Khi toán t A

ch th a mãn đi u ki n 1) thì A g i là toán t c ng tính còn khi toán t A

ch th a mãn đi u ki n 2) thì toán t A g i là toán t thu n nh t

Khi  =  thì toán t tuy n tính A th ng g i là phi m hàm tuy n

tính

nh ngh a 1.2.8

Cho hai không gian đ nh chu n và  Toán t tuy n tính A t

không gian vào không gian  g i là b ch n (gi i n i), n u t n t i h ng

Cho A là toán t tuy n tính t không gian đ nh chu n vào không

gian đ nh chu n  Ba m nh đ sau t ng đ ng:

1) A liên t c

2) A liên t c t i đi m x0nào đó thu c 

3) A b ch n

 Không gian các toán t tuy n tính b ch n

Cho hai không gian đ nh chu n  và  Kí hi u L    ,  là t p

h p t t c các toán t tuy n tính b ch n t không gian đ nh chu n  vào

không gian đ nh chu n  Ta đ a vào L  ,   hai phép toán:

+) T ng c a hai toán t A B , L    ,  là toán t , kí hi u A B  ,

toán trên th a mãn h tiên đ không gian tuy n tính Do đó t p h p L  ,  

cùng v i hai phép toán trên tr thành không gian tuy n tính trên tr ng 

N u  là không gian Banach thì L  ,   là không gian Banach

 Không gian liên h p vƠ ph n x

nh ngh a 1.2.9

Cho không gian đ nh chu n trên tr ng  (  ฀ ho c   ฀ )

Ta g i không gian L  ,   các phi m hàm tuy n tính liên t c trên không

gian là không gian liên h p(hay không gian đ i ng u) c a không gian

và kí hi u là ( thay cho kí hi u L,)

Không gian liên h p c a không gian g i là không gian liên h p th

hai c a không gian và kí hi u là 

nh lý 1.2.4

N u không gian liên h p c a không gian đ nh chu n là tách

đ c thì không gian  là tách đ c

nh lý 1.2.5

T n t i m t phép đ ng c tuy n tính t không gian đ nh chu n  vào

không gian liên h p th hai c a không gian 

Nh v y tính compact c a m t toán t tuy n tính m nh h n tính liên

t c, do đó ng i ta còn g i m t toán t compact là m t toán t hoàn toàn liên

t c

nh lý 1.2.7

N u A :    là m t toán t compact c a không gian đ nh chu n

vào không gian đ nh chu n  , thì ánh x A ánh x m i dãy h i t y u

trong thành dãy h i t (m nh) trong 

nh lý 1.2.8

Gi s là không gian Banach ph n x và  là m t không gian đ nh

chu n tùy ý N u toán t tuy n tính:

A :   

ánh x m i dãy h i t y u trong  thành dãy h i t (m nh) trong  thì A

là m t toán t compact

nh lý 1.2.9

Gi s là m t không gian đ nh chu n tùy ý và  là m t không gian

Banach N u An   L  ,   n  1 , 2  là m t dãy toán t compact, h i t

a) N u  và  là hai không gian đ nh chu n và A :    là m t

toán t compact, thì toán t liên h p A:    c ng là compact

b) Ng c l i, n u toán t A là compact và gi thi t thêm r ng  là

m t không gian Banach, thì Alà m t toán t compact

1.3 Không gian Hilbert

 Tích vô h ng

nh ngh a 1.3.1

Cho không gian tuy n tính  trên tr ng  (  ฀ ho c   ฀ )

Ta g i là tích vô h ng trên không gian m i ánh x t tích Descartes

1)  là không gian tuy n tính trên tr ng 

2)  đ c trang b m t tích vô h ng   , 

3)  là không gian Banach v i chu n x    x x , , x 

Ta g i m i không gian tuy n tính con đóng c a không gian Hilbert 

là không gian Hilbert con c a không gian 

 Ph n bù tr c giao, t p con tr c giao

F g m các ph n t c a không gian  tr c giao v i t p  g i là ph n

bù tr c giao c a t p  trên không gian  và kí hi u: F    

D th y F c ng là không gian con c a  khi đó ta có bi u di n:

    F   x  x1 x2, x1  , x2 F 

nh lí 1.3.2 (đ nh lí v hình chi u lên không gian con)

Cho không gian Hilbert  và 0 là không gian con c a  Khi đó

ph n t b t k x   bi u di n m t cách duy nh t d i d ng:

x  y  z , y  0, z  0

H tr c chu n   en n1 trong không gian Hilbert  g i là c s tr c

chu n c a không gian , n u trong không gian  không t n t i vect khác

không nào tr c giao v i h đó

,

n

n

e x x

 D ng t ng quát c a phi m hƠm tuy n tính liên t c

Cho A là toán t tuy n tính b ch n ánh x không gian Hilbert  vào

không gian Hilbert  Toán t B ánh x không gian  vào không gian 

g i là toán t liên h p v i toán t A, n u:

Toán t tuy n tính b ch n A ánh x không gian Hilbert  vào chính

nó là t liên h p khi và ch khi tích vô h ng  A , x x  là m t s th c đ i v i

m i x 

Cho A là toán t tuy n tính b ch n ánh x không gian Hilbert  vào

không gian Hilbert  A là toán t compact khi và ch khi toán t A bi n

m i dãy h i t y u trong không gian  thành dãy h i t m nh (còn g i là h i

t theo chu n) trong không gian 

nh lí 1.3.7

N u  là m t không gian Hilbert, thì liên h p c a m i toán t

compact trong  đ u là m t toán t compact

a) Vx  0 khi x  , t c là thu h p c a Vlên  là toán t không

b) V  x x khi x  , t c là thu h p V lên  là toán t đ ng c

Gi s  và  là hai không gian Hilbert và A :    là m t toán

t Compact c a không gian  vào không gian  Nh đã bi t, toán t A

có th bi u di n d i d ng:

A  VT

v i  là m t toán t d ng, compact trong , và V là toán t đ ng c b

ph n, v i mi n g c          

A và mi n nh  A    

Vì  là compact và d ng, nên ta có th xét dãy các giá tr riêng khác

0 c a  là:  1, 2, ,n, trong đó m i giá tr riêng đ c k v i m t s l n

Gi s A :    là m t toán t tuy n tính liên t c c a không gian

Hilbert  vào không gian Hilbert  A là m t toán t Hilbert-Smith,

đi u ki n c n và đ là chu i:

2 1

; x tx

tx

b a

(

; x tx

t

x

b a

i u này ch ng t   t   a b ; thì dãy  xn( t ) n1 là dãy s c b n trong

1

฀ Vì ฀ 1 là không gian đ y nên  

1) ( n

Ta có s h i t trong không gian C a;b t ng đ ng v i s h i t đ u

c a dãy hàm liên t c trong không gian C a;b

Cho không gian đ đo , v i đ đo  Ta kí hi u L a bp  ;  p  1  là

t p h p t t c các hàm s x (t )đo đ c theo đ đo  trên , sao cho:

Ta đ a vào L a bp  ; hai phép toán: c ng hai hàm s và nhân m t s

th c v i hàm s nh thông th ng:

+) D dàng ki m tra hai phép toán trên th a mãn h tiên đ tuy n tính

nên không gian Lp  ,   tr thành không gian tuy n tính th c

d t x x

t x

1

) ( )

d t x

k x k x t d k x t d k x

p p

p p

) ( )

3  x ( t ), y ( t )  Lp   ;  , ta có:

p p p

p p

p

d t y d

t x d

t y t x y

x

1 1

1

) ( )

( )

( ) (                 

(Theo b t đ ng th c tích phân Mincovxki)

V y Lp   ;   cùng v i chu n trên l p thành không gian đ nh chu n

trên ฀

N u     a b p ; ,  2 ta có không gianL a b2  ;

Hàm x t ( ) L a b  2  ; thì ( )2

b a

( ) ( )

b a

p Khi đó ta có:

             

q q p

p

d t y d

t x d

t y t x

1 1

) ( )

( )

( )

n u các tích phân trong b t đ ng th c trên h u h n

B t đ ng th c Mincovxki

Gi s x ( t ), y ( t )là hai hàm  _ đo đ c trên t p , s th c p  1

Khi đó nh n đ c b t đ ng th c tích phân Mincovxki:

p p p

p p

p

d t y d

t x d

t y t

x

1 1

1

) ( )

( )

( ) (                 

Cho  là m t đ đo  _ h u h n trên m t  _ đ i s M trong không

gian , là m t đ đo  _ h u h n trên m t  _ đ i s N trong không

gian  , f x y ( , ) là m t hàm đo đ c theo đ đo    

d y x f d

y x

Ch ng 2

TOÁN T TệCH PHÂN 2.1 Toán t tích phơn v i h ch liên t c

Gi s  là m t t p h p compact trong không gian ฀m,K là m t

hàm s liên t c trên    Ta s ch ng minh r ng n u   L2   thì tích

phân:

  



 K x s s ds x

Ta s ch ng minh A  là toán t tuy n tính liên t c:

+) Do K là hàm s liên t c trên   , mà  là không gian

compact Nên K s liên t c đ u trên   , ngh a là:

    



s s

x K s x

1 )

, '' ( ) , ' (

(

1 1

2 2

x x ds







V y A  là m t hàm s liên t c trên  Vì  là t p h p compact nên

m i hàm s liên t c trên  đ u thu c L2   Do đó A  là m t ánh x t

không gian L2   vào chính nó

V y A là m t toán t tuy n tính liên t c t L2   vào L2  

A đ c g i là toán t tích phân v i h ch liên t c

2.2 Toán t tích phơn v i h ch bình ph ng kh tích

Gi s  là t p h p đo đ c(theo ngh a Lebesgue) trong không gian

x K dx

ds s x

) ( )

, ( )

( ) , ( )

2.3 Toán t tích phơn trong không gian C a;b

Cho hàm s K ( x , s ) xác đ nh và liên t c trên hình vuông

y x

A g i là toán t tích phân, K x s ( , ) g i là h ch(h t nhân) c a toán t

Nh tính ch t c a tích phân ph thu c tham s , hàm s A  ( s )  C a;b , v i

m i  ( s )  C a;b D dàng ki m tra A là toán t tuy n tính

b a b

s a b

a

ds s x K ds

s s

x K ds

s s x K s

b a b s

 

suy ra   a b

b s

Vì hàm K ( s x , ) liên t c trên hình vuông D nên K ( s x , ) b ch n và

liên t c đ u trên hình vuông y, do đó:

D s x

và v i s   0 cho tr c, ta tìm đ c m t s   0 sao cho x1  x2   thì:

thành th t p h p A S    C a b; là b ch n và liên t c đ u, đ nh lí Axcoli

ch ng t r ng A   S là t p compact t ng đ i trong C a;b V y A là t p

compact

2.4 Toán t tích phơn trên không gianL a bp  ;

Không gian L a bp  ; g m t t c các hàm s x (t ) đo đ c theo đ đo

Lebesgue trên đo n   a b ; sao cho: ( )

b

p a

y x

A  ( ) ( ) ( , )  ( ) (2.4.2)

Ta ch ng minh y t ( )  L a bp  ; v i p  1 Gi s q là s sao cho:

1 1

q p

Áp d ng b t đ ng th c Holder h k n trên  a b ; ta có:

a

q p b

a

ds s

s x K ds

s s x K x

y

1 1

) ( ) , ( )

( ) , ( )

1 1

a

p

a b ds

s s

x K

1 1

1

) (

) ( ) ,

b a

p q

p p pq p

ds s dx s

x K a

   p  

p p pq p

a b

1

) (

A   M b a      s  L a b

1 1 1

V y A là toán t tuy n tính b ch n trên L a bp  ;

V i p  2 ta có không gian L a b2  ; , trong không gian này ta xét toán

t tích phân:

  ( ) ( , ) ( )

b a

A  x   K x s  s ds

v i nhân K ( x , s ) là hàm có bình ph ng kh tích, t c là:

b a

ds s dx x s x

K ( , )  ( )  ( )

Do đó    b

a

ds s x s K x

b a

b a

dxds s

x K ds

s ds s s x K

2

) , ( )

( )

( ) , (



Suy ra  A  ,    0

V y toán t A xác đ nh d ng

+) Toán t A là toán t compact, th t v y:

Vì không gian L a b2  ; là kh ly, nên t n t i m t c s tr c chu n đ m

b a j b

a

b a

j

j x K x s e s ds K x s ds e s ds K x s ds

2 2

) , ( )

( )

, ( )

( ) , ( )

(

j

i ij

ije x e s s

x K

1 1

) ( ) ( )

b b n n

ij i j n

j i

n n n

ij i j j

n i

b a j n

j

i ij n

n x K x s s ds e x e s s ds

A

1 1

)()()()

(),()

Rõ ràng toán t Anlà liên t c và h u h n chi u vì đ ng th c (2.4.5)

ch ng t mi n giá tr c a An là không gian con n_chi u c a L a b2  ; t o b i

các vect e xi( ) 1    i n  V y An là toán t compact

Cu i cùng đ chú ý r ng    L a b2  ; thì:

b a