Các dạng toán về tích phân và ứng dụng 12

Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường: a... Tính diện tích hình phẳng H giới hạn bởi P: y = x2 và đường thẳng d đi qua I1;3 biết diện tích đó lớn nhất.. Tính diện tích hình

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

§ 1.NGUYÊN HÀM

1) Khái niệm nguyên hà m và tích phân bất định.

 F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x)

 Tập hợp các nguyên hàm của f(x) gọi là tích phân bất định của f(x) và ký hiệu là:

a a

Lưu ý: + òv x u x dx( ) '( ) đơn giản hơn òu x v x dx( ) '( )

+ Nếu òv x u x dx( ) '( ) vẫn còn dạng nguyên hàm từng phần thì tiếp tục thao tác trên như sau: 1

1

'( ) ( )

u u x

dv v x dx

ì = ïï

íï = ïî

-òg/.ò(2 x+ 3x dx) h/.òx+3 x+1dx

x i/.ò(2sinx+ 3cos ) x dx

ò x dx x

d/.ò(x2+21)2dx

x e/.ò(1+x)(1 2 )dx- x f/ 2

4 -

òx dxg/ 2

Dạng 3: Phương pháp đổi biến

+

x dx

x x dx x

+

-ò ; I9 = 22 2

1 ( 1)

x

+

-ò ; I10= ( 22 1)

1

dx x

+ -

+

e dx

Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác.

I10 =òsindx x I11 =òsindx3x I12 =òcos sinx dx 2x

I13 =òsin 3xcos 4xdx I14 =òsin 4xcos 4xdx; I15 =òsinx 2cosx- 1dx

I16 =ò cossinx+- sincosx dx

I7 =òcos xdx I8 =òxsin(2x+ 1)dx I9 =òxsin 2xdx

I1 = òe xsinxdx I2 = òe xsin2xdx I3 = òe xcos2xdx

Dạng 5: Tìm nguyên hàm khi biết 1 giá trị hàm số

b

b a a

 BÀI TẬP

Loại 1: Tích phân cơ bản

Bài 1: Tính :

1 4 3

ò dx x

p

1 2

(3 - )

ò x e dx x I14 =

1 2

ò e x dx

x ; I15 =  

1 2 0

ò x dx x

cos cos3x xdx p

p

-ò ; I12 =

/ 4 2 0

4

cos 2 sin cos

+

ò

p

I18 =ln 2 2 10

4 4

x x dx

+ +

1 2

0 1

dx x

x +a

1 2

íï = Þ = ïî

2 1 +

xdx x

3 1 1

+ +

0 (1 - )

ò x dx x ; I10 =

2 2012

2012 1

1

+ -

+ + + + +

( 1) ( 2)

x

+ +

2 ( + 1)

1 1

+

+ +

ò x dx

x ; I6 =

6 2

2 2 4 1

1 1

+

+

3 - 4

4

-x dx x

1

2 0

xdx x

-+

1 2 1

2 1 1

x dx

x x

-+ + +

1-òx xdx I9 =

1

2 3 1

2 1

x dx x

1 4

1 1 1

x dx

+ -

0

1 1

x dx x

+

Phương pháp 1 : (Lượng giác hóa) 2 2 2

a a

é

ê ê

ê ê

Bài 12:

I1=01 2x 1  x dx2 ; I2= 22 2

0 1 2

x dx x

1

2 3 0

1

2 0

1 2 0

dx x

-

+ Nếu qÎ ¢: đặt x=t s với s=BSCNN của mẫu số các phân số r, p.

1 (1 + )

òx dx x ; I3=

1

4 50

1 x dx x

ò e x dx; I12 = 3

2 0

1 1

x x

e dx e

+

e

x dx x

e

x dx x

Loại 5: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

 F( sin ; cos ) - x- x =F(sin ;cos )x x đặt t= tanx

 F(sin ; cos )x- x = -F(sin ;cos )x x đặt t= sinx

 F( sin ;cos ) - x x = -F(sin ;cos )x x đặt t= cosx

1 sin 1 cos 1

(sin ;cos ) a x b x c

cos sin

ò x dx x p

p

+ +

sin cos

x dx x

4sin

1 cos

xdx x

p

+

2 0

sin cos 3

xdx x

p p

+ +

0

cos sin 3 cos

+

sin cos cos sin

p

p

+ +

ò x x dx

x x ; I6= 

2 0

3 cos cos



dx x

4sin sin cos

sin 2

1 os

x dx

x dx x

cos 2

sin cos 2

x dx

dx x

cos sin 5sin 6

òx x dx x

p

p

I13 = ( sin )

0

cos +

-òx e dx x ; I3 =

2 3 0

òe dx x ; I9 =

4 1

2 + 1

e dx x

3 ln ( 1)

+ +

ò x dx

1

2 0

ln 1 2

+ +

ò2 4

x Lưu ý: khi tính đến TP thứ 2 tiếp tục áp dụng thuật TPTP trên lần nữa và dừng lại khi thấy xuất hiện TP ban đầu; áp dụng chuyển vế tìm I

x x dx x

§4 TÍCH PHÂN HÀM CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT

p

-+ +

Nếu f(x) liên tục trên [-a;a] thì:

1 cos

x

x dx x

p

+

+ +

I5= 2 2011

2011 2011

1

x dx x

+ +òTC6:

Nếu f(x) liên tục trên ¡ và tuần hoàn với chu kì T thì :

1 cos2xdx

p

òTC7:

-Nếu f(x) liên tục trên ¡ thì :

2 4

4 3 2sin 2

dx x

ò

1 2 0

x dx I

1 x 0

2012 0

1

4

1-dx x

p

£ ò £ ; b/ CM: 01cos ln2

1

x dx x

sin2

1 sin

xdx x

p

+

4 0

sin2

1 cos

xdx x

p

+

ò b/ CM: 2

0

sin cos (1 sin )(1 cos ) 12

n 0 2n

xdx I

I n

§6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x)

(liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b và

trục Ox

Công thức: | ( ) |

b a

S =ò f x dx Đặc biệt: 1) Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính R

Với x i là nghiệm của f(x) chứa trong [a;b]

Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:

Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y

=f(x), y = g(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng

x = a, x = b.

Công thức: | ( ) ( ) |

b a

5/. y= + 2 sin ,x y= + 1 cos2x với x0 ; ;

Loại 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)

1

2 1

x

x x

x

x

x

dx g(x) f(x)

dx g(x) f(x) dx

g(x) f(x)

1/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:

a) ( )C y: =x2 - 2 - 3x với trục hoành;

x , tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.

b). y= -x3 1 và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2)

4/ Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và đường thẳng (d)

đi qua I(1;3) biết diện tích đó lớn nhất

5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 4 5

của (P) tại A(1;2) và B(4;5)

6/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 2 2

Vấn đề 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

Loại 1: Vật thể tròn xoay (T)sinh bởi miền (D) giới hạn

4/ Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên khi hình phẳng (H) quay quanh Ox.

c/.( ) :H {(x- 1 )2+ (y- 2 )2£ 1}

5/ Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường = tan ,3 = 0, = ±

4

a/ Tính diện tích miền (D);

b/ Tính thể tích tròn xoay quanh được tạo thành khi cho (D) quay quanh trục Ox

6/ Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường sau đây:

Loại 2: Vật thể tròn xoay (T) sinh bởi miền (D) giới hạn

bởi x = g(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy.

Công thức: b 2 b[ ( )]2

V =pòx dx=pòg y dx

1/ Cho miền (D) giới hạn bởi : y= x y; = - 2 x y; = 0

a/ Tính diện tích miền (D)

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh Oy

2/ Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2x x y- 2 , = 0 Tính thể tích vậtthể tròn xoay tạo thành khi hình phẳng quay quanh trục Oy

3/ Cho miền (D) giới hạn bởi : y= 3 2x+ 1, x= 0, y= 3

a/ Tính diện tích miền (D)

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh Oy

4/ Cho (D) giới hạn bởi đường: ( )P :y= (x- 2 , )2 ( ) D :y= 4 Tính thể tích khối tròn xoay khi (D)

a/ quay quanh Ox; b/.quay quanh Oy?

5/ Tính thể tích vật thể tạo bởi (E): ( - 4)2+ 2£ 1

x y quay quanh trục Oy

6/.Cho miền (D) giới hạn bởi : y= x y; = - 2 x y; = 0

a/ Tính diện tích miền (D);

b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh trục Oy

7/ Cho hình tròn tâm I(2; 0) bán kính R = 1quay quanh Oy Tính thể tích

hình xuyến tạo nên

Tích phân trong các đề thi tốt nghiệp và đại học

TN 2012

ln2

2 0

1 x dx x

+ +

x dx x

x 