Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x xln , y =0 , x e= .Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 4y x= 2
Trang 1TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
1
2015
1
0
1
2
1
ln
e
x
x
=∫
2
2 3
0
sin cos
π
=∫
2
4
0
sin
1 cos
x
x
π
=
+
∫
2
sin
5
0
cos
x
π
=∫
1
2
0 1
x
x
=
+
∫
3
7
0
tan
π
=∫
1
3
8
0
1
3
1
2 3
9
0
x
I =∫x e dx
tan 2
4
0 os
x
e
π
+
=∫
2
2
sin 11
0
sin 2 x
π
=∫
2
sin 2
1 os
x
π
=
+
∫
Trang 2PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
2
13
1
ln
e
e
x x
= ∫
14
1
sin(ln )
e
x
x
=∫
3
15
4
ln cos
cot
x
x
π
π
=∫
1
1
16 2
1
2
1 e x
x
+
=∫
2007 1
17 2
1
3
1
x x
∫ (CĐKA – 2007)
1
1 2
1
1
x
−
−
−
∫
2
3
1
x
x
x
+
=
+
∫
2 4
20
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
π
−
=
+
∫ (KB – 2003)
4
21
4
os2 sin cos 2
π
π
=
∫
1 3
01
x
x
=
+
∫ (DBKD – 2002)
3
2
23
0
sin tan
π
=∫ (DBKA – 2005)
3
24
0
1
I =∫ x+ dx
Trang 31
1 ln
e
x
x
+
=∫
26
1
4 5ln
e
x
x
+
=∫ (TN – 2011)
2
4
1 3cot
sin
x
x
π
π
+
=∫
4
28 2
6
1
sin cot
π
π
=∫
1
2 29
0
2
I =∫x −x dx (KB – 2013)
3 4
2 3
30
1
5
−
9
3
31
1
1
I =∫x −xdx
0
3
32
1
1
−
1
15 8
33
0
1
1
34
x
x
=
+
∫ (CĐ – 2012)
1
35
0
1
I =∫x −x dx (DBKA – 2003)
ln 3
x x
e
e
=
+
∫ (DBKB – 2002)
ln 5 2
37
ln 2 1
x
x
e
e
=
−
∫ (DBKB – 2003)
Trang 4PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
1 3
0 4
x
x
=
−
∫ (DBKB – 2008)
7
39 3
0
2
1
x
x
+
=
+
∫ (DBKA – 2005)
2
40
0
1
4 1
x
x
+
=
+
∫ (DBKB – 2008)
7
3
41 3
0
1
3 1
x
x
+
=
+
∫
3
42 3
1
2
x
x
−
=
+
∫ (DBKA – 2008)
43
1
1 3ln ln
e
x
+
=∫ (KB – 2004)
2 3
44
1
ln 1 ln
e
x
+
=∫
64
45 3
1
x
+
= ∫
0
46 3
1
1
x
x
−
=
+
∫
3
2
47
1
ln
1 ln
e
x
=
+
∫ (DBKD – 2005)
ln 8
2
48
ln 3
1
I = ∫ e e + dx (DBKD – 2004)
2
6
49
0
1 os sin os
π
1
50
0
3 2
1
log
1 3ln
e
x
=
+
∫
Trang 51
3 2ln
1 2ln
e
x
−
=
+
∫ (DBKB – 2008)
2
0
sin 2
os 4sin
x
π
=
+
2
54
0
sin 2 sin
1 3cos
x
π
+
=
+
∫ (KA - 2005)
3
55
0
2sin 2 3sin
6cos 2
x
π
+
=
−
∫
3
4
tan
cos 1 os
x
π
π
=
+
∫
3 3
2
3
sin sin
.cot sin
x
π
π
−
=∫
3 3
4
0
cos os
os
π
−
=∫
Bổ trợ: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
2
1
1
2
1
1
x x
=
+
∫
2
0
1
=
∫
2
3
1
2 1
1
x
x x
+
=
+
∫ (CĐ – 2011)
1
0
2 1
x
−
=
∫ (DBKB – 2010)
2
1
1
2
x x
=
+
∫
Trang 6PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
2
1
1
1
=
+
∫
1
0
x
−
=
∫
1
8
0
2 1
1
x
x
−
=
+
∫ (CĐ – 2010)
1
0
1
4
x x
x
−
=
−
∫ (DBKB – 2007)
1
10 2
0
1
1
x
x
+
=
+
∫ (KD – 2013)
2 2
1
3 1
=
+
∫ (KB – 2014)
1
0
1
1
x
=
+
∫
Phương pháp đổi biến số dạng 1 (tiếp)
2
1
11 1
x
x
=
∫ (KA – 2004)
4
2
0
4 1
x
x
−
=
∫ (KD – 2011)
2 3
dx
I
x x
=
+
∫ (KA – 2003)
4
dx
I
x x
=
+
∫
10
5
dx
I
=
∫ (DBKB – 2006)
7
6
2
dx I
=
∫
Trang 77
3
2
1
x
x x
−
=
+
∫
3
8
0
3
x
−
=
+ + +
∫
1
ln
2 ln
e
x
=
+
∫
(KB – 2010)
4
6
10
0
tan
cos 2
x
x
π
=∫ (KA – 2008)
2 4
11
3
6
cos
sin sin
4
x
π
=
+
∫
2
6
cos
sin 3 cos
x
π
π
=
+
∫
4
13
0
sin
4 sin 2 2 1 sin cos
x
=
2
14
0
sin 2
3 4sin os2
x
π
=
∫ (DBKA – 2008)
ln 3
15
ln 2
1
=
∫ (KB – 2006)
ln 2
16
0
x
e
+
=
∫
x
=
∫ (KB – 2012)
ln 6
18
x
e
=
∫
Trang 8PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
19
3ln 2
24
−
=
∫
3ln 2
3
0 x 2
dx I
e
=
+
∫
ln16
21 4
0 x 4
dx
I
e
=
+
∫
ln 5 3 2
22
0 3
x
e
−
=
+
∫
4
ln 1 3ln
e
e
dx I
=
+
∫
2
4
24
0
tan 3tan 2
2 sin 2
x
π
=
+
∫
21 4
25
1
x
x
−
=
∫
1
26
0
x x
x e−
+
=
+
∫
1
27
0
2 2013
x x
=
+ +
∫
8
3
28 2 2
ln 1
ln
e
e
x
−
=
−
∫
3
29 2 2
4
1 tan
cos 1
x
x
π
π
−
=
+
∫
3
30
4
sin 2 2
sin 2 x tan 1
x
π
π
+
=
+
∫
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
Trang 92
1
0
4
I =∫ −x dx
1
dx I
=
∫
1
3
0
1
I =∫x −x dx
( )
1
2
2
2
0 1
x
x
=
−
∫
1
2
1
4
dx
I
x x
=
−
∫
1
2 6
0
3 2
I =∫ + x x dx−
2
2 7
0
2
I =∫x x x dx−
1
8
0
4 3
2
3
dx
I
x x
=
−
∫
1
10 2
dx
I
x
=
+
∫
3
11 2
dx
I
x
=
+
∫
( )
1
2
dx
I
x
=
+
∫
2
13
sin cos
3 sin 2
x
π
π
+
=
+
∫
Trang 10PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2
1
1
2 ln
I =∫ x− xdx (DBKD – 2006)
2
2
1
ln
e
I =∫x xdx (DBKB – 2005)
1
3
0
5 ln 2 1
4
1
2 1 ln
e
1
5
0
2 1 ln 2
( )
3
2
6
2
ln
I =∫ x −x dx (KD – 2004)
2
7
0
cos ln 1 cos
π
2
1
ln x
x
=∫ (KD – 2008)
1
2 9
0
2 x
I =∫ x− e dx (KD – 2006)
4
10
0
1 sin 2
π
=∫ + (KD – 2014)
4
11
0
1 sin 2
π
=∫ + (KD – 2012)
2
12
0
cos
x
π
=∫
2
2
13
0
cos
π
=∫ (DBKD – 2007)
Trang 11( )
1
2
14
0
I =∫ e− +x e dx (CĐ – 2009)
3 2
15
1
ln
e
I =∫x xdx (KD – 2007)
2
16
1
1
ln
e
x
x
+
=∫
3
1
1 ln x 1
x
=∫ (KA – 2012)
2 2
18 2
1
1
.ln
x
x
−
=∫ (KA – 2013)
3
1
3 ln
1
x
x
+
=
+
∫
(KB – 2009)
20
1
3
e
x
∫ (KD – 2010)
1
0
3 2ln 3 1
1
x
=
+
∫
2
2
22
1
1
ln 1
x
∫
2
23 2
1
ln 2
x
+
=
∫
3
0
1 sin
cos
x
π
+
=∫ (KB – 2010)
2
2 25
0
sin cos
π
=∫
4
0
sin
cos
x
π
=∫
Trang 12PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
4
2 27
0
1 tan
π
=∫ −
ln 8
28
ln 3 1
x
x
xe
e
=
+
∫
1
0
1
x
=
+
∫
2 2
2
30
3
1.ln
4
31
0
1 sin 2
1 tan
x
x
π
+
=
+
∫
( )
1
2
32
0
sin
x
1
3 1
33
0
x
I =∫e + dx
2
1
3
34
0
x
I =∫x e dx
2
35
0
sin
π
= ∫
2
2
36
0
sin cos
x
π
=∫
tan
4
0
sin
cos
x
x
π
=∫
2
2
3 cos 38
0
sin cos x
π
=∫
1
3
39
0
x
I =∫ x +x e dx−
Trang 13( )
4
40
1
ln 9 x
x
−
=∫
2
41
0
sin 2 ln 2 cos
π
4
42
0
os2 ln sin cos
π
4
0
sin
ln 1 tan cos
x
x
π
4
44
0
tan ln cos
cos
x
π
=∫
2
6
cos ln 1 sin
sin
x
π
π
+
=∫
ln 2
2
46
0
ln 1
( 2 )
47
1
ln 1 ln
x
+
=∫
ln 2
2
48
0
x
x e
I = ∫ e + dx
1
49
0
1 ln 1 x xe x
sin
4
cos 2cot 3cot 1
sin
x x
x
π
π
+
=∫
( )
2
2
1
1
x
=∫ − ÷ + −
( )
2 6 3
3
2
ln 1 2ln
x
Trang 14PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
TÍCH PHÂN CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
3
1
0
1
I =∫ x− dx
2
2
2
0
I =∫ x −x dx (KD – 2004)
2
2
3
0
I =∫ x + x− dx
1
4
1
1
x
−
2
5
0
3 1
2 1
x
x
−
+
∫
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1
0
2
1 2
x
e
+ +
=
+
4
2
0
sin cos
π
+ +
=
+
0
2 3
3
1
1
x
−
= ∫ + + (DBKA – 2002)
2
4
1
ln 1
e
x
x
=∫
2
5
1
ln
x
x
∫
2
6
0
1 cos
2 3sin 1
x
π
∫
2
4
3cot 1
sin
x
π
π
+ +
=∫
Trang 152015 4
0
1 2 tan
os
π
=∫
3 2
4
x
π
π
+
∫
2
10
0
cos 2 1
cos sin
π
+
=
+
∫
1 3
11 4
0
2
1
x
−
=
+
∫
1 2
12
x
x
=
+
∫
2
13
0
os 1 os
π
=∫ − (KA – 2009)
1
x
=∫
ln 8
15
ln 3
1
x
e
=
+
∫
( 3 ) 2
16
1
1 ln 2 1
2 ln
x x
=
+
∫
17
1
1
ln
x
=
+
∫
1
ln 1
ln
e
x
x x
−
=
+
∫
Trang 16PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
1
19
0
1 2
1
x x
x xe
xe
+ +
=
+
∫
2
20
1
1
x
xe
=
+
∫
( )
2
21
3
1 sin
x
π
π
=
+
∫
( )
22
1
x e
x
x e
=
+
∫
( )
23
1
ln 10
x x
=
+
∫
24
1
1 ln
x
xe
+
=
+
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C : y= −4 x y2, =0 và hai đường thẳng
1, 3
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C : y x= 1+x2, y=0 và đường thẳng
1
x=
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C : y 1 lnx
x
+
= , trục Ox và hai đường
thẳng x=1, x e= .
4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ): x
C y xe= , trục Ox và hai đường thẳng
1, 2
x= − x= .
5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (3 31 3) 1 1
x
y
−
−
=
+ + , trục Ox và đường
thẳng x=1.
6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= − +x2 4x và y=x
(CĐ – 2008)
Trang 177 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x2 − +x 3và y=2x+1
(KA – 2014)
8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C : y 1
x
= và đường thẳng y= − +2x 3.
9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=sin 2 ,x y=cosx và hai đường thẳng
0,
2
x= x=π
.
10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x2 −4x+3 và y= +x 3
(KA – 2002)
11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2 4 4
x
2
4 2
x
y=
(KB – 2002)
12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (1 x) , ( 1)
(KA – 2007)
13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x= 2, y= 2−x2
(DBKB – 2007)
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x xln , y =0 , x e= .Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
(KB – 2007)
2 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 4y x= 2 , y= x .Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình H quanh trục Ox
(DBKA – 2007)
3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới
hạn bởi trục Ox và đường y= xsinx (0≤ ≤x π)
Trang 18PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
(DBKA – 2004)
4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y x= 2 −4x+4 , y=0 , x=0 và x=3
5 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
1
x x
xe y
e
= + , y=0 và x=1
6 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường: sin cos 2
cos sin 2 cos
y
+
=
+ , y=0 , x=0và x 4
π
=
7 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường: (1 sin )
cos 2
x
x e y
x
+
= , y=0 ,x=0và
2
x=π
8 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường: 1
y
x
= + − , y=0 , x=0 và x=1
9 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường: 1
y
= + + − , x=0 và x=1
10 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
x y
x
+
= + + , x= −1và x=3