CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 9 -1

Chủ đề tự chọn: Lớp 9 GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO A/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Tại sao tôi chọn chủ đề này: I/ VỊ TRÍ CỦA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS: a/ Ở lớp 6: Tính chất t

Chủ đề tự chọn: Lớp 9

GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Tại sao tôi chọn chủ đề này:

I/ VỊ TRÍ CỦA BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS:

a/ Ở lớp 6:

Tính chất tập hợp điểm được giới thiệu bằng một định nghĩa “Đường tròn tâm O bán kính R, là hình gồm tấ cả những điểm cách điểm O một khoảng R, kí hiệu (O; R)” (không có bài tập)

b/ Ở lớp 7:

Quỹ tích các điểm được phát biểu dưới dạng là các nhận xét để gộp định

lý thuận và đảo tính chất tia phân giác của góc và tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

* Nhận xét:

+ Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó

+ Tập hợp các điểm nằm bên trong của một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó

* Mức độ yêu cầu về bài tập: Chỉ có 2 bài trong sách bài tập: bài 43 trang 29 và

60 trang 52 Các bài toán này phát biểu dưới dạng “Tìm tập hợp điểm” (Chỉ trình bày phần thuận)

c/ Ở lớp 8:

Quỹ tích các điểm được phát biểu bằng một nhận xét “Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng h

* Mức độ yêu cầu:

+ Ở đây yếu tố cố định và yếu tố di động được đề cập nhưng cách giải bài toán quỹ tích thì chưa được đề cập đến Bài tập thì chỉ là những bài toán đơn giản nêu dưới dạng: Cho một điểm di chuyển trên một đường, tìm xem những điểm khác phụ thuộc vào điểm đó di chuyển trên đường nào (cách hỏi này tương đương với chỉ yêu cầu trình bày phần thuận của bài toán quỹ tích)

Nói chung, ở đây dạng toán quỹ tích chưa được đi sâu

d/ Ở lớp 9:

“Bài toán quỹ tích” mới được dành riêng trong một tiết học

Quỹ tích các điểm được phát biểu bằng một kết luận “Với đoạn thẳng AB

và góc  (00 <  < 1800) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn AMB = 

là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB”

Chú ý: “Khi  = 900 quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB

* Mức độ yêu cầu:

Thuật ngữ quỹ tích được đề cập; yêu cầu giải bài toán quỹ tích có đầy đủ

3 bước: phần thuận, phần đảo, phần kết luận

Tóm lại: Bài toán quỹ tích chỉ được đề cập hoàn chỉnh trong hai tiết ở lớp

9 (1 tiết lý thuyết (tiết 48), 1 tiết luyện tập (tiết 49))

Với thời lượng dành cho bài toán quỹ tích chỉ như vậy, nhưng ở các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh thành gần đây, có không ít các bài toán quỹ tích

II/ THỰC TRẠNG HỌC SINH:

Đa số học sinh chưa nắm bắt được các kiến thức cơ bản, không biết vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học nên rất ngại” và “sợ” bài toán quỹ tích

Trong các tiết học luyện thi do trường tổ chức, hễ đến câu quỹ tích là các

em thường bỏ qua Có em còn tâm sự “”Em hiểu rất mơ hồ về bài toán quỹ tích,

em sợ nhất là chứng minh phần đảo”

Từ những thực tế trên, để hướng dẫn học sinh giải bài toán quỹ tích có phương pháp tôi chọn chủ đề này

B/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ:

- Về kiến thức:Giúp học sinh ôn lại những quỹ tích cơ bản (các nhận xét ở lớp 6, 7, 8 kể cả lớp 9).Cụ thể hoá các bước giải bài toán quỹ tích

- Về kĩ năng:Rèn luyện kỹ năng giải một bài toán quỹ tích

- Về thái độ :Củng cố niềm tin “Không có kiến thức nào là khó khi ta biết cách nắm bắt lấy nó”

C/ PHÂN BỐ THỜI GIAN:

- 4 tiết

D/ TIẾN HÀNH CỤ THỂ:

Tiết 1 + 2

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN, HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH I/ MỤC TIÊU:

- Ôn lại các quỹ tích cơ bản

- Nắm chắc quy trình giải bài toán quỹ tích

- Vận dụng vào giải bài toán cụ thể

II/ CHUẨN BỊ:

Học sinh:

- Ôn lại định nghĩa đường tròn (Trang 89/SGK Toán 6 tập 2)

- Ôn lại tính chất đường trung trực của đoạn thẳng (Trang 74, 75/SGK Toán 7 tập 2)

- Ôn lại tính chất đường phân giác của một góc (Trang 68, 69/SGK Toán 7 tập 2)

- Ôn lại tính chất các điểm cách đều một đường thẳng cho trước (Trang 101/SGK Toán 8 tập 1)

- Ôn lại bài Cung chứa góc (trang 84, 85, 86/SGK Toán 9 tập 2)

Giáo viên:

- Bảng phụ ghi các quỹ tích cơ bản, phiếu in có nội dung “Những quỹ tích

cơ bản” ;“Những việc cần làm trước”; “Các bước giải bài toán” cho mỗi học sinh

M

d2

d1

H

K

d2

h

y

d1

H

K

II/ TIẾN HÀNH:

1/ Hoạt động 1: Định nghĩa.

Giáo viên nêu định nghĩa “Quỹ tích là tập hợp những điểm có chung một tính chất

2/ Hoạt động 2: Các quỹ tích cơ bản.

Giáo viên cho học sinh nhắc lại các kiến thức về quỹ tích mà giáo viên yêu cầu các em ôn lại trong phần chuẩn bị Sau đó: Giáo viên treo bảng phụ ghi các quỹ tích cơ bản

1/ Quỹ tích là đường thẳng

a/ Quỹ tích các điểm M cách đều hai điểm cố định A, B là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b/ Quỹ tích các điểm M nằm trong góc xOy cố định và cách đều hai cạnh Ox và

Oy và đường phân giác Oz của xOy

c/ Quỹ tích những điểm M cách đều hai đường thẳng song song cho trước d1, d2

là đường thẳng xy song song và cách đều hai điểm d1 và d2

d/ Quỹ tích các điểm M cách đường thẳng xy cố định một khoảng cách h không đổi là hai đường thẳng d1 và d2 song song với xy và cách xy một khoảng h

x

y

z

O

H M k

B M

2/ Quỹ tích là đường tròn (cung tròn)

a/ Quỹ tích những điểm M cách điểm O cố định một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R

b/ Quỹ tích các điểm M nhìn đoàn thẳng AB cố định dưới một góc  không đổi

là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB

c/ Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB

Hoạt động 3: Phương pháp giải bài toán quỹ tích:

GV giới thiệu cho học sinh những việc cần làm trước

a/ Những việc cần làm trước:

1/ Xét các phần tử cố định, độ dài không đổi, phần tử chuyển dòng.

- Điểm cố định: Những điểm đề bài đã chỉ rõ hoặc từ những điểm cố định của đề bài suy ra những điểm liên quan với nó cũng cố định

- Độ dài không đổi: Đoạn thẳng nối hai điểm cố định có độ dài không đổi…

- Điểm chuyển động: Thông thường đó là những điểm có liên quan đến quỹ tích phải tìm

- Cần phân biệt một điểm của quỹ tích thì di động nhưng tập hợp các điểm

đó là một đường cố định

2/ Đoán hình dạng của quỹ tích:

- Vẽ thật chính xác trên giấy nháp (Bằng thước và Campa) ba vị trí của điểm chuyển động

- Nối 3 điểm đã vẽ để xác định quỹ tích thuộc dạng nào

o Nếu 3 điểm thẳng hàng thì ta chỉ xét quỹ tích thuộc về dạng đường thẳng (hay đoạn thẳng)

o Nếu 3 điểm không thẳng hàng thì chỉ xét các quỹ tích thuộc về dạng cung tròn (hoặc đường tròn)

- Giáo viên cho học sinh nêu các bước tiến hành giải bài toán quỹ tích Sau

đó giáo viên cụ thể hoá từng bước một Để giải bài thoán quỹ tích ta tiến hành theo ba bước

R

D3

D2

D1

C3 C2 C1

b/ Các bước tiến hành:

1/ Phần thuận:

- Gọi M là một điểm của quỹ tích cần tìm Dựa vào giả thiết mà xét tính chất của điểm chuyển động M để xác định điểm M nằm trên đường cố định nào đó rồi áp dụng các định lý về các quỹ tích cơ bản thường gặp để xác định quỹ tích của các điểm M cần tìm (Giáo viên lưu ý: Ở đây ta chưa được dùng từ quỹ tích của M mà chỉ nói M thuộc hình nào đó mà thôi)

- Tìm mối quan hệ giữa các phần tử cố định và phần tử chuyển động để xem xét quỹ tích của những điểm M là một phần hay cả hình H

2/ Phần đảo:

- Lấy điểm M’ trên phần giới hạn của đường cố định (H) vừa tìm và chứng minh điểm M’ có tính chất của điểm M ở trên

3/ Kết luận:

- Dựa vào phần giới hạn ở trên mà kết luận quỹ tích của điểm M là hình (H) hoặc là một phần của hình (H)

- Giáo viên lưu ý: Tuỳ theo yêu cầu của bài toán mà ta có các cách trình bày khác nhau, chẳng hạn

- Nếu đề bài yêu cầu xác định điểm M thuộc một đường cố định nào đó thì chỉ cần làm phần thuận

- Nếu bài toán yêu cầu tìm quỹ tích (hay tập hợp điểm) thì ta phải thực hiện

ba bước như đã nêu trên

- Sau đó giáo viên phát phiếu in các nội dung đã chuẩn bị cho học sinh tham khảo và ghi nhớ

Hoạt động 4: Bài tập

Bài 1: Quỹ tích là đường tròn (cung tròn)

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi C là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA Tìm quỹ tích của điểm D

Hướng dẫn giải:

a/ Hãy xác định phần tử cố định, chuyển động và độ dài không đổi

Học sinh:

+ Phần tử cố định: Các điểm A, B, O

+ Phần tử chuyển động: là các điểm C, D

+ Độ dài không đổi: AB = 2R

b/ Hãy vẽ ba vị trí của điểm D D1, D2, D3 nối ba điểm đó và nhận xét?

C C'

O

D'

D

Học sinh: Vẽ hình và nhận xét Nối 3 điểm ta thấy 3 điểm D1, D2, D3 không thẳng hàng, vậy quỹ tích phải tìm có khả năng là một đường tròn hoặc một cung tròn

Giáo viên: Vậy, muốn chứng minh quỹ tích là một đường tròn hoặc một cung tròn ta có những cách nào

Học sinh: Nêu 3 dạng quỹ tích là đường tròn, cung tròn

Giáo viên: Em hãy quan sát thật kỹ yếu tố di động, yếu tố cố định để tìm mối liên quan giữa chúng rồi sau đó em chọn một trong ba cách mà em vừa nêu sao cho phù hợp với đề toán

Học sinh chọn cách: Điểm D cách điểm cố định B một khoảng không đổi bằng

AB (Nếu học sinh chưa chọn ra được phương pháp, giáo viên có thể đưa ra hai

vị trí đặt biệt của điểm C là khi C  A thì AC = CD = O => D  A  C Khi C

 B thì 3 điểm A, B, D thẳng hàng và AB = BD)

Giáo viên: Hãy chứng minh D cách B một khoảng không đổi bằng AB

Học sinh: Nối CB ta có:

BCA = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> CB là đường cao của ABD, Mặt khác BC là đường trung tuyến của ABD (vì CA = CD)

Do đó: ABD cân tại B => BA = BD (không đổi)

Giáo viên: Vậy suy ra D thuộc đường nào?

Học sinh: Ta có D cách B cố định một khoảng không đổi bằng AB nên D thuộc đường tròn (B; BA)

Giáo viên: Đặt vấn đề để đưa ra giới hạn.Vậy D thuộc cả đường tròn hay một phần của đường tròn?

Giáo viên: Lấy que cố định đầu que ở A, cho que cắt nửa đường tròn (O) tại tất

cả các vị trí, bắt đầu cho que cắt nửa đường tròn (O) tại A, thì que cắt (B; BA) tại A hay ACD, dần dần dịch chuyển cho que đến vị trí B, thì que cắt (B ; BA) tại A’ và AA’ = 2AB hay CB thì DA’

Từ đó cho học sinh nêu giới hạn:

Học sinh nêu: Khi CA thì DA, khi CB thì DA’ (B là trung điểm của AA’ Do đó D thuộc nữa đường tròn (B; BA)cùng nằm trong nữa mặt phẳng bờ

là AB với nửa đường tròn(O)

1 Học sinh lên bảng trình bày phần thuận.

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tìm tòi lời giải phần đảo Hình (H) ở đây là hình nào? (đường tòn (B; AB)) Tính chất “T” trong bài toán là gì? (CA =CD)

A

Học sinh: Ta lấy một điểm D’bất kỳ thuộc nữa đường tròn (B; AB)

Học sinh: Nối D’A cắt (O) tại C’ và chứng minh D’ thoả mãn tính chất

“T” có nghĩa là chứng minh gì? (Học sinh: C’D’ = C’A)

Giáo viên: Em hãy chứng minh điều đó:

Học sinh: Ta có AD’B cân tại B (Vì BA = BD’ = bán kính của đường tròn (B; AB)

Mà ta có BC A = 90' 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> BC’ là đường cao của ABD’ cân tại B

=> BC’ là đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân) hay D’C’= C’A

Giáo viên: Cho một học sinh lên bảng trình bày phần đảo và nêu kết luận

* Kết luận: Quỹ tích điểm D là nửa đường tròn (B; AB)

Giáo viên: Cho học sinh nêu cách chứng minh khác?

Học sinh: Ta có trên tia đối của tia BA, lấy điểm A’ sao cho B là trung điểm của AA’, vì A, B cố định nên A’ cố định

Ta có BC là đường trung bình của ADA’ => CB//DA’

Ta có AD  CB => AD  DA’ =>  'A DA = 900 Vì D di động nhìn AA’ cố định dưới một góc bằng 900 nên D thuộc đường tròn đường kính AA’

Giáo viên: Nêu thêm phần giới hạn, phần đảo tương tự như cách thứ nhất

Bài 2: Quỹ tích là đường thẳng

Cho đường thẳng d cố địnhvà một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng B là một điểm di động trên d Tìm quỹ tích trung điểm M của AB

Hướng dẫn giải:

a/ Hãy xác định phần tử cố định, chuyển động và độ dài không đổi

Học sinh:

+ Phần tử cố định là: A, d

+ Phần tử chuyển động là B, M

+ Độ dài không đổi là khoảng cách từ A đến d

b/ Hãy vẽ ba vị trí của điểm M: M1, M2, M3 nối 3 điểm đó và nhận xét

Học sinh: Nối 3 điểm M1, M2, M3 ta thấy 3 điểm này thẳng hàng, vậy quỹ tích cần tìm có khả năng là đường thẳng (đoạn thẳng)

Giáo viên: Muốn chứng minh quỹ tích là một đường thẳng (đoạn thẳng) ta

có những cách nào?

Học sinh: Nêu 4 dạng quỹ tích là đường thẳng

Giáo viên: Em hãy quan sát thật kỹ các yếu tố cố định, các yếu tố di động

để tìm mối liên quan giữa chúng rồi em chọn một trong 4 cách mà em vừa nêu sao cho phù hợp với đề toán Học sinh chọn cách M cách đường thẳng d cố định một khoảng không đổi bằng nữa khoảng cách từ A đến d

Giáo viên: Em hãy chứng minh điều đó:

Học sinh: Kẻ AH  d tại H, do A, d cố định nên H là điểm cố định

=> AH không đổi

Kẻ MN  BH

Ta có MN là đường trung bình của AHB => MN = 1/2AH không đổi

Giáo viên: Vậy M thuộc đường nào?

Học sinh: ta có d cố định M di động, mà M cách d một khoảng bằng 1/2AH không đổi nên M thuộc đường thẳng d’ song song với d và cách d một khoảng bằng 1/2AH (d’ và A nằm cùng phía đối với đường thẳng d.)

Giáo viên: Cho học sinh nêu giới hạn

Học sinh: Vì B chuyển động trên cả đờng thẳng d nên M thuộc cả đường thẳng d’

Học sinh lên bảng trình bày phần thuận

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phần đảo

Hãy xác định hình (H) ở đây là gì? Tính chất “T” ở đây là gì? (Hình H là đường thẳng d’, tính chất “T” là MA = MB

Yêu cầu HS nêu lại chứng minh phần đảo nghĩa làm là gì? Sau đó cho 1

HS lên bảng trình bày

HS: Lấy M’ bất kỳ thuộc d’, nối AM’ cắt d tại B’

Gọi C là giao điểm của d’và AH

Ta có: CH = 1/2AH (Vì d’ cách d một khoảng cách 1/2AH)

=> CH = CA = 1/2AH

Xét HAB’ có: CA = CH (chứng minh trên)

CM’//HB’ (d//d’) => M’A = M’B’

* Kết luận:

Vậy quỹ tích trung điểm M của AB là đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và cách d một khoảng 1/2AH

Hoạt động 5: Hướng dẫn về nhà

Bài 1: Cho đoạn thẳng BC cố định.A di động trên hai nửa mặt phẳng bờ là BC sao cho BAC = 900 Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác của ABC và ACB Tìm quỹ tích của điểm I

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định C là một điểm chuyển động trên (O) Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CM = CB

a/ Tìm quỹ tích điểm M

b/ Trên dây AC lấy điểm N sao cho CN = CB Tìm quỹ tích điểm N

Bài 3: Gọi M là điểm chuyển động trên đoạn thẳng cố định AB Vẽ hai hình vuông AMCD và MBEF (M, C, F) nằm cùng phía với AB) có tâm lần lượt là O

và O’ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng OO’ khi M chuyển động trên AB

_d

_

_A

_C

Tiết 3 ;4

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG (TT) I/MỤC TIÊU:

Tiết này giáo viên cho học sinh giải bài tập 1 và bài 2a cho về nhà tiết trước

Cho học sinh sinh hoạt nhóm, thảo luận đưa ra lời giải nhằm học hỏi lẫn nhau, bổ sung kiến thức cho nhau

II/ CHUẨN BỊ:

Học sinh giải các bài tập cho về nhà

Giáo viên: Bảng phụ ghi sẳn lời giải hai bài, bài 1 và bài 2a

III/ TIẾN HÀNH:

Hoạt động 1: Giải bài tập 1:

Cho học sinh hoạt động nhóm, thảo luận, đưa ra lời giải

Giáo viên: Lời giải dài không thể trình bày hết lên bảng phụ được.Do đó giáo viên cho hai đại diện của hai nhóm lên trình bày lời gải của mình

Giáo viên cho học sinh dưới lớp sửa chữa bổ sung

Sau đó, giáo viên đưa bài giải mẫu ở bảng phụ cho học sinh tham khảo

Bài 1:

a/ Phần thuận

(Hình vẽ)

Ta có:  

ACB

C  (Vì CI là tia phân giác của ACB)

ABC

B  (Vì BI là tia phân giác của ABC)

C B   

Mà ACB + ABC = 900 (ACB vuông tại A)

90 2

C B  = 450

Xét CIB có   

C B CIB= 1800 (tổng ba góc của tam giác)

CIB=1800–  

(C B )= 1800 – 450 = 1350

Ta có A di động nên I di động

m' C' A

M'

A2

A1

M C

CB cố định mà CIB= 1350 không đổi, do đó điểm I thuộc hai cung chứa góc

1350 dựng trên đoạn thẳng CB

b/ Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc một trong hai cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn thẳng CB, nối CI’, BI’

Vẽ tia Cx sao cho CI’ là tia phân giác của BCx

Vẽ tia By sao cho BI’ là tia phân giác của CBy

Hai tia Cx và By cắt nhau tại A’, ta chứng minh

 '

BA C = 900

Thật vậy: CI’B có CI B ' = 1350

=>  

C B = 450

Ta có  

C C ;  

B B ;    

C B C B = 2.450 = 900

Do đó ta suy ra: CA B ' = 900

c/ Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm I là hai cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn thẳng CB

Hoạt động 2: Giải bài 2a.

Cho học sinh hoạt động cá nhân giải bài

Giáo viên: Cho học sinh lần lượt lên bảng trình bày 3 bước giải:

Học sinh dưới lớp nhận xét bổ sung

Giáo viên đính bảng phụ có ghi bài giải mẫu cho học sinh tham khảo a/ Phần thuận:

Ta có: ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn.)

=> CMB vuông tại C; mà CM = CB

=> CMB vuông cân tại C

=> CMB = 450

AB cố định, C di động, do đó M di động mà :

AMB = 450 không đổi, do đó M thuộc hai cung chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AB

Khi CB thì MB

Khi CA thì cát tuyến AC trở thành tiếp tuyến của đường tròn (O) Khi

đó MA1 hoặc MA2 (A1; A2 là giao điểm của tiếp tuyến tại A với (O) và hai cung chưa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AB)

Vậy M thuộc hai cung 

1

BmA và 

2

'

Bm A chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AB

b/ Phần đảo:

m