Sáng kiến kinh nghiệm: Một số chủ đề tự chọn Toán 9

Thông qua các tiết dạy học CĐTC , giáo viên sẽ có thêm điều kiện để đổi mới ph ơng pháp giảng dạy, tích lũy , trau dồi thêm chuyên môn nghiệp vụ ...Mặt khác,cũng thông qua các tiết dạy m

-

LễỉI NOÙI ẹAÀU

Từ những năm đầu của thập kỉ 90, vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học trong nhà trờng

phổ thông ở nớc ta đợc d luận xã hội và các cán bộ giáo viên trong ngành giáo dục quan tâm rất

nhiều

Vài năm gần đây , việc đổi mới phơng pháp dạy học theo tinh thần "lấy học sinh làm trung

tâm" đã đợc thực hiện rộng rãi khắp các tỉnh, thành trong tất cả các cấp học phổ thông cả nớc Hơn

nữa, việc đổi mới chơng trình-SGK hiện nay là một cuộc "cách mạng" ,đòi hỏi giáo viên phải có sự

đổi mới phơng pháp dạy học

Một trong những định hớng quan trọng của việc đổi mới hiện nay là : Tăng cờng hơn nữa

tính "phân hóa" trong học sinh Việc dạy học môn học tự chọn (trớc đây)và các chủ đề tự chọn

(hiện nay)là một trong những biện pháp hữu hiệu thể hiện rõ định hớng này

Bắt đầu tà năm học 2002-2003 Bộ GD&ĐT đã hớng dẫn thực hiện DHTC cho một số môn

học thuộc khối lớp 8 và 9 (2 tiết /tuần) Năm học 20062007 việc dạy học các chủ đề tự chọn đã đ

-ợc triển khai đại trà cho tất cả các khối lớp từ 6 đến 9 Nh vậy ,việc dạy học tự chọn đã mang tính

pháp quy.

Thông qua các tiết dạy học CĐTC , giáo viên sẽ có thêm điều kiện để đổi mới ph ơng pháp

giảng dạy, tích lũy , trau dồi thêm chuyên môn nghiệp vụ Mặt khác,cũng thông qua các tiết dạy

mà phát hiện ra những học sinh có năng khiếu đồng thời giúp học sinh khắc phục đợc những thiếu

sót của mình trong quá trình học tóan Học sinh có điều kiện củng cố kiến thức , phát huy khả

năng ,năng khiếu của bản thân về môn học

Trên cơ sở đặc điểm chơng trình tóan THCS , qua thực tiễn giảng dạy một số năm Bản

thân tôi đã đúc kết đợc một số kinh nghiệm khi dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9 Với mục đích hình

thành trong nhà trờng một số vấn đề và các chủ đề tự chọn & để trao đổi cùng các đồng nghiệp Tôi

tiến hành tổng hợp và biên soạn một số chủ đề Tóan 9 gồm :

*Chủ đề 1: Căn thức bậc hai.

*Chủ đề 2: Hệ phơng trình

*Chủ đề 3: Phơng trình bậc hai.

*Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị

*Chủ đề 5: Tiếp tuyến của đờng tròn.

*Chủ đề 6: Tứ giác nội tiếp Mỗi nội dung kiến thức đề có các ví dụ và bài tập cơ bản bám sát chơng trình và chia thành dạng phù

hợp với nhiều đối tợng học sinh(có nhiều nội dung nâng cao) các bài tập và

ví dụ chủ yếu đợc sử dụng trong SGK thuộc chơng trình cũ(cá nhân đã từng

áp dụng) Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình thực hiện ,song có lẽ không

thể tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận đợc sự ủng hộ ,góp ý của các

thầy cô và các bạn đồng nghiệp để sớm có thể hoàn thiện hơn

-

CH Ủ Đ Ề 1:

CĂN BẬC HAI: CÁC PHÉP TÍNH & BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CBH

A.TÓM TẮT KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN

* Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể sử dụng riêng rẽ hoặc phối hợp

các phương pháp: Đặt nhân tử chung; Áp dụng các hằng đẳng thức ;Nhóm, tách,them

bớt cùng một hạnh tử; Sử dụng nghiệm của đa thức hoặc dùng sơ đồ Hoocne,

1 Phương pháp dặt nhân tử chung :

Ví dụ 1: 14a3b - 7a2b2 + 35ab3 = 7ab.2a2 - 7ab.ab+ 7ab.5b2 = 7ab(2a2 - ab +5b2)

2 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức :

Ví dụ 2: (x+y)3 - (x-y)3 = [ (x+y) - (x-y)][(x+y)2 + (x+y)(x-y) + (x-y)2]

= 2y(x2+y2+2xy +x2 - y2 + x2+y2-2xy )

= 2y(3x2+y2)

3 Phương pháp nhóm các số hạng :

VẤN ĐỀ 1: Nhắc lại một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

-

Ví dụ 2: ax2 + ay2 -bx2 -by2 +b - a = (ax2 -bx2) +(ay2 - by2) +b - a

* Cịn một số cách tách khác nữa , xin mời bạn đọc

6 Phương pháp dùng nghiệm của đa thức :

f(x) =(x - a).g(x) Trong đĩ: g(x) là thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - a)

x- (-1) = x + 1 Ta cĩ :(x3 + 2x + 3) : (x + 1) = x2 -x + 3

Vậy :x3 + 2x + 3 = (x + 1)(x2 -x + 3)

7. PP sử dụng sơ đồ hoócne :

Cho đa thức: f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +… + a1x + a0 và nhị thức x - Ta luôn viết được : f(x) =

P(x) (x - ) + r

Bằng cách sử dụng sơ đồ hoócne:

-

 bn = an bn-1 =  bn + an-1 bn-2 =  bn-1 + an-2 …… b1 =  b2 + a1 b0 =  b1 + a0

Với P(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + bn-2xn-3 + … + b2x + b1 và r = a0

Rõ ràng , nếu r=0 , khi đó f(x) = P(x) (x - )

Việc sử dụng sơ đồ hoócne thường áp dụng đối với các đa thức bậc cao (từ bậc 3 trở lên)

Vấn đề đặt ra là : Ta phải đóan được nghiệm của f(x) Với chương trình THCS ta thường đóan

nghiệm theo các cách sau :

- Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của f(x) Do đó f(x) có thể viết :

f(x)= (x - 1)P(x)

- Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số

hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm Do đó f(x) có thể viết : f(x) = (x + 1)P(x)

- Tuy nhiên trong một số trường hợp cụ thể thì cả hai cách đóan nghiệm như trên là không khả

thi Khi đó , ta cần phải sử dụng đến cách thứ ba : Loại trừ các ước của hệ số tự do không là

nhiệm của f(x) , bằng cách : Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1) , f(-1) khác 0 thì (1)

1

f

a  va( 1)

-

Cách thực hiện :

+ Viết các hệ số của A(x) (các hêï số của đa thức được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của

biến ) Ta đặt các hệ số của A(x) theo thứ tự trên và các cột ở dòng trên ( tà cột thứ hai )

+ Ở dòng thứ hai , cột đầu tiên là một nghiệm , ba cột tiếp theo là các hệ số tương ứng của đa

thức thương , cột cuối cùng cho ta số dư

+ Kể từ cột thứ ba (dòng thứ hai) , mỗi số được xác định bằng cách : lấy  nhân với số cùng

dòng liền trước , cộng với số cùng cột ở dòng trên

Sơ đồ :



Ta có thể viết : A(x) = (x – 1) (x2 – 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)2

b) Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ : 9 +(-5)

= 1 + 3 = 4 => -1 là một nghiệm của B(X) Tươmg tương tự , ta có sơ đồ Hoócne :

c)Với cách làm như trên , ta thấy :

Tổng các hệ số của đa thức : 4 -13 + 9 – 18 = -18  0

Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn của đa thức C(x) bằng: - 13 – 18

Tổng các số hệ số của số hạng bậc lẻ của đa thức C(x) bằng: 4 + 9

Rõ ràng: -13 – 18  4 +9

-

Vậy với hai cách đoán nghiệm thông thường như trên không khả thi đối với đa thức này Ta

sử dụng phương pháp loại trừ nghiệm như sau:

Nhận xét: Đối với các đa thức trên, nếu không sử dụng sơ đồ Hoócne vẫn phân tích được thành

nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp tách nhóm hạng tử Chẳng hạn:

-

1 Tính nhanh :

a) 231,4 14 - 140.13,14b) (175 - 174):42

+ a2 >b2 a>b: Nếu a,b>0 Thì a 2 >b 2  a>b

Nếu a,b<0 Thì a 2 >b 2  a<b

2 Căn bậc hai của một số :

* Định nhĩa : CBHSH của một số a0 là số x 0 sao cho a= x2 ,kí hiệu ; a

Ta có :

VẤN ĐỀ 3: Căn thức bậc hai Định nghĩa và các tính chất

4 1

+ Số âm không có căn bậc hai.

1 100

1 01 ,

5

2 5

2 25

4 ( 10000

16 0016

 A A

4.Điều kiện tồn tại A: A có nghĩa  A  0

=> 5 3 < 2 19

3 Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có căn bậc hai?

biến đổi các căn thức bậc hai

Khai phương một tích 2 căn thức

1 với x 1 2x-1 với x>1

B A

-

A 0,B> 0 Ta có :

B

A B

A



1.2 Ví dụ :

* Cách sử dụng A B , A B

Quy tắc:Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm, ta có thể khai

phương từng biểu thức, rồi nhân các kết đó với nhau.

Muốn nhân các CBH của các biểu thức không âm, ta có thể nhân các biểu thức

trong CBH với nhau, rồi lấy CBH của kết quả đó

VÍ DỤ 1 : a 72 32 ; b 12 , 1 360 ; c 0,09.64

d

8

3 3

3 3

f 3 3 ( 3  2 6  33 ) = 9 3  6 18  3 99  9 3  6 9 2  3 9 11  9 3  18 2  9 9 11

* Cách sử dụng

B

A B

A và B, sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

Muốn chia CBH của A 0 cho CBH của B>0, ta có thể chia A cho B, rồi khai

phương kết quả đó (tức là lấy CBH của )

10

; f (5 3  3 5 ) : 15Giải :

Khai phương một thương 2 căn thức

Chia 2 căn thức

b a

2 36

-

a 12 , 55 =

2

7 10

35 10

35 100

1255 100

12 5 10

144 10

25

2

2 2

25 16

5 2 5

2

) 5 2

5 3

5 5 5

5 3

1 3 5

1 5 15

5 3 15

3 5 15

5 3 15

3 5 15

5 3 3 5

2.Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai:

2.1 Đưa thừa số ra hoặc vào trong dấu căn.

Đưa thừa số vào trong dấu căn Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

-

 Mẫu thức không phải là bình phương: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức của

mẫu để trở thành bình phương, rồi khai phương đưa ra ngoài dấu căn.

B B B

B A B

 Mẫu thức có dạng tổng hoặc hiệu các CBH: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức

liên hợp của mẫu để làm mất CBH ở mẫu.

) (

) )(

(

) (

B A

B A m B A B A

B A m B

) )(

5 5

5 5

) 1 3 ( 2 ) 1 3 )(

1 3 (

) 1 3 ( 2 1

) 3 4 ( 2 ) 3 4 )(

3 4 (

) 3 4 ( 2 3

2 2

b b a

12 ) 2 2 3 )(

2 2 3 (

) 2 2 3 2 2 3 ( 2 2 2 3

2 2

b b a

ab b

a b a ab b

a b a

3

) (

2 3 5 2

2 2 5 3





y x

x y y x

b b

b a

Lưu ý: Ở trên, ta đã nhắc lại một số phép tính và biến đổi đơn giản các căn thức

bậc hai Các bài tập tự giải ở trên dùng để cho học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng

các phép tính và biến đổi Trong nội dung tiếp theo này chúng ta chỉ đề cập đến một

số

Ví dụ về thực hiện các phép tính - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Trước hết hãy nhắc lại một số khái niệm:

3.1 Căn thức bậc hai đồng dạng: Là những căn thức có cùng biểu thức dưới

dấu căn.

3.2 Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai : Muốn rút gọn các biểu

thức chứa các căn thức bậc hai ,trước hết phải thực hiện các phép biến đổi các căn

thức(đưa thừa số ra -vào dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở

mẫu), đưa chúng về dạng các căn thức bậc hai đồng dạng, rồi thực hiện các phép

3

2 3 )(

2

3 4 3

2 2 6 2

-

2

1 5 18

8

2

5 2 3 2 6 2 25 2

2 5 2 9 2 4

3

2 3 )(

2

3 4 3

2 2

4

6 4 9

6 2 6 2

15

(

) 6 12 15 3 ( 6

12 15

3 3 2 ) 6 ( 2 ) 5

a

b a a

a a b a a a a

a b a

a a

VÍ DỤ 8: Rút gọn các biểu thức sau

a A =

1 2

1 :

1

1 1

x

y x

y y x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

1

1

) 1 ( ) 1 (

1 )

1 (

1 :

) 1 (

1 )

1 (

1 :

1

1 ) 1 (

2 ) )(

( : )

(

2 ) )(

( : 2

2 ) )(

( : )

)(

(

2 ) )(

( : )

( )

(

.

2

3 3

y x y x

y y

y y

x y x y

x

B

y x

y y

x y x xy y

x

B

y x

y y

x y x xy y

x

xy y x y

x

B

y x

y y

x y x xy y

x

y x

B

b

Nhận xét: Để rút gọn các biểu thức như trên ta đã sử dụng các phép biến đổi và

các phép tính để ước lược các căn thức đồng dạng Để cho đơn giản, khi thực hiện

các phép biến đổi, ta có thể sử dụng phương pháp "hữu tỉ hóa" để đơn giản các căn

thức rồi biến đổi(bài tóan lớp 8)

a A

a

a a

a a

a

a a

a a

a

a

1 1

1

1

) 1 ( ) 1 (

1 )

1 (

1 : ) 1 (

1 )

1 (

1 : 1

1 ) 1 (

2 ) )(

( : 2

2 ) )(

( : ) )(

(

2 ) )(

( :

2

2

2

2 2

3 3

b a b a

b b

b b a b a b

a

B

b a

b b a b a ab b

a

B

b a

b b a b a ab b

a

ab b a

b

a

B

b a

b b a b a ab b

Như vậy, có thể thấy rằng: Việc "hữu tỉ hóa" sẽ giúp cho việc biến đổi các biểu

thức trở nên đơn giản hơn rất nhiều (các biểu thức trở thành biểu thức hữu tỉ) Khi đó,

việc rút gọn các biểu thức cũng trở nên không còn khó khăn nữa

Lưu ý: Câu b còn thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: Chứng minh giá trị

của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng rút gọn các biểu thức, trước hết hãy cho

học sinh rèn luyện thành thạo kĩ năng tính tóan, khai triển, phân tích các biểu thức

thành tích qua các bài tóan dưới đây (BT 1,2,3)

3.1 Nhắc lại một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ ví

dụ đối với các biểu thức chứa CBH):

VẤN ĐỀ 3: Một số dạng tóan cơ bản

-

Lưu ý: Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng phân tích các biểu thức thành tích là

một trong những vấn đề rất cần thiết Bởi lẽ, nếu học sinh không thành thạo công vệc

này thì sẽ rất khó khăn trong việc thực hiện các phép bến đổi - rút gọn các biểu thức

<1>- Đặt nhân tử chun: Sử dụnh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép

6 2 3

5 1

1 3 1

Giải :

c

3 3

6 2 3

5 1

3 3 (

) 3 3 ( 6 )

2 3 )(

2 3 (

) 2 3 ( 5 )

1 3 )(

1 3 (

) 1 3 ( 4

) 2 3 ( 5 2

3 3 (

) 3 3 ( 3

3

3 3 2

3 3 : 2

3

3 2 6

3 6 12

BÀI TÓAN 3: Chứng minh đẳng thức (còn gọi là đồng nhất thức)

1

2 1 1

2 1

a a

a a

3

2

x x

x

1

2 1

1 (

2

2 2

x x

b ĐK: -1< a< 1

1 3

1 1

1 3

a

a a

BÀI TÓAN 4 Bài tóan có nội dung liên quan đến biểu thức rút gọn.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức với giá trị cho trước của biến.

Lưu ý: Khi x nguyên thì x hoặc nguyên (x chính phương), hoặc vô tỉ (x không

chính phương) Nếu x là số vô tỉ thì x-3 là số vô tỉ Khi đó 4

Chú ý: Muốn chứng minh A< m (mIR), ta xét hiệu A - m

+ Nếu A - m <0 => A<m (điều ngược laị tương tự)

-

Dạng 4: Giải phương trình

Ví dụ: Xem bài tĩan 6, hoặc ví dụ trong vấn đề 1

AD: Tìm các giá trị của x để A x 1 = -1

x 3







BÀI TĨAN 5: TĨAN TỔNG HỢP

GiảI các bài tĩan sau:

a(1 a) 1 a 1 a ể ứ :  A ( : a a

a.Rút gọn A

1b.Xét dấu của M , với M = a(A )

1 a

2 1 a 2 2(1 a)a

2C.Tìm giá trị nhỏ nhất của H.

x 31

2 3C.Tìm giá trị của a để P >P.

BÀI TĨAN 6: Giải phương trình vơ tỉ

*Chú ý : Cĩ nhiều dạng phương trình vơ tỉ và các phương pháp giải các phương trình

vơ tỉ đĩ Tuy nhiên, chỉ xin đưa ra 3 dạng phương trình phổ biến hay gặp trong chương

trình để tham khảo.

Dạng 1: f(x) g(x) (1)

* Đây là dạng phương trình vơ tỉ đơn giản nhất (các bài tập trong SGK chủ yếu là các

Sơ đồ giải :



 ( ) )

(x g x f

VÍ DỤ 1(BÀI 60/33 SGK TĨAN 9 TẬP 1): Giải phương trình

) 1 ( , 1 16

4 4 9 9 16

16x  x  x   x x  (1) Giải : ( 1 )  16x 16  9x 9  4x 4  x 1  16

Cĩ thể giải phương trình theo sơ đồ hoặc các cách như sau:

CÁCH 1: Theo sơ đồ trên ,ta cĩ : x26x9 3 x 1

1321( )2

x x

(x 3) (3x 1)3x 1 0

Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm: x =

9 40

Cách 2: Với x4 , ta có x 1  x 4  0 Nhân hai vế của (3) với x 1  x 4(biểu

thức liên hợp của x 1  x 4 )

Ta được :

) ' 3 ( 3

5 4 1

) 4 1

( 3 ) 4 1

)(

4 1

x x

) ' 3 ( 3

5 4 1

x x

x x

3

14 1

44

; 8

12-x0 x-70 x+1

7 x 12 (*)

-

 Nhận xét: Bài toán là rút gọn các biểu thức chứa CBH, nhưng biểu thức dưới dấu không

phải là một bình phương Như vậy để rút gọn ( đưa 7- 4 ra ngoài dấu ) ta phải biến đổi

7- 4 thành bình phương của một hiệu để áp dụng HĐT =  A 

 Khai thác bài toán : Hãy áp dụng cách giả trên và xét tiếp các bài tập sau :

BÀI TOÁN 1.1 : Rút gọn các biểu thức (Bài 100 SBT 9 / T 19 )

a) A = +

b) B = +

 Phân tích bài toán: Bài toán vẫn là rút gọn biểu thức chứa CBH Tuy nhiên, mỗi biểu

thức lúc này lại có phần phức tạp hơn, nhưng mỗi biểu thức thành phần trong hai biểu

thức đã cho vẫn có dạng như các biểu thức đã xé ở trên Như vậy, việc rút gọn A, B sẽ

không khó khăn

Nhận xét: Trong chương trình toán 9 có rất nhiều bài tập dạng trên và cách giải

tương tự, chẳn hạ : Bài tập 21/ T6; Bài 64/ T12; Bài 98/ T18 -SBT 9 ……Với cách giải

như trên ta có thể tự đặt ra các bài toán tương tự để cho các em học sinh luyện tập

 Khai thác tiếp bài toán VD4.1: Ở trên, bài toán yêu cầu rút gọn biểu thức

ta hãy thay đổi một chút, chẳng hạn: Rút gọn biêûu thức

M =

Nếu áp dụng cách giải ở trên, tức là phải biến đổi BT thành bình phương của một

hiệu Như thêù sẽ gặp khó khăn, nhưng để ý ta có: =

= => M = = =

M = 1-

Giờ ta hãy xét bài toán ở một mức độ khác sau đây:

BÀI TOÁN 1.3 : Rút gọn biểu thức

P = - (Thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Du năm 2000 – 2001 )

-

 Phân tích bài toán: Bài toán yêu cầu rút gọn biểu thức P gần giống với hai biểu thức A

và B đã xét ở bài toán 1.1 Tuy nhiên, mức độ có phần phức tạp hơn Vì mỗi biểu thức

dưới dấu lại là một phân thức và do đó, ta cũng sẽ phải biến đổi các biểu thức đó về

dạng luỹ thừa bậc hai

Trục căn thức ta được : P = 2

 Khai thác bài toán: Vơí việc áp dụng cách giải các bài toán ở trên, ta đã tính được giá

trị của biểu thức P không mấy khó khăn Vấn đềø là: Nếu mẫu của các biểu thức không

thêû biến đổiâ về luỹ thừa bậc hai thì sao ? Hãy xét tiếp bài toán sau

BÀI TOÁN 1.4 : ( BT 72 / T14 – SBT 9/T1 ) Tính giá trị biểu thức

Q = + +

 Phân tích bài toán: Bài toán yêu cầu tính giá trị của biểu thức là tổng của ba phân thức,

mỗi phân thức trong tổng có tử là 1 và mẫu là tổng của hai CBH và các số dưới căn hơn

kém nhau một đơn vị Biểu thức cũng là một dạng toán khá quen thuộc