- Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm phương pháp đổi
Trang 1Số tiết: 2 tiết Thực hiện ngày 9 Tháng 02 năm2009
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG.
NGUYÊN HÀM
- Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần)
- Kỹ năng: biết cách tính đạo hàm của hàm số, nguyên hàm của hàm số, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
a Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
b Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …-Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
a Ổn định lớp: 1 phút
b Bài mới:
Trang 2NỘI DUNG HOẠT DỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS TG
I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1 Nguyên hàm:
“Cho hàm số xác định trên K Hàm số
F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với
mọi x thuộc K”
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm f(x) trên K thì với mỗi hằng số C,
hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một
nguyên hàm của hàm f(x) trên K”
“Nếu F(x) là một nguyên hàm của
hàm f(x) trên K thì mọi nguyên hàm
của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C,
với C là hằng số”
Tóm lại, ta có:
f x dx F x= +C
∫
Với f(x)dx là vi phân của nguyên
hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx
= f(x)dx
2 Tính chất của nguyên hàm:
+ Tính chất 1:
'( ) ( )
f x dx= f x +C
∫
+ Tính chất 2:
kf x dx k f x dx k= ≠
+ Tính chất 3:
[ ( )f x ±g x dx( )] = f x dx( ) ± g x dx( )
3 Sự tồn tại của nguyên hàm:
Ta thừa nhận định lý 3 sau:
“Mọi hàm số liên tục trên K đều có
nguyên hàm trên K”
4 Bảng các nguyên hàm của một số
hàm số thường gặp:
Hoạt động 5 :
Hãy hoàn thành bảng sau:
Hoạt động 1 : Hãy tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f (x) Biết a/ f(x) = 3x2 b/ f(x) =
2
1 os
c x với x ∈ ;
2 2
π π
Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau:
Gv giới thiệu cho Hs vd
1 (SGK, trang 93) để Hs hiểu
rõ định nghĩa vừa nêu
Hoạt động 2 :
Em hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm
số đã nêu trong ví dụ 1
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 1 sau:
Hoạt động 3 :
Em hãy dựa vào tính chất F’(x) = f (x) ở hoạt động vừa làm ở trên để chứng minh định lý vừa nêu
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 2 sau:
Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 94, để
Hs hiểu rõ nội dung định lý 2 vừa nêu
Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 94) để Hs hiểu rõ
2 định lý vừa nêu
Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 95, để
Hs hiểu rõ nội dung tính chất
2 vừa nêu
Gv giới thiệu cho Hs vd
3, 4 (SGK, trang 95) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu
Hoạt động 4 :
Em hãy chứng minh tính chất vừa nêu
Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 96) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu
Suy nghĩ tìm tìm hàm số F(x) của các hàm số
a/ f(x) = 3x2 b/ f(x) = 12
os
c x với x
2 2
π π
để F’(x) = f (x).
thêm các hàm số khác cũng vẫn thoả tính chất:
F’(x) = f (x)
Suy nghĩ dựa vào tính chất F’(x) = f (x)
ở hoạt động vừa làm ở trên để chứng minh định lý vừa nêu
Suy nghĩ chứng minh tính chất vừa nêu
Suy nghĩ để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho
45’
15’
Trang 3f’(x) f(x) + C 0
αxα - 1
1
x
ex
axlna (a > 0, a ≠ 1) cosx
- sinx
2
1 os
2
1
sin x
−
Gv giới thiệu với Hs bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
0dx C=
ln
x
a
∫
dx x C= +
1
1
x
α
+
+
dx
x C x
dx tgx C
∫
e dx e= +C
sin
dx
gx C
∫
Trang 4Củng cố: ( 2’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài nguyên hàm.
Bmt, Ngày 7 tháng 2 năm 2009
Phạm Thị Phương Lan
II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1 Phương pháp đổi biến số:
:
“Nếu ∫ f u du F u( ) = ( )+C và u = u(x) là hàm
số có đạo hàm liên tục thì:
'
( ( )) ( ) ( ( ))
f u x u x dx F u x= +C
2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
“Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo
hàm liên tục trên K thì:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
u x v x dx u x v x= − u x v x dx
Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx = du nên công thức
trên còn được viết dưới dạng :
u dv uv= − v du
Hoạt động 8 :
Cho P(x) là đa thức của x Qua ví dụ 9, em
hãy hoàn thành bảng sau:
P x e dx
∫ ∫P x( ) cosxdx∫P x( ) lnxdx
dv = exdx
Gv giới thiệu cho Hs vd 6(SGK, trang 96) để Hs hiểu rõ bảng nguyên hàm vừa nêu
Hoạt động 6 : Hãy hoàn thành các công việc sau:
a/ Cho ∫(x−1)10dx Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u
và du
b/ Cho ln x dx
x
∫ Đặt x = et, hãy viết ln x dx
x theo t và dt.
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 4 sau
Gv giới thiệu với Hs nội dung chứng minh định lý 4 (SGK, trang 98) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
Gv giới thiệu cho Hs vd 7, 8 (SGK, trang 98, 99) để Hs hiểu
rõ phương pháp tính nguyên hàm vừa nêu
Hoạt động 7 : Hãy tính ∫xsinxdx
+ Hd: Ta có: (xcosx)’ = cosx – xsinx
Hay : - xsinx = (xcosx)’ – cosx
Tính : ∫( cos )x x dx'
và cos x dx∫ ⇒ ∫xsinxdx
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 5 sau:
Gv giới thiệu với Hs nội dung chứng minh định lý 5 (SGK, trang 99) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu
Gv giới thiệu cho Hs vd 9 (SGK, trang 98, 99) để Hs hiểu
rõ phương pháp tính nguyên hàm vừa nêu
Suy nghĩ để hoàn thành các công việc mà Gv yêu cầu trong phiếu học tập : a/ Cho ∫(x−1)10dx Đặt u
= x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du
b/ Cho ln x dx
x
∫ Đặt x =
et, hãy viết ln x dx
x theo t
và dt
Suy nghĩ để tính sinx
dẫn của Gv
Suy nghĩ để hoàn thành bảng trong phiếu học tập theo hướng dẫn của Gv
42’
Trang 5LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM
IV Mục tiêu
- Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần)
- Kỹ năng: biết cách tính đạo hàm của hàm số, nguyên hàm của hàm số, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số
- Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
a Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
b Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …-Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
a Ổn định lớp: 1 phút
b Bài mới:
Trang 6NỘI DUNG HOẠT DỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS T
G
1 Trong các cặp hàm số dới đây, hàm số
nào là nguyên hàm của hàm số còn
lại ?
a)e và −x −e ;−x
b) sin2x và sin2x ;
c)
2
2
x
4
x
2 Tìm nguyên hàm của các hàm số
sau :
a) f(x) = x 3 x 1
x
; b) f(x) =2 1
x x e
−
; c) f(x) = 2 2
1 sin x.cos x ;
d) f(x) =sin 5 cos3 x x ;
e) f(x) = tan2x ;
g) f(x) =
3 2
1 1
x x
+
h) f(x) = e3 2− x ;
i) f(x) = + −
1 (1 x)(1 2 )x
3 Sử dụng phơng pháp đổi biến số, hãy
tính :
a) ∫(1− x) d9 x (đặt u = −1 x ;)
b) ∫x(1+ x2) d32 x (đặt
2
u = + x ;
c) ∫cos3xsin dx x (đặt
cos )
t = x ;
d) ∫ x+d−x+2
x
e e (đặt
x
u e= ).
4 Sử dụng phơng pháp tính nguyên
a/Tớnh (e-x)’= ? qua đú ta kết luận được điều gỡ ? điều ngược lại cú đỳng khụng ? vỡ sao ?
Cho HS tiến hành hoạt động giải cỏc cõu cũn lại
Gơ ̣i ý:
n
m
m
a a
=
Yờu cầu hs lờn bảng trỡnh bày
Yờu cầu hs lờn bảng trỡnh bày
Hs suy nghĩ làm bài : a) ( )x '
e− = – e−x nờn e−x là
và ( x)'
e−
− = e−x nờn –e−x là
b) sin 2 x là một nguyờn hàm của six2x
x
−4
x
2
2
−
Bài 2:
a)
dx x x x dx x
x x
+ +
= +
3
1
=
e x
x 1 2
=
e
x x
2
=
2 ln 2 1 (ln 2 1)
x
e
−
d)
) 2 sin 8 (sin 2
1 3 cos 5
⇒ x xdx sin 8xdx sin 2xdx
2
1 3
cos 5 sin
C x
−
= cos 8 cos 2 4
1 4 1
2
x
e − C
(1 x)(1 2 )x = 3 1 x+ 1 2x
Vậy ta cú
x
x
+
−
Bài 3:Hs suy nghĩ làm bài:
a)
10
; 10
x
C
−
5
2 2
1
os
1
e
+
Bài 4: Tính nguyờn hàm từng
20’
20’
20’
Trang 7Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài
Bmt, Ngày 22 tháng 2 năm 2009
TÍCH PHÂN
Tiết:
I Mu ̣c tiêu:
- Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; đi ̣nh nghĩa tích phân.
2 Tính chất của tích phân
3 Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân từng phần )
- Kỹ năng: Nắm đi ̣nh nghĩa tích phân, vâ ̣n du ̣ng thành tha ̣o các tính chất và hai phương pháp tính tích phân
Hiểu ý nghĩa hình ho ̣c của tích phân
- Thái đơ ̣: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng
tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được nhu cầu cần ho ̣c tích phân
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhóm
III Chuẩn bi ̣ của GV và HS
IV Nội dung và tiến trình lên lớp:
Trang 8Ọ5
5
y
O 1
I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN.
1 Diện tích hình thang cong:
y = f(x) = 2x +1
1 f(1) = 3 ; f(5) = 11
S
2
) 1 5 ( ) 1
(
)
5
2 S(t) = t2 + t – 2 ;t∈[1; 5]
3 vì S’(t) = 2t + 1
Nên S(t) là mô ̣t nguyên hàm của f(t) =
2t + 1
S =S( 5 )−S( 1 )=28−0=28
Đi ̣nh nghĩa hình thang cong:
“Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi
dấu trên đoạn [a ; b] Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b
được gọi là hình thang cong (H47a,
SGK, trang 102)”
2 Định nghĩa tích phân :
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[a; b] Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a
đến b (hay tích phân xác định trên
đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
b
b a a
∫
Chú ý: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :
f x dx= f x dx= − f x dx
2
1
2 1 3
b)
e
e
e nt
l
dt
t
1
1
Nhận xét:
b
a
f x dx
các cận a, b mà không phụ thuộc vào
biến số x hay t
Hoạt động1: tiếp câ ̣n khái niê ̣m tích phân
Hãy nhắc la ̣i công thức tính diê ̣n tích hình thang
Cho hs tiến hành hoa ̣t
đô ̣ng 1 sgk
Để c/m S(t) là mô ̣t nguyên hàm của f(t) cần làm gì ? Giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa thang cong Gv giới thiệu cho
Hs vd 1 (SGK, trang 102 ,
103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong
2 Định nghĩa tích phân : Hoạt động 2 :
Cho HS tiến hành HĐ2 sgk
Ta còn kí hiê ̣u
Hãy tính ∫3x2dx;
t
1
Giới thiê ̣u nhâ ̣n xét sgk
Sh thang =
2
1
(Đ + đ).h Thảo luận nhóm để tính diện tích S của hình T khi t = 5
Đô ̣ dài đáy lớn f(5)
Đô ̣ dài đáy nhỏ f(1) Chiếu cao 5 – 1 = 4 + Tính diện tích S(t) của hình
T khi t ∈ [1; 5]
Cần c/m S’(t) = f(t) Nắm đi ̣nh nghĩa hình thang cong
Thảo luận nhóm để chứng minh
F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
Ví F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x)
C x G x
⇒ ( ) ( )
) ( ) (
) ) ( ( ) ) ( (
) ( ) (
a G b G
C a G C b G
a F b F
−
=
+
− +
=
−
⇒
Tính ∫3x2dx; ∫ dt
t
1
⇒ ∫2
1
2
3x dx; d t
t
e
∫
1
1
20’
20’
20’
Trang 9Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài
Bmt, Ngày 22 tháng 2 năm 2009
-LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN
I Mu ̣c tiêu:
- Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; đi ̣nh nghĩa tích phân.
2 Tính chất của tích phân
3 Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân từng phần )
- Kỹ năng: Nắm đi ̣nh nghĩa tích phân, vâ ̣n du ̣ng thành tha ̣o các tính chất và hai phương pháp tính tích phân
Hiểu ý nghĩa hình ho ̣c của tích phân
- Thái đơ ̣: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng
tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được nhu cầu cần ho ̣c tích phân
- Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhóm
III Chuẩn bi ̣ của GV và HS
IV Nội dung và tiến trình lên lớp:
Trang 10NỘI DUNG HOẠT DỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA
1 Tính các tích phân sau :
a)
−
−
∫
1
2
2 3
1
2
(1 x) dx ;
b)
π
π
∫
2
0
4 x x ;
c) ∫2 +
1
2
d)
2
2 0
e)
−
+
∫
2
2 1
2
1 3
d
f)
π
π
−2
∫
2
sin 3 cos5 dx x x
2 Tính các tích phân sau :
a) ∫2 −
0
1 x x ; d
b)
π
2
0
sin x x ;d
∫
ln 2 2 1
0
e
x
x x ;
d)
π
0
sin 2 cosx x xd
3 Sử dụng phơng pháp đổi biến
số, hãy tính :
a)
+
∫
3
d
x
(đặt
Yờu cầu hs lờn bảng trỡnh bày Đỏp ỏn:a/
2 1
2 1 3 5
) 1 ( 5 3
−
−
−
4 10
+
−
= +
2
2 1
2
2
1 1 )
1 (
1
dx x
x
dx x
x
(ln ln( 1 ))2 ln 2
2
+
−
−
=
−
2
0
2
0
0 4
cos 4
sin
π
0
2
0
2 3 2
3
34 )
2 ( )
1
x
Yờu cầu hs lờn bảng trỡnh bày Đỏp ỏn:a/
1 2
2
) 1 ( )
1 ( 1
)
2
1
2 1
0 2
1
0
2
1 2
0
=
+
−
=
− +
−
=
∫
x x x
x
dx x dx
x dx
x a
0
2
0
2
1 sin
dx x xdx
2 0
) 2 sin 2
1 ( 2
x
x−
=
4
π
=
0
2 ln
0 1 2
ln
0
1
e
x x
2
1 1
1 1
2 ln 1 2 ln 2 ln
0
e
e e
e x x
d)
∫
0
4
1 2
sin 2
1 cos
2
0 4
cos 16
1 2 cos 4
1
0
=
−
=
π
x x
Yờu cầu hs lờn bảng trỡnh bày Đỏp ỏn:
a)
∫
+
3
3 2
1
dx x
x
đă ̣t u = x+1 ⇒du=dx
HS suy nghĩ lờn bảng trỡnh bày
HS suy nghĩ lờn bảng trỡnh bày
HS suy nghĩ lờn bảng trỡnh bày
Trang 11Củng cố: ( 3’) Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài
Bmt, Ngày 22 tháng 2 năm 2009
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I Mu ̣c tiêu:
1 Kiến thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành,
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, Thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay
2 Kỹ năng: biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, thể tích của vật thể, thể tích của khối chóp và khối chóp cụt, thể tích khối tròn xoay
3.Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
4.Thái đô ̣: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội
II Phương pháp:
Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở
III- Chuẩn bị của GV&HS
-Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận.
-Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi.
IV Nội dung và tiến trình lên lớp.
Treo hình vẽ hình thang
vuông trong HĐ1 sgk
Cho HS tiến hành hoa ̣t
đô ̣ng 1
Xây dựng công thức tính
diê ̣n tích S của hình
phẳng giới ha ̣ng bởi đồ
thi ̣ hàm số f(x) liên tu ̣c
trên đoa ̣n [a; b], tru ̣c
hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b
Hướng dẫn giải VD1
Hãy bỏ dấu tri ̣ tuyê ̣t đối
Cho HS giải VD1
Giới thiê ̣u công thức tính
diê ̣n tích hình phẳng giới
hạn bởi hai đường cong
Từ công thức
= b
a
dx x f x
f
Thảo luận nhóm để:
+ Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn bởi các đường thẳng y = - 2x –
1, y = 0, x = 1, x = 5 đươ ̣c
S = 28 + So sánh với diện tích hình thang vuông trong hoạt động 1 của bài 2
( bằng nhau ) Nghe hiểu nhiê ̣m vu ̣
≤
≥
=
0
x nêìu x
-0
x
nêìu
3
3
3 x x
Giải VD1
Nghe hiểu nhiê ̣m vu ̣
I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong
và trục hoành:
Diê ̣n tích S của hình phẳng giới ha ̣ng bởi đồ thi ̣ hàm số f(x) liên tu ̣c trên đoa ̣n [a; b], tru ̣c hoành và hai đường thẳng x = a, x =b được cho bởi
b
a
dx x f
Vd1: Tính diê ̣n tích hình phẳng giới ha ̣n bởi đồ
thi ̣ hàm số y = x3, tru ̣c hoành và hai đường thẳng x = -1 và x = 2
−
−
+
−
=
1
2
0
3 3
2
1
x S
4
17 4
4
2
0
4 0
1
4
= +
−
=
−
x x
Diê ̣n tích S của hình phẳng giới ha ̣ng bởi đồ thi ̣ của hai hàm số f1(x) và f2(x) liên
tu ̣c trên đoa ̣n [a; b]
và hai đường thẳng
x = a, x = b đươ ̣c cho bởi công thức
=
b
a
dx x f x f
Cách tính tích phân theo công thức
• Giải phương trình f1 (x)− f2 (x)=0 trên đoa ̣n
