Chuyên đề toa do trong mat phang

Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng.. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.. Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ... Viết phơng trình đ

PHƯƠNG PH P TOÁP TO Ạ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.

Chuyên đề 1 : Véc tơ v t à t ọa độ véc tơ.

A tóm tắt lí thuyết.

I Hệ Trục toạ độ

II Tọa độ véc tơ.

1 Đị nh ngh ĩ a

( ; )

u x y  u xi y j  

2 Các tính ch ấ t

Trong mặt phẳng Oxy cho u( ; );x y v( '; ')x y , ta có :

a u v  (x x y y ';  ')

b ku( ; )kx ky .

c u v xx   'yy'

d u2 x2x'2  u  x2x' 2

e u v u v   0 xx'yy' 0.

f u v , cùng phương

' '

'

x x

u v

y y





  





 

3 Ví d ụ

Ví dụ 1 Tìmm tọa độ của véc tơ sau :

;

ai b5 ;j c 3i 4 ;j 1

( );

2

d  j i

e0,15 1,3 ;i j f i (cos 24 ) 0 j

Ví dụ 2 Cho các véc tơ : a(2;1);b(3; 4);c(7; 2)

a Tìm toạ độ của véc tơ u2a 3b c 

b Tìm toạ độ của véc tơ x sao cho x a b c    

c Tìm các số ,k l để c ka lb  

Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các véc tơ : a(3; 2);b ( 1;5);c ( 2' 5)

a Tìm toạ độ của véc tơ sau

u a b   c va2b5c ; w 2( a b ) 4  c

b Tìm các số x y, sao cho c xa yb  .

c Tính các tích vô hướng a b b c a b c b a c          ; ; (  ); (  )

Ví dụ 4 Cho 1

2

u i  j v ki  j

Tìm k để u v , cùng phương

III Toạ độ của điểm.

1.

Đị nh ngh ĩ a .

( ; ) ( ; )

M  x y  OM  x y  OM xi y j

2 M ố i liên h ệ gi ữ a to ạ độ đ i ể m v to à to ạ độ c ủ a véc t ơ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A x y B x y C x y Khi đó:( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3

a AB(x2 x y1; 2 y1) AB  (x2 x1)2(y2 y1)2

b Toạ độ trung điểm I của đoạn AB l : à : ( 1 2; 1 2)

c Toạ độ trọng tâm G của ABC l : à : ( 1 2 3; 1 2 3)

d Ba điểm , ,A B C thẳng h ng à :   AB AC,

cùng phương

3 Ví d ụ

Ví dụ 1 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A  B C  .

a Chứng minh ba điểm không thẳng h ng.à :

b Tính chu vi ABC

c Tìm tọa độ trực tâm H

Ví dụ 2 Cho ba điểm ( 3; 4), (1;1), (9; 5)A  B C  .

a Chứng minh , ,A B C thẳng h ng.à :

b Tìm toạ độ D sao cho A l trung à : điểm của BD

c Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho , ,A B E thẳng h ng.à :

Ví dụ 3 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A  B C  .

a Chứng minh ba điểm , ,A B C tạo th nh tam giác.à :

b Tìm toạ độ trọng tâm ABC

c Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE l hình bình h nh.à : à :

đờng thẳng

Chuyên đề 1: phơng trình đờng thẳng.

A kiến thức cơ bản.

I Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng.

1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ n  0 đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng  nếu nó có giá  

2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ u  0 đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng  nếu

nó có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng 

* Chú ý:

- Nếu n u ; là véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng  thì  k 0 các véc tơ kn ku ; cũng tơng ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng 

- Nếu n( ; )a b



là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng thì véc tơ chỉ phơng là u( ;b a )



hoặc ( ; )

u b a

- Nếu u( ; )u u1 2



là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng thì véc tơ pháp tuyến là n( ;u2 u1)



hoặc n ( u u2; )1



II Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng  đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ pháp tuyến

)

;

( b a

n  Khi đó phơng trình tổng quát của  đợc xác định bởi phơng trình :

a(x x0) b(y y0)  0 (1) ( 2 2 0



b

III Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng  đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ chỉ phơng

)

;

(u1 u2

u  Khi đó phơng trình tham số của  đợc xác định bởi phơng trình :















t u y y

t u x x

2 0

1 0

(2) ( t  R.)

* Chú ý : Nếu đờng thẳng  có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phơng là u  ( k1 ; )

IV Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng quát và ph ơng trình tham số

1 Nếu đờng thẳng  có phơng trình dạng (1) thì n  ( b a; ) Từ đó đờng thẳng  có vtcp

là u (b;a) hoặc u (b;a)

Cho x  x0 thay vào phơng trình (2)  y  y0.Khi đó ptts của  là :















at y y

bt x x

0

0

( t   ).

2 Nếu đờng thẳng  có phơng trình dạng (2) thì vtcp u  (u1;u2) Từ đó đờng thẳng  có

vtpt là n (u2;u1) hoặc n (u2;u1) Và phơng trình tổng quát của  đợc xác định bởi :

u2 (x x0 )  u1 (y y0 )  0

* Chú ý :

- Nếu u1  0 thì pttq của  là : x x0  0

- Nếu u2  0 thì pttq của  là : y y0  0

B bài tập cơ bản.

I Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M x y và có một vtcp ( ; )0 0 u( ; )u u1 2 .

Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng  trong các trờng hợp sau :

a Đi qua M(1; 2) và có một vtcp u  (2; 1)

b Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4); A ( 1; 2) và B ( 1; 4); A(1; 2) và B(3; 2)

c Đi qua M(3; 2) và 1 2

// :d x t (t )

 













d Đi qua M(2; 3) và d: 2x 5y  3 0

II Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M x y và có một vtpt ( ; )0 0 n( ; )a b .

Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng  trong các trờng hợp sau :

a Đi qua M(1; 2) và có một vtpt n  (2; 3) .

b Đi qua A(3; 2) và // : 2d x y 1 0.

c Đi qua B(4; 3) và 1 2

 









III Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M x y và có hệ số góc k cho trớc.( ; )0 0

+ Phơng trình đờng thẳng có dạng y kx m 

+ áp dụng điều kiện đi qua M x y( ; )0 0  m

Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng  trong các trờng hợp sau :

a Đi qua M ( 1; 2) và có hệ số góc k 3

b Đi qua A(3; 2) và tạo với chiều dơng trục Oxgóc 0

45

III Luyện tập.

1 Viết phơng trình đờng thẳng  trong các trờng hợp sau :

a Đi qua A(3; 2) và B  ( 1; 5); M ( 3;1) và N(1; 6) ;

b Đi qua A và có vtcp u, nếu :

+ A(2;3) và u   ( 1;2)

+ A ( 1; 4) và u  (0;1)

c Đi qua A(3; 1) và // : 2d x3y1 0

d Đi qua M(3; 2) và n  (2; 2)

e Đi qua N(1; 2) và  với :

+ Trục Ox

+ Trục Oy

f Đi qua A(1;1) và có hệ số góc k 2

g Đi qua B(1; 2) và tạo với chiều dơng trục Ox góc 60 0

2 Viết phơng trình các cạnh ABC biết :

a A(2;1); (5;3); (3; 4).B C 

b Trung điểm các cạnh là : M( 1; 1); (1;9); (9;1).  N P

c C  ( 4; 5) và hai đờng cao (AH) : 5x3y 4 0;( BK) : 3x8y13 0

d (AB) : 5x 3y  và hai đờng cao 2 0 (AH) : 4x 3y 1 0;(BK) : 7x2y 22 0

e A(1;3) hai trung tuyến (BM) :x 2y 1 0;(CN) :y1 0

f C(4; 1) đờng cao (AH) : 2x 3y trung tuyến 0 (BM) : 2x3y0

Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

A tóm tắtlí thuyết.

I Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đờng thẳng   có phơng trình1; 2

2 2

a x b y c a b

a x b y c a b

Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song song hay rùng nhau ?

Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

II Phơng pháp.

1 Cách 1:

Nếu 1 2

b b thì hai đờng thẳng cắt nhau.

Nếu 1 2 1

b b c thì hai đờng thẳng song song nhau.

Nếu 1 2 1

b b c thì hai đờng thẳng trùng nhau.

2 Cách 2:

Xét hệ phơng trình 1 1 1

0 0

a x b y c

a x b y c







(1) Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau

Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi x y thì hai đờng thẳng trùng nhau.; 

* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.

b bài tập cơ bản.

I Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:

a) 1:x y  2 0; 2: 2x y  3 0

2 2

 



 





II Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng

1: (m 3)x 2y m 1 0; 2: x my (m 1) 0

Tìm m để hai đờng thẳng cắt nhau

Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng

1:mx y 1 m 0; 2: x my 2 0

Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

III Luyện tập.

Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:

a) 1:8x10y12 0; 2: 4x3y 16 0

3 2

 



 





2 4 '

10 5

2

x t





 





 



Bài 2: Biện luận theo m vị trí các cặp đờng thẳng sau

a) 1:mx y  2m0; 2:x my m  1 0

b) 1:mx y  2 0; 2:x my m   1 0

Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.

A tóm tắt lí thuyết.

I Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng   cắt nhau Khi đó góc giữa 1; 2   là góc nhọn và 1; 2

đợc kí hiệu là:  1, 2

* Đặc biệt:

- Nếu  1, 2 90o

   thì    1 2

- Nếu  1, 2 0o

   thì 1// hoặc 2   1 2

II Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đờng thẳng   có phơng trình1; 2

2 2

a x b y c a b

a x b y c a b

Khi đó góc giữa hai đờng thẳng  1, 2 đợc xác định theo công thức:

 1 2 2 1 22 1 22 2



* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phơng của chúng

b bài tập cơ bản.

I Xác định góc giữa hai đờng thẳng.

Ví dụ: Xác định góc giữa hai đờng thẳng

1: 4x 2y 6 0; 2:x 3y 1 0

7 5

x t





 





'

'

5 5

2 2

x t

x t





 

 

II Viết phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng cho trớc một góc cho trớc.

Ví dụ 1: Cho đờng thẳng d: 3x 2y  và 1 0 M1;2

Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M và tạo với d một góc 45o

Ví dụ 2: Cho ABC cân đỉnh A Biết AB x y:   1 0; BC : 2x 3y 5 0

Viết phơng trình cạnh AC biết nó đi qua M1;1

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết A   3; 2 và BD: 7x y  27 0

Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại

III Luyện tập.

Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đờng thẳng sau

a) 1:x 2y 5 0; 2: 3x y 0 b) 1:x2y 4 0; 2: 2x y  6 0 c) 1: 4x 2y 5 0; 2:x 3y 1 0 Bài 2: Cho hai đờng thẳng

1: 3x y 7 0; 2:mx y 1 0

Tìm m để  1, 2 30o

Bài 3: Cho đờng thẳng d: 2x y   và 3 0 M  3;1

Viết phơng trình đờng thẳng  đi qua M và tạo với d một góc 45o

Bài 4: Cho ABC cân đỉnh A, biết:

AB: 2x y  5 0 ; AC : 3x6y1 0 Viết phơng trình BC đi qua M2; 1 

Bài 5: Cho hình vuông tâm I2;3 và AB x:  2y1 0

Viết phơng trình các cạnh, các đờng chéo còn lại

Bài 6: Cho ABC cân đỉnh A, biết:

AB: 5x2y13 0 ; BC x y :   4 0 Viết phơng trình AC đi qua M11;0

Bài 7: Cho ABCđều, biết: A2;6 và BC : 3x 3y 6 0

Viết phơng trình các cạnh còn lại

Đờng tròn

A Tóm t ắ t lý thuy ế t

1 Ph ươ ng trình chính t ắ c

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm ( ; ) I a b bán kính R Khi đó phương trình chính tắc của đường tròn l : à :

(x a ) (y b ) R

2 Ph ươ ng trình tổng quát.

L phà : ương trình có dạng trình có dạng :

x y  Ax By C  VớiA2B2 C Khi đó tâm (I  A B; ), bán kính R A2B2 C

3 B i toán vi à to ế t ph ươ ng trình đườ ng tròn.

Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB, với (1;1), (7;5)A B

Đáp số : (x 4)2(y 3)2 13 hay x2y2 8x 6y12 0

Ví dụ 2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC, với ( 2; 4), (5;5), (6; 2)A  B C  .

Đáp số : x2y2 4x 2y 20 0

Ví dụ 3 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm ( 1; 2)I  v tià : ếp xúc với đường thẳng

:x 2y 7 0

Đáp số : 2 2 4

5

x  y 

Ví dụ 4 Viết phương trình đường tròn qua ( 4; 2)A  v tià : ếp xúc với hai trục toạ độ

Đáp số : (x2)2(y 2)2  hoặc 4 (x10)2(y10)2 100

4 Bài toỏn tỡm tham số để phương trỡnh dạng x2y22Ax2By C 0 là phương trỡnh của một đường trũn.

Điều kiện : A2B2 C

Ví dụ 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình n o l phà : à : ương trình của một đường tròn Xác định tâm v tính bán kính.à :

a x2y2 4x2y  c 6 0 x2y26x 8y16 0

b x2 y24x 5y  d 1 0 2x22y2 3x 2 0

Đáp số : c ) ( 3; 4), I  R 3 d) 3 5

( ;0),

Ví dụ 2 Cho phương trình : x2y26mx 2(m1)y11m22m 4 0

a Tìm điều kiện của m để pt trên l à : đường tròn

b Tìm quĩ tích tâm đường tròn

Ví dụ 3 Cho phương trình x2y2(m15)x (m 5)y m  0

a Tìm điều kiện của m để pt trên l à : đường tròn

b T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.

VÝ dụ 4 Cho phương tr×nh (C : m) x2y22(m1)x 2(m 3)y  2 0

a T×m m để (C l ph m) à : ương tr×nh của một đường trßn

b T×m m để (C l m) à : đường trßn t©m (1; 3).I  Viết phương tr×nh đường trßn n y.à :

c T×m m để (C l m) à : đường trßn cã b¸n kÝnh R 5 2 Viết phương tr×nh đường trßn n y.à :

d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (C m)

II B I TÀI T ẬP.

1 T×m phương tr×nh đường trßn ( )C biết rằng :

a ( )C tiếp xóc với hai trục toạ độ v cã b¸n kÝnh à : R 3

b ( )C tiếp xóc với Ox tại (5; 0)A v cã b¸n kÝnh à : R 3

c Tiếp xóc với Oy tại (0;5) B v à : đi qua (5;2)C

2 T×m phương tr×nh đường trßn ( )C biết rằng :

a T×m (1; 5)I  v qua gà : ốc toạ độ

b Tiếp xóc với trục tung v tà : ại gốc O v cã à : R  2

c Ngoại tiếp OAB với (4; 0), (0; 2)A B  .

d Tiếp xóc với Ox tại (6; 0)A v qua à : B(9;3).

3 Cho hai đi ểm ( 1; 6), ( 5; 2)A  B  Lập phương tr×nh đường trßn ( )C , biết :

a Đường kÝnh AB

b T©m O v à : đi qua A; T ©m O v à : đi qua B

c ( )C ngoại tiếp OAB

4 Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba điểm :

a A(8;0) , (9;3) , (0;6)B C

b A(1;2) , (5; 2) , (1; 3)B C 

B B i tà : ậ p c ơng tr×nh cã dạ b ả n

1 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C cã t©m l à : điểm I(2;3) v thoà : ả m·n điều kiện sau :

a ( )C cã b¸n kÝnh R 5

b ( )C tiếp xóc với Ox

c ( )C đi qua gốc toạ độ O

d ( )C tiếp xóc với Oy

e ( )C tiếp xóc với đường th¼ng : 4x3y12 0.

2 Cho ba điểm A(1;4) , ( 7; 4) , (2; 5)B  C  .

a Lập phương tr×nh đường trßn ( )C ngoại tiếp ABC .

b T×m toạ độ t©m v tÝnh b¸n kÝnh.à :

3 Cho đường trßn ( )C đi qua điểm A( 1; 2) , ( 2;3) B  v cã t©m à : ở trªn đường thẳng

a T×m toạ độ t©m của đường trßn ( )C .

b TÝnh b¸n kÝnh R

c Viết phương tr×nh của ( )C .

4 Lập phương tr×nh đường trßn ( )C đi qua hai điểm A(1;2) , (3;4)B v tià : ếp xóc với đường thẳng : 3x y  3 0 .

5 Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau :

a A( 1;1) , (5;3) B b A( 1; 2) , (2;1)  B

6 Lập phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với c¸c trục toạ độ v à : đi qua điểm M(4; 2).

7 T×m tọa độ t©m v tÝnh b¸n kÝnh cà : ủa c¸c đường trßn sau :

a (x4)2(y 2)2 7 d x2y210x10y55

b (x 5)2(y7)2 15 e x2y28x 6y 8 0

c x2y2 6x 4y36 f x2y24x10y15 0

8 Viết phương tr×nh đường trßn đường kÝnh AB trong c¸c trường hợp sau :

a A(7; 3) , (1;7) B b A( 3; 2) , (7; 4) B 

9 Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp ABC biết : A(1;3) , (5;6) , (7;0)B C

10 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với c¸c trục toạ độ v :à :

a Đi qua A(2; 1).

b Cã t©m thuộc đường th¼ng : 3x 5y 8 0 .

11 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C tiếp xóc với trục ho nh tà : ại điểm A(6;0) v à : đi qua điểm

(9;9)

B

12 Viết phương tr×nh đường trßn ( )C đi qua hai điÓm A( 1;0) , (1; 2) B v tià : ếp xóc với đường thẳng :x y 1 0 .