chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng

chuyên đề toạ độ trong mặt phẳng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

Trang 1

LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN VI :TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG Năm học: 2000- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ , d ( hehe E )

Sytandt@gmail.com Trang1/10-LTðH-2010

Bài tập

CHUYÊN ðỀ :TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG

Sinh viên : Phan Sỹ Tân

Lớp : k16kkt3

✯✯✯ ✯✯✯

A - Hệ Thống Công Thức

❁ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

• M(x,y) ⇔OM→ =xe→1+ye→2

• Cho A( x A , y A )

B ( x B , y B )

AB→= (x B −x A , y B −y A)

) ,

(x B x A y B y A

Tọa độ trung điểm I của AB :











+

=

+

=

2

B A

y y y

x x x

Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :











−

=

−

=

k

y

k

y

k

x

k

x

B A

1

.

1

.

• Phép toán : Cho →a= (a1,a2)

b→= (b1,b2)

1







=

⇔

=→

→

2 2

1 1

b a

b

a

2) →a±b→= (a1±b1,a2 ±b2)

3 m.→a = (ma1,ma2)

4→a b→=a1b1 +a2b2

2

1 a a

→

6 →a⊥→b ⇔a1b1+a2b2 = 0

7

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

.

,

b b a a

b a b a b

a Cos

+ +

+

=











 → →

❁ ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình tham số :







+

=

+

=

t a y y

t a x x

2 0

1 0

Vectơ chỉ phương a→= (a1,a2)

Phương trình tổng quát :Ax + By + C = 0

( A 2 + B 2≠≠≠≠ 0)

Pháp vectơ n→= (A,B) Vectơ chỉ phương →a= ( −B,A) ( hay→a = (B, −A) )

• Hệ số góc

) 0 ( ≠

−

B A

K

Trang 2

d

Phương trình pháp dạng :

0

2 2 2

2 2

+

+ +

+

C y

B A

B x

B A

A

Phương trình đường thẳng qua M( x 0 , y 0) có

hệ số góc K :

)

0 K x x y

Phương trình đường thẳng qua A(x A , y A ) và

B(x B , y B ) :

(x – x A )(y B – y A ) = (y – y A )(x B – x A)

hay

A B A

A B

A

y y

y y x x

x x

−

=

−

Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) ,

B( 0,b) ( đọan chắn)

1

= +

b

y a

x

Phương trình chính tắc :

b

y y a

x

=













=

→

) , ( ),

,

(x0 y0 a a b

M

0

0 = − ⇔ − =

−

x x b

y y x x

0

0 = − ⇔ − =

−

y y y y a

x x

Phương trình đường thẳng qua A(a, 0),

B(0, b) ( đoạn chắn ) :

1

= +

b

y a

Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến

Ax + By + C = 0 :

2 2 0 0

B A

C By Ax

+

+ +

Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 d 2 :A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

2 1 2

1

B

B A

A

D=

2 1 2

1

B

B C

C

D x

−

=

2 1 2

1

C

C A

A

D y

−

=

* d 1 cắt d 2 ⇔ D ≠ 0

*







≠

=

⇔

0

0 // 2

1

x

D

D d







≠

= 0

0

y

D D

*d1 ≡d2 ⇔ D=D x = D y = 0

Chú ý : A 2 , B 2 , C 2 ≠ 0

d 1 cắt d 2

2 1 2

1

B

A A ≠

⇔

2 1 2 1 2

1 2

1 //

C

C B

B A

A d

2 1 2 1 2

1 2 1

C

C B

B A

A d

Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

Xác định bởi công thức :

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A Cos

+ +

+

=

ϕ

Phương trình đường phân giác của các góc

tạo bởi d 1 và d 2 :

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

+ +

±

= +

+

* Chú ý :

Dấu của

→

→ 2

1n n

Phương trình đường phân giác góc nhọn

Phương trình đường phân giác góc tù tạo

Trang 3

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ , d ( hehe E )

Sytandt@gmail.com Trang3/10-LTðH-2010

Bài tập

tạo bởi d 1 , d 2 bởi d 1 , d 2

❁ ĐƯỜNG TRÒN :

Định nghĩa : M ∈ (c) ⇔ OM = R

Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán

kính R :

Dạng 1 : (x−a) 2 + (y−b) 2 =R2

Dạng 2 : 2 2

x +y − ax− by+ =c

0

R =a +b − ≥c

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(

x 0 , y 0 ) (x 0 – a).(x – a) + (y 0 – b).(y – b) = R 2 ( Dạng 1)

x 0 x + y 0 y – a(x 0 + x) – b(y 0 + y) + c = 0( Dạng 2)

B - Dạng + Bài Tập

Bài 1: Một hình thoi cĩ một đường chéo cĩ phương trình: x+2y-7=0, một cạnh cĩ phương

trình: x+3y-3=0 Một đỉnh là (0;1) Viết phương trình 3 cạnh và đường chéo thứ 2 của hình

thoi.

Giải:

Giả sử A(0;1) và tọa độ B là nghiệm của hệ PT: 3 3 0 (15; 4)

x y

B

x y







Gọi C(a;b) ta cĩ tâm ( ; 1) à ( 15; 5)

a b

O + v D a b

; 1 30; 9 ( 30) ( 1)( 9) 0(1)

AC a b

AC BD





⊥



Thế (2) vào (1) ta cĩ: b=-9 hay b=5

-9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10)

: ( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0 (2; 4) (2; 1) : 2 ( 1) 0 2 1 0 ( 13;9) (9;13)

: 9 13( 1) 0 : 9( 2) 1

AC

Do n n CD x y hay x y

AD x y

BC x

⇒

− +

: 9 13 13 0 3( 5) 0 : 9 13 83 0

AD x y

⇒

Trang 4

LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠ ðỘ TRONG KHÔNG GIAN Năm học: 2000- 2011

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 ñiểm M(1;4) và N(6;2) Lập phương trình ñường thẳng qua N sao cho khoảng cách từ M tới ñó bằng 2.

Giải:

• Xét trường hợp ñường thẳng cần tìm song song với trục tung là:

( )

• Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm có dạng: ∆' : y=k x( −6)+ 2

1 0

2 ' :

20

20 21 162 0 21

kx y k

kx y k d M

k k

y

x y k

− + −

+

=



=







Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm M(3;1) Viết phương trình ñường thẳng qua M và cắt 2 trục tọa ñộ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA+OB ñạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm là:

2 2 2

1 : ; 0 à 0;

3 1

1

3 1

( 3 1)

0

x y

Voi A a v B b

a b

OA OB a b a b a b

a b a

b

ab

PT

+ =

 + =



⇒ 





=



 ≥



Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC với A(1;2), ñường trung tuyến BM và ñường phân giác trong CD có phương trình lần lượt là: 2x+y+1=0 và x+y-1=0 Viết phương trình ñường thẳng BC.

Giải:

Trang 5

LUYỆN THI ðẠI HỌC - PHẦN V :TOẠ ðỘ TRONG KHƠNG GIAN Năm học: 2000- 2011

Cách học tốt mơn Tốn là phải làm nhiều , bên cạnh đĩ ( hehe ☺ )

Sytan1992@gmail.com Trang5/12-LTðH-2010

Bài tập

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua CD và AA’ cắt CD ở I ta cĩ: A’ thuộc BC

Ta cĩ: uCD =nAA ' =(1; 1)− ⇒AA ' :x− −1 (y−2)=0 hay x− + =y 1 0

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

1 0

x y

I A Goi C a b Do C CD a b

x y

− + =



 + − =

Mà trung điểmM của AC cĩ tọa độ là:

( 1; 1) 2 1 1 1 0 2 6 0

∈ ⇒ + + = ⇒ + + = Tọa độ C là nghiệm của hệ PT:

1 0

BC

a b

+ − =



 + + =



Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho đường thẳng d cĩ phương trình: 2x+3y+1=0 và điểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M tạo với d một gĩc 450

Giải:

Xét đường thẳng cần tìm song song với trục tung là:

: 1 0 (1; 0) ( ; )

13 2

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là:

2

1

5 4 0

2

x y

∆



− + =

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(1;0) và 2 đường thẳng lần lượt chứa đường cao kẽ từ B và C cĩ phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0 Tính diện tích tam giác ABC

Ta cĩ:

uCK =nAB =(1; 3)− ⇒ AB x: −3y− =1 0

Trang 6

Tọa ñộ B là nghiệm của hệ:

( )

3 1 0

( 5; 2)

2 1 0

à : BH AC 2;1 2( 1) 0 2 2 0

B

− − =



⇒ − −



− + =



Và tọa ñộ C là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

x y

y

+ − =



 + + =



Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC =

900 Biết M(1;-1) là trung ñiểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa ñộ các ñỉnh ABC.

Gọi

( )

0 0

2

; 3 1

3 2





( )( )

; 2

2 ; 4 ( ; ) (2 ; 2 )

2 2 ; 2 2 (1; 3)

(2 ) 2 4 0 0 (4; 0); ( 2; 2)

ì :

2 ( 2; 2); (4;0)

2 2 3(2 2 ) 0

AB a b

Goi B a b C a b

AM

V



 = − − −



⇒ − − − ⇒ 

= − − −



= −



− + − − − =



Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân ñỉnh A Có

trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình ñường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình

Trang 7

Bài tập

đường thẳng BG là: 7x-4y-8=0 Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C

Hồng độ giao điểm B là nghiệm của hệ PT: 7 4 8 0 (0; 2)

x y

B

x y







Do C thuộc BC nên: 4 − −a 2(3 −b) 4 − = ⇔ − 0 a 2b= − 6

Nhưng do tam giác ABC cân nên:

( )

;

2;1

BC

u

= − − 





Tọa độ A là nghiệm của hệ PT:

2 6 0

(0;3) (4; 0)

− + =



 + − =



Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật cĩ tâm I(1/2;0) Phương trình

đường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D Biết

rằng A cĩ hồnh độ âm

• Phương trình đường thẳng qua I vuơng gĩc với AB là d:2x+y-1=0

• Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ:

x y

+ − =







Gọi A(a;b) với a<0 ta cĩ: AM = a2 +(b−1)2 = 5

Do A thuộc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1)

(2; 2) (3; 0) ( 1; 2)

B C D

= ⇒ = −







⇒ 



Trang 8

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) và ñường thẳng d: x-2y+2=0 Tìm

trên d hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC

Phương trình ñường thẳng ñi qua A vuông góc với d là: 2x+y-2=0

Tọa ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ phương trình:

( ; )

x y

B

x y

+ − =



⇒





Ta có: ( ) 2

5

d A→d =

Gọi C(a;b) là ñiểm trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và:

d A d BC a  b 

→ = = −  + −  =

Từ (1) và (2) ta có: C(0;1) hoặc C(4/5;7/5)

Bài 11:Cho ∆ABC có A(5;3); B( 1; 2);− C( 4;5)− viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và chia tam giác ABC thành 2 phần có tỉ số diện tích bằng nhau

Giải:

Gọi M(a;b) , ta có: ( )

3;3

BC





= −



Do

1 1 1

2 1 ( 2;3) ( 7; 0) 3

2 1 2 ( 3; 4) ( 8;1)

: 3 0 : 8 29 0

x

M

y

d y

  + = −

=

   − =  −  = −

− + = −

   − =

− =



⇒ 

+ − =



Bài 12:Cho tam giác ABC nhọn, viết phương trình ñường thẳng chứa cạnh AC Biết tọa ñộ chân các ñường cao hạ từ A,B,C lần lượt là: A’(-1;-2) , B’(2;2), C(-1;2)

Giải:

Trang 9

Bài tập

Sử dụng các tứ giác nội tiếp ta hồn tồn chứng minh được AA’, BB’, CC’ lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác A’B’C’

Ta cĩ:

1 1 1 1 1

1 1 2 1 1

( 3; 0) (0;1) : 2 0

( 3; 4) (4; 3) : 4( 2) 3( 2) 0 : 4 3 2 0







Bài 13: Cho hình vuơng ABCD cĩ đỉnh A(3;0) và C(-4;1) đối diện Tìm tọa độ các đỉnh cịn lại?

Giải:

Tọa độ trung điểm I của AC là: 1 1; ( 7;1) (7; 1)

2

1 2

2

0 (0; 4)

50

AC

Bài 14: (ðề TSðH khối D-2003)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) và đường thẳng d cĩ phương trình:

( ) (2 )2

( ) : C x − 1 + y − 1 = 4; d x : − − = y 1 0

Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với (C) qua d

Giải:

(C) cĩ tâm I(1;1) và R=2

(C’) đối xứng với (C) qua d thì tâm I’ của (C’) cũng đối xứng với I qua d và R=R’=2

Phương trình đường thẳng qua I vuơng gĩc với d là: ∆ :x+ − =y 2 0

0

x y

+ − =



− − =



Trang 10

Bài 15: Cho tam giác ABC với A(8;0), B(0;6) và C(9;3)

Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Trung ñiểm của AB là: M(4;3) àv AB = −( 8; 6)↑↑(4; 3− )

Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:

4(x−4) 3(− y−3) = ⇔0 4x−3y− = 7 0

Trung ñiểm của BC là: ( ; ) à9 9 (9; 3) (3; 1)

2 2

N v BC = − ↑↑ −

Ta có phương trình ñường trung trực của BC là:

x − − y − = ⇔ x − − = y

Vậy tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp là nghiệm của hệ:

x y





− − =



Bài 16: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho ñường thẳng d: 2x-y-5=0 và 2 ñiểm A(1;2), B(4;1) Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d và ñi qua A,B

Giải:

Tâm O sẽ là giao ñiểm của ñường trung trực của AB và d

Trung ñiểm của AB là: ( ; ),5 3 (3; 1)

2 2

M AB= −

Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:

x− − y− = ⇔ x− − =y

Vậy tọa ñộ tâm O là nghiệm của hệ:

(1; 3)

x y

O

x y

− − =





− − =

Bán kính: R=5 nên ta có: ( ) (2 )2

( ) :C x−1 + y+3 = 25

Bài 17: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng d: 4x+3y-43=0 và ñiểm A(7;5) trên d Viết

Trang 11

Bài tập

: 2 x 5 y 4 0

Ta cĩ:

0





Bài 18: Trên mặt phẳng Oxyz cho 2 đường thẳng:

d1:3x+4y-47=0 và d2:4x+3y-45=0 Lập phương trình đường trịn cĩ tâm nằm trên đường thẳng d: 5x+3y-22=0

Và tiếp xúc với cả d1 và d2

Giải:

Các phương trình đường phân giác tạo bởi d1 và d2 là:

1

2 2 2 2

2

2 2

1 1

2

5x 3y 22 0

20

à

7

x y

v R

− + =





=

2 2 2

( ) :

Bài 19 :Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(−−−−2, 0) biết phương trình các cạnh

AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2 x + y − 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Giải:

Tọa độ A là nghiệm của hệ {4x y 14 0 {x 4

2x 5y 2 0+ ++ − == ⇔ y 2= −= ⇒ A(–4, 2)

Trang 12

Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên







−

= +

−

= +

⇔







+ +

=

+ +

=

2 y y

2 x x y

y y

y

x x x

x

C B

C B C

B A

G

C B A

G

(1)

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)

C(xC, yC) ∈ AC ⇔

5

2 5

x 2

C = − + ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có







=

⇒

=

−

=

⇒

−

=

⇒









−

= +

−

=

+

0 y 1 x

2 y 3 x 2 5

2 5

x 14

x

2

x

C C

B B

C B

C

B

Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;4) N(6;2) Lập phương trình... data-page="8">

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) ñường thẳng d: x-2y+2=0... 2

d

Phương

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	241,79 KB