Cực trị trong mặt phẳng

Tìm điểm M trên d sao cho max MA MB− Phương pháp... Tìm M trên d sao cho min n.MA +m.MB Phương pháp.. - Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số.. Tìm M trên d sao cho min n.MA m.

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẶT PHẲNG

Dạng 1 Cho điểm A và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho MAmin

Phương pháp

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d)

- ∀ ∈M (d) : MA MH.≥

- ⇒MAmin =MH khi M là hình chiếu vuông góc của A trên (d)

Ví dụ 1 Cho đường thẳng (d): x – 3y + 2 = 0 Tìm M trên (d) sao cho MAmin

a A( 1; 2) b A(2; 4) c A(0; 1)

HD.

Dạng 2 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho MA+MBmin

Phương pháp

TH1 A, B nằm khác phía so với (d).

- Gọi I (d) (AB)= ∩ ⇒I nằm giữa A và B.

- ∀ ∈M (d) : MA MB AB IA IB.+ ≥ = +

- ⇒MA MB+ min =AB⇔M I.≡

TH2 A, B nằm khác phía so với (d).

- Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d)

- ∀ ∈M (d) : MA MB MA+ ≥ 1+MB ( A1, B khác phía)

- ⇒MA MB+ min =MA1 +MBmin =A B1 ⇔M (d) (A B).≡ ∪ 1

Ví dụ 2 Cho đường thẳng (d): x – 2y + 1 = 0 Tìm M trên (d) sao cho MA+MBmin

a A(1; 2), B(2; 0)

b A( 1; 2), B(2; 4)

HD.

a M (d) (AB)= ∩ =

b A1 là điểm đối xứng với A qua (d)

M (d) (A B)= ∩ 1 =

Ví dụ 3 Cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 1 = 0 Tìm M trên (d) sao cho MA+MBmin

a A(1; 2), B(2; 0)

b A( 1; 2), B(2; 4)

HD.

Dạng 3 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho

max

MA MB−

Phương pháp

TH1 A, B nằm cùng phía so với (d).

- Gọi I (d) (AB)= ∩ ⇒| IA IB | AB.− =

- ∀ ∈M (d) :| MA MB | AB− ≤

- ⇒| MA MB |− max=AB⇔M I.≡

TH2 A, B nằm khác phía so với (d).

- Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d)

- ∀ ∈M (d) :| MA MB | | MA− = 1−MB | ( A1, B cùng phía)

- ⇒| MA MB |− max=A B1 ⇔M (d) (A B).≡ ∩ 1

Ví dụ 4 Cho đường thẳng (d): x – 2y - 2 = 0 Tìm M trên (d) sao cho |MA-MB|min

a A(1; 2), B(2; 0)

b A( 1; 2), B(2; 4)

HD.

Ví dụ 5 Cho đường thẳng (d): x – 2y + 1 = 0 Tìm M trên (d) sao cho MA+MBmin

a A(1; 2), B(2; 0)

b A( 1; 2), B(2; 4)

HD.

Dạng 4 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm M trên (d) sao cho

min

n.MA +m.MB

Phương pháp

- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số

- Đặt tọa độ M trên (d) phụ thuộc ytham số t

- Tính biều thức: n.MA2 +m.MB2 =f (t) là một tam thức bậc 2 với hệ số a > 0

- Đánh giá f(t) để tìm GTNN

Ví dụ 6 Cho A(0;2), B(1; 0), C(2; -1) và đ/thẳng (d): 2x - y + 3= 0 Tìm M trên (d) sao

cho:

min

MA +2.MB

b 2.MA2 −m.MB2 min

min

MA +MB +MC

HD.

Dạng 5 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm M trên (d) sao cho

min

n.MA m.MBuuuur+ uuur

Phương pháp

- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số

- Đặt tọa độ M trên (d) phụ thuộc ytham số t

- Tính biều thức:

min

n.MA m.MBuuuur+ uuur =f (t)là một tam thức bậc 2 với hệ số a > 0

- Đánh giá f(t) để tìm GTNN

Ví dụ 7 Cho A(0;2), B(1; 0), C(2; -1) và đ/thẳng (d): 2x + y + 3= 0 Tìm M trên (d) sao

cho:

a

min

MA 2.MB−

uuuur uuur

b

min

2.MA MB 3MCuuuur uuur+ − uuur

HD.

Dạng 6 Cho đường tròn (C) : (x a)− 2 + −(y b)2 =R 2

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho Ax + By + C đạt GTLN, GTNN ?

Phương pháp Áp dụng BĐT Bunhia.

- Ta có: Ax By C A(x a) B(y b) (C aA bB)+ + = − + − + − −

- BĐT: [A(x a) B(y b)]− + − 2 ≤(A2 +B )[(x a)2 − 2 + −(y b) ] (A2 = 2 +B ).R2 2

- ⇒ −R A2 +B2 ≤A(x a) B(y b) R A− + − ≤ 2 +B2

- ⇒ −C aA bB R A− − 2 +B2 ≤Ax By C C aA bB R A+ + ≤ − − + 2 +B2

Ví dụ 8 Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2 + +(y 2)2 =4 Tìm M( x, y) trên (C) sao cho:

a x + y đạt GTLN, GTNN

b x – 2y + 1 đạt GTLN, GTNN

HD.

Ví dụ 9 Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2 + +(y 2)2 =4

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN:

a (d): x – y + 1= 0 b (d): 2x + y – 1= 0

HD.

Dạng 7 Cho đường tròn (C) : (x a)− 2 + −(y b)2 =R 2

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho x2 +y2 đạt GTLN, GTNN ?

Phương pháp.

- Có:

P x= +y = −(x a) + −(y b) +2(ax by) (a+ − +b ) R≤ −(a +b ) 2 (a+ +b ).P

P x= 2 +y2 = −(x a)2 + −(y b)2 +2(ax by) (a+ − 2 +b ) R2 ≥ 2 −(a2+b ) 2 (a2 − 2 +b ).P2

- Đánh giá để tìm GTLN, GTNN của P

Ví dụ 10 Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2 + −(y 2)2 =4

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho x2 +y2 đạt GTLN, GTNN ?

HD.

Dạng 8 Cho đường tròn (C) : (x a)− 2 + −(y b)2 =R2 và điểm M nằm bên trong đường tròn

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và Cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho:

1 AB ngắn nhất

2 d(I, (d)) lớn nhất

Phương pháp.

Gọi H la hình chiếu vuông góc của tâm I trên (d), khi đó: d(I, (d)) = OH ≤ AB

min max

AB 2.AH 2 R= = −IH ⇒AB ⇔IH =IM Vậy cả hai trường hợp đều xảy ra khi và chie khi M là hình chiếu vuông góc của I trên (d)

Ví dụ 11 Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2 + −(y 2)2 =4 và điểm M( 2; 3)

1 CMR đường thẳng (d) bất kỳ đi qua M luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

2 Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho AB ngắn nhất

3 Viết phương trình (d) sao cho d(I, (d)) lớn nhất

HD

Ví dụ 12 Cho đường tròn (C) : (x 1)− 2 + +(y 2)2 =9 và điểm M( 3; -1)

1 CMR đường thẳng (d) bất kỳ đi qua M luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

2 Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho AB ngắn nhất

3 Viết phương trình (d) sao cho d(I, (d)) lớn nhất

HD.

Dạng 9 Cho điểm M(x ; y ) O(0;0); x , y0 0 ≠ 0 0 >0 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt Ox, Oy tại A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:

1 Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất 2 OA + OB ngắn nhất

3 d(M; (d1)) nhỏ nhất 4 1 2 1 2

OA + OB nhỏ nhất

a + = ⇒b a + b =

1 S(OAB) 1ab

2

0 0

2 Từ (1) ta thế a theo b Khảo sat hàm theo biến b, từ đó tìm GTNN

3 Ta có d(M,(d )) OM1 ≥ ⇒d(M,(d )) OM1 = khi M là hình chiếu vuông góc của O trên (d1)

⇒OMuuuur là vtpt của đt(d1)

0 0

0 0

+

Ví dụ 13 Cho điểm M( 1; 9) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt Ox, Oy

tại

A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:

1 Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất 2 OA + OB ngắn nhất

3 d(M; (d1)) nhỏ nhất 4 1 2 1 2

OA + OB nhỏ nhất

HD.

Ví dụ 14 Cho điểm M( 4; 9) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt Ox, Oy

tại

A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:

1 Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất 2 OA + OB ngắn nhất

3 d(M; (d1)) nhỏ nhất 4 1 2 1 2

OA + OB nhỏ nhất

HD

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv.