Chuyen de toa do trong mat phang-Lop 10- hay

Chú ý:Trong tam giác ABC : a Trọng tâm G là giao điểm của 3 đờng trung tuyến của tam giác b Trực tâm H là giao điểm của 3 đờng cao của tam giác c Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.

Chuyên đề 0 : Véc tơ v t à ọa độ véc tơ.

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A x y B x y C x y ( ; ); ( ; ); ( ; )A A B B C C Khi đó:

d Ba điểm A B C, , thẳng hàng ⇔uuur uuurAB AC, cùng phương

Chú ý:Trong tam giác ABC :

a) Trọng tâm G là giao điểm của 3 đờng trung tuyến của tam giác

b) Trực tâm H là giao điểm của 3 đờng cao của tam giác

c) Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đờng trung trực

d) Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đờng phân giác của các góc.+) Trung tuyến AM: ĐI qua đỉnh A và trung điểm M của cạnh đối diện BC

+) đờng cao AH : ĐI qua đỉnh A và vuông góc với cạnh đối diện BC

+) đờng trung trực của cạnh BC: Vuông góc với BC tại trung điểm của BC( đờng trung trực của BC có thể không đI qua A)

+) đờng phân giác của góc ABC: chia góc ABC thành 2 góc bằng nhau

( xem lại các kiến thức cũ đã học về tính chất của các đờng này-SGK toán 7)

a Chứng minh A B C, , thẳng hàng ( hay uuur uuurAB AC, cùng phương)

b Tìm toạ độ D sao cho A là trung điểm của BD

c Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho A B E, , thẳng hàng

Chúý: Nếu véc tơ u rlà vtcp của∆ thì mọi véc tơ k.u r (với k#0) cũng là vtcp của ∆

Nếu ∆ có vtcp là ur= (u1;u2) với u1#0 thì ∆ có hệ số góc là K= 2

1

u u

Nếu đờng thẳng ∆ có hệ số góc k thì có vtcp là u r = ( k 1 ; )

2.Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ chỉ

ph-ơng ur= (u1;u2) Khi đó phơng trình tham số của ∆ là :

t u x x

2 0

1 0

(1) ( t∈R.)

3) Véc tơ pháp tuyến:

Đn: Véc tơ nr đợc gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng thẳng ∆ nếunr≠0r

và nr vuông góc với véc tơ chỉ phơng của ∆

4 Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ pháp tuyến nr=( b a; ) Khi đó phơng trình tổng quát của ∆ đợc xác định bởi phơng trình :

0)(

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

bt x x

0

0

( t R∈ ).

a3 Có thể chuyển từ PTTS sang PTTQ bằng cách khử tham số

Chuyển từ PTTQ sang PTTS bằng cách đặt x(hoặc y) theo tham số

5.Bổ sung một số dạng bài tập. -Các bài toán trong tam giác.

*Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A,biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại BM,CN.Hãy viết pt các cạnh,tìm toạ độ B,C

Phơng pháp: -(Bài toán thứ nhất trong tam giác.)

b1:Tìm toạ độ trọng tâm G(xG;yG) của ABC

b2:Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB); C(xC;yC) theo ptrình BM,CN b3:Tìm toạ độ của B,C:áp dụng cthức:

3

A B C G

x x x

x = + + ;

3

A B C G

-AB vuông góc với CK

Lập pt cạnh AC: -ĐI qua A

-AC vuông góc với BH

Theo bài, đờng thẳng AB đI qua A(1;2) và vuông góc với CK:2x+y-2=0

Vậy AB có pttq là: 1.(x-1)-2.(y-2)=0 hay AB : x-2y+3=0

Tơng tự, AC đI qua A(1;2) và vuông góc với BH : x+y+1=0

Vậy AC có pttq là: 1.(x-1)-1.(y-2)=0 hay AC : x-y+1=0

Do đó, toạ độ điểm B là nghiệm hệ ptrình:

5 x-2y+3=0 3x+y+1=0 2

3

x y

3

x y

*Dạng 3:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đờng cao BH,trung tuyến CK.Lập pt các cạnh

Phơng pháp: -( Bài toán thứ ba trong tam giác)

b1:lập đợc ngay pt cạnh AC đI qua A và vuông góc với BH.Từ đó tìm đợc C b2:Tham số hoá toạ độ B(xB;yB); K(xK;yK) theo phơng trình BH,CK

Tìm toạ độ B nhờ: 2

2

A B K

A B K

x x x

y y y

Theo bài,AC đI qua A(4;-1) và vuông góc với (BH) : 2x− 3y= 0 nên AC:3x+2y-10=0

Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:

3x+2y-10=0 6

2x+3y=0 4

x y

3x K).Theo bài , vì K là trung điểm của AB nên:

K

K B

K B B

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

*Dạng 4:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,ACvà biết trọng tâm G.Lập ptcạnh còn lại

Phơng pháp: ( Bài toán thứ t trong tam giác)

( Trọng tâm là giao 3 đờng trung tuyến của tam giác)

b1:tìm đợc ngay toạ độ điểm A

Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : uuurAG= 2.GMuuuur

b2:Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB); C(xC;yC) theo phơng trình AB,AC

b3:Tìm toạ độ của B.C nhờ: 2

2

B C M

B C M

x x x

y y y

*Dạng 5:Tam giác ABc,biết hai cạnh AB,AC và trực tâm H.Lập pttq của BC

Phơng pháp: -( Bài toán thứ năm trong tam giác )

((Trực tâm là giao của 3 đờng cao của tam giác)

b1:tìm toạ độ điểm A b2: Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB) theo ABb3:Tìm toạ độ của B:

Vì H là trực tâm nên HBuuur là VTPT của AC.Vậy uuurHB.uuuurAC =0b4:Phơng trình cạnh BC : Qua B

Có HAuuur là véc tơ pháp tuyến

ví dụ 5:Tam giác ABC biết AB:5x-2y+6=0 và AC: 4x+7y-21=0 và H(0;0) là trực tâm của tam giác.Lập pt cạnh BC

LG: Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt: 5 2 6 0 0

Tơng tự,uuurHA là VTPT của BC Vậy PTTQ của BC là:

0.(x+4)-3.(y+7)=0 hay : -3(y+7)=0 hay y+7=0

*Dạng 6:Tam giác ABC,biết hai cạnh AB,AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam

giác.Lập pt cạnh BC

Phơng pháp: -( Bài toán thứ sáu trong tam giác)

( Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đờng trung trực của 3 cạnh ).

b1:Tìm ngay đợc toạ độ của A

Gọi M là trung điểm cạnh AB.Vì I là trực tâm nên IM vuông góc với AB.⇒M

Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB

b2:Gọi N là trung điểm của AC.Vì I là trực tâm nên IN ⊥ AC.⇒N

Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC

b3:Lập pttq của BC khi biết B,C

ví dụ 6:tam giác ABc,biết AB:x+y-1=0 ; AC: 2x-y-2=0 và I(1;1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác.Lập pttq của BC

LG: theo bài có A(1;0)

Gọi M(xM;yM) là trung điểm của AB.Ta có xM+yM-1=0 vây M(xM;1-xM)

Vì IM vuông góc với AB nên IMuuur.uuuurAB=0

Hay: (xM-1).(-1)+(-xM).1=0 hay xM=1/2.Vậy M(1/2;1/2)

Tơng tự,trung điểm N(xN;2xN-2) của AC có toạ độ thoả mãn INuur.uuuurAC =0 N(7/5;9/5)

Mặt khác,vì M là trung điểm của AB nên suy ra B(0;1)

Tơng tự , vì N là trung điểm cuủa AC nên suy ra C(9/5;18/5)

Vây pttq của BC là :………

*Dạng 7:Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đờng thẳng ∆

PP: b1: Lập pt của d qua M và d vuông góc với ∆

b2:Gọi I là giao điểm của d với ∆.Tìm đợc i

b3:Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua ∆.Khi đó I là trung điểm của MM’

M M I

x x x

y y y

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

gọi d là đờng thẳng qua M và vuông góc với ∆.Ta có nuur uurd =u∆ = (3; 1) −

vậy pttq của d: 3.(x+1)-1.(y-3)=0 hay 3x-y+6=0

gọi I là giao điểm của d với ∆.Ta có toạ độ của I là nghiệm của hệ ptrình:

x+3y+2=0 2 3x-y+6=0 0

x y

M M I

x x x

y y y

B i 1 à Viết phương trình tổng quát hoặc PT tham số của đởng thẳng:

a) Đi qua hai điểm M(1;-1) v N(3;2) à

b) Đi qua A(1;-2) v song song và ới đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0

c) Đi qua điểm P(2;1) v vuông góc và ới đường thẳng x – y + 5 = 0

d) Đi qua A(1;1) và có hệ số góc k= 2

B i 2 à Cho tam giác ABC ,A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết PT tổng quát :

a)các cạnh AB, AC, BC

b)Đờng cao AH và Trung tuyến AM

c)Đờng thẳng qua A và song song với BC

d)Đờng trung trực của AC

e)Đờng trung bình của tam giác song song với cạnh BC

Bài 3.Cho hình chữ nhật ABCD biết: A(1,3) ,B(2;-1)

và cạnh DC có ptrình: 2x+y-2=0

a) lập pt các cạnh AB,BC,AD

b) Tìm toạ độ của C,D

Bài 4:Xem lại các ví dụ Làm các bài tơng tự

Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

1.Cách 1:

Xét hệ phơng trình 1 1 1

0 0

+) Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau

+) Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi (x y; ) thì hai đờng thẳng trùng nhau

b =b =c thì hai đờng thẳng trùng nhau.

Chú ý :Nếu bài không quan tâm đến toạ độ giao điểm thì nên dùng cách 2

b Các dạng bài tập cơ bản.

Dạng 1 Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt nhau:

a) ∆1: x y + − = 2 0; ∆2: 2 x y + − = 3 0

1 4 : 2 4 10 0; : ( )

Dạng 2 Biện luận theo tham số vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng

∆ − + + − = ∆ − + + − =

Tìm m để hai đờng thẳng cắt nhau

Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng

1 :mx y 1 m 0; 2 : x my 2 0

Biện luận theo m vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.

A tóm tắt lí thuyết.

1.Định nghĩa:- hai đờng thẳng ∆ ∆ 1 ; 2 cắt nhau tạo thành 4 góc.Nếu ∆1 và ∆1

không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong 4 góc đó đợc gọi là góc giữa hai ờng thẳng ∆ 1 và ∆1, kí hiệu là: (∆ ∆ 1 , 2) .Nếu ∆1 ⊥ ∆2 thì góc giữa ∆ 1

đ-và ∆ 1 là 900

Nếu ∆ ∆ 1 // 2 hoặc ∆ 1 ≡ ∆ 2 thì ta quy ớc (∆ ∆ = 1 , 2) 0o

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

Nhận xét: 00 ≤ (∆ ∆ 1 , 2) ≤ 900

2.Công thức xác định góc giữa hai đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử đờng thẳng ∆ ∆ 1 ; 2 có phơng trình

( ) ( )

* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ

ph-ơng( hoặc véc tơ pháp tuyến ) của chúng

b Các dạng bài tập.

Dạng 1 Xác định góc giữa hai đờng thẳng.

Ví dụ1: Xác định góc giữa hai đờng thẳng trong các trờng hợp sau:

( 3) ( 1) 1

m cos

đ-Ví dụ 1: Cho ∆ABC cân đỉnh A Biết ( )AB x y: + + = 1 0; BC( ): 2x− 3y− = 5 0

Viết phơng trình cạnh AC biết nó đi qua M( )1;1

Lời giải:

Giả sử AC qua M(1;1) và có véc tơ pháp tuyến là: nr=(a;b), đk:a2 +b2 ≠ 0(*)

Khi đó pt AC: a(x-1)+b(y-1)=0 hay : ax+by-a-b=0

Theo bài,tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B=C hay:

1.2 1.( 3) 2 ( 3). 1 2 3 ( , ) ( , )

⇔ − + = chọn a=1 suy ra b=1 hoặc b=7/17

Với a=1,b=1 ta có AC: x+y-2=0 ( loại vì AC//AB)

Với a=1,b=7/17 ta có: AC: x+7/17y-24/17=0 thoả mãn

Kết luận : AC: x+7/17y-24/17=0

ví dụ 2*: Cho ∆ABCđều, biết: A( )2;6 và BC( ) : 3x− 3y+ = 6 0

Viết phơng trình các cạnh còn lại

Lời giải:

Giả sử AB qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: nr=(a;b), đk:a2 +b2 ≠ 0(*)

Khi đó pt AB: a(x-2)+b(y-6)=0 hay : ax+by-2a-6b=0

Giả sử AC qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: nr=(c;d), đk:c2 +d2 # 0(**)

Từ hệ trên,ta tìm a,b thoả mãn (*).Tìm c,d thoả mãn (**)

Từ pt (1’) chọn b=0 suy ra a=1.Thế vào pt (3’) ta đợc 3c2-d2=0.Từ pt này chọn d=

3 suy ra c2=1.Thế d vào pt (2’) suy ra c=1

Vậy có a=1,b=0,c=1,d= 3

Kết luận: AB: x-2=0 AC: x+ 3y-2-6 3=0

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết A(− − 3; 2) và ( )BD : 7x y+ − 27 0 = .

Viết phơng trình các cạnh và các đờng chéo còn lại

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

Lời giải

+)PT đờng chéo AC

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥BD.Vậy uuurAC ⊥BDuuur⇒uuuur uuurAC =n BD = (7;1) ⇒nuuurAC = − (1; 7)

Vậy pttq của AC: x-7y-11=0

Giả sử B(xB;yB),vì B thuộc BD nên: 7xB+yB-27=0 ⇔ yB=27-7xB.Hay B(xB;27-7xB)

Mà ABCD là hình vuông nên AB⊥CB.⇔ uuur uuurAB CB. =0

(x B 3).(x B 11) (29 x B).(27 x B) 0

⇔ + − + − − = ⇔x2B − 8x B+ = 15 0

5 3

ví dụ 4: Cho hình vuông tâm I( )2;3 và (AB):x− 2y− = 1 0

Viết phơng trình các cạnh còn lại , các đờng chéo

Lời giải

+)phơng trình cạnh DC:

Vì ABCD là hình vuông nên AB song song với DC.suy ra nuuur uuurDC =n AB = − (1; 2)

Vậy DC: x-2y+c=0 ( điều kiện c≠-1)

a a

Toạ độ của A là nghiệm hệ: 2 1 0 5

Ví dụ 5: Cho đờng thẳng d: 3x− 2y+ = 1 0 và M( )1; 2

Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o

Lời giải

Giả sử ∆ đI qua M và có vtpt là: nr=(a;b), đk:a2 +b2 ≠ 0(*) Ta có ∆: ax+by-a-2b=0

Theo bài,∆ tạo với d một góc 450 nên:

0

3 ( 2 ) 2 3 2 45

B: Các chú ý liên quan: (Bổ sung)

Chú ý 1: Nếu đờng thẳng ∆: ax+by+c=0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là ∆,ta luôn có:

-Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M1(x1;y1) thoả mãn

ax1+by1+c>0-Một nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M2(x2;y2) thoả mãn

ax2+by2+c<0Chú ý 2:Cho hai đờng thẳng cắt nhau ∆ 1,∆ 2 có phơng trình :

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

v

í dụ 1 :a) Tính khoảng cách từ điểm A(3;5) đến đờng thẳng ∆: 4x+3y+1=0

b)Tính bán kính đờng tròn (C) biết nó có tâm I(1;2) và tiếp xúc với

5 25

v í dụ 2 :Cho đờng thẳng ∆: x-y+2=0 và 4 điểm 0(0;0) ; A(2;0);C(-1,3) ;D(-3;2)

a)Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng∆

b)CMR:A và C và nằm về hai phía đối với đờng thẳng ∆

c)CMR: hai điểm C và D nằm về cùng một phía đối với đờng thẳng ∆

d)Tìm điểm O’ đối xứng của O qua ∆

lời giải

a)thay toạ độ của điểm O và A vào vế trái của ∆ ta có:

∆(O)=0-0+2=2>0

∆(A)=2-0+2=4>0Vậy ∆(0).∆(A)=2.4=8>0 vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đ-ờng thẳng∆

d)Tìm điểm O’ đối xứng của O qua ∆: Tự làm

* v í dụ 5 :Cho tam giác ABC có A(-6;-3); B(-4;3) ; C(9;2)

viết phơng trình đờng thẳng d chứa đờng phân giác trong của góc A của tam giác ABC

Vậy hai điểm B và C nằm về hai phía đối ∆ 2

Kết luận: Phơng trình đờng phân giác trong của góc A là : x+y-3=0

D Các dạng bài toán trong tam giác -Tiếp

*Dạng 8:Tam giác ABC biết đỉnh A,hai đờng phân giác trong của góc B và góc

C.Lập phơng trình các cạnh

Phơng pháp: ( Bài toán thứ 7 trong tam giác)

+)b1:Tìm điểm A1 là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc B.suy ra A1 thuộc đờng thẳng BC

+)b2:Tìm điểm A2 là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C.suy ra A2 thuộc BC

+)b3:Lập pt đờng thẳng BC: khi biết B,C

+)b4: Lập pt cạnh AC,AB:

v í dụ8 :Tam giác ABC biết A(2;-1) và pt hai đờng phân giác trong của góc B và góc

C lần lợt là:

(dB ) : x-2y+1=0(dC ) : 2 x-3y+6=0 Lập phơng trình các cạnh của tam giác

Lời giải

Gọi A1là điểm đối xứng của A qua (dB ) : x-2y+1=0.do A A1 vuông góc với dB

nên AA1 có ptrình: 2x+y-3=0.Khi đó giao điểm của dB và A A1 là I(1;1) là trung

điểm của A A1 Từ đó suy ra A1(0;3)

Goi A2 làđiểm đối xứng của A qua (dC ) : 2 x-3y+5=0.Suy ra A A2 : 3x+2y-4=0

Khi đó toạ độ của A2(0;2)

Khi đó A1và A2 thuộc BC

Hình học 10: Ban cơ bản Giáo viên: Đặng Thái Sơn

Vậy pt cạnh BC: (A1A2) là : x=0

Suy ra Toạ độ B là giao điểm của BC và dB Vậy B(0;1/2).Tơng tự C(0;5/3)+)Phơng trình AB,AC :

*Dạng 9::Tam giác ABC biết A,đờng cao BH,đờng phân giác trong của góc C.Lập

phơng trình các cạnh cuả tam giác

Ph

ơng pháp: ( Bài toán thứ 8 trong tam giác)

+) b1:Lập pt cạnh AC : vuông góc với BH và đi qua A.suy ra toạ độ điểm C+) b2: Tìm điểm đối xứng A’ của A qua đờng phân giác trong của góc C Suy ra A’ thuộc BC

+) b3: Lập pt cạnh BC đi qua 2 điểm C,A’

+)b4: lập pt cạnh AB: Tìm B

v í dụ 9 :Cho tam giác ABC,biết A(-1;3), đờng cao BH: x-y=0.Đờng phân giác trong

của góc C nằm trên đờng thẳng ∆: x+3y+2=0.Tìm phơng trình các cạnh

Lời giải ( Đề thi ĐH kiến trúc 1998)Theo bài,AC vuông góc với BH.Vậy pt cạnh AC: x+y-2=0

Từ đó toạ độ C là nghiệm hệ: x x y++ − =3y+ =2 02 0⇔x y== −42

Gọi A’là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác ∆:x+3y+2=0.cóAA’:3x-y+6=0

Có trung điểm I của AA’ là giao của AA’ với x+3y+2=0.Vậy I(-2;0).Vậy A’(-3;-3)Khi này A’ thuộc BC.Vậy pt BC chính là pt CA’: x-7y-18=0

Phơng pháp: ( Bài toán thứ 9 trong tam giác)

+) b1:Tìm toạ độ A’ là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C +) b2: Tham số hoá toạ độ của C(xC;yC) theo đờng phân giác trong của góc C Tham số hoá toạ độ của B1(x1;y1) theo đờng trung tuyến hạ từ B

+)b3:Tìm toạ độ của C nhờ B là trung điểm của AC

ví dụ 10:Tam giác ABC biết A(4;4),trung tuyến BB1: x-3y-2=0, đờng phân giác trong của góc C có phơng trình: ∆: x-2y-1=0.Lập phơng trình các cạnh

Lời giải

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ∆: x-2y-1=0.Ta có A’(6;0)

Gọi C(xC;yC) thì vì C thuộc ∆ nên : xC-2yC-1=0 suy ra C(2yC+1;yC)

Tợng tự điểm B1(x1;y1) thuộc BB1: x-3y-2=0.Vậy B1(3y1+2;y1)

Mà B1 là trung điểm của AC nên: