Các bài toán về tọa độ phẳng

Viết pt cạnh thứ ba của tg đó biết rằng trựctâm của tam giác trùng với gốc tọa độ y=7.. Với mỗi gt của k hãy tìm gđ của hai đường thẳng.. Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi... Tìm tọa

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ PHẲNG

I.Toán về đường thẳng:

1/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là: M(2;1),N(5;3),

P(3;-4)

2/ Viết pt trung trực của các cạnh tg ABC biết trung điểm của các cạnh có tọa độ là:

M(-1;-1),N(1;9),P(9;1)

3/ Lập pt các cạnh của tg ABC nếu biết B(-4;-5) và hai đường cao có pt là: 5x+3y-4=0; 3x+8y+13=0

( 8x-3y+17=0; 3x-5y-13=0; 5x+2y-1=0 )

4/ Tg ABC có pt cạnh AB là 5x-3y+2=0, các đường cao qua đỉnh A,B lần lượt có pt là

4x-3y+1=0 và 7x+2y-22=0.Lập pt hai cạnh AB,AC và đường cao thứ ba của tg ( 2x-7y-5=0;

3x+4y-22=0; 3x+5y-23=0 )

5/ Lập pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh C(4;-1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có

pt tương ứng là:

2x-3y+12=0 và 2x+3y=0 ( 9x+11y+5=0; 3x+2y-10=0; 3x+7y-5=0 )

6/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh A(1;3) và hai trung tuyến có pt là x-2y+1=0 và

y-1=0.( x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0 )

7/ pt hai cạnh của một tg trong mptđ Oxy là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0 Viết pt cạnh thứ ba của tg đó

biết rằng trựctâm của tam giác trùng với gốc tọa độ ( y=7 )

8/ Cho tg ABC biết đỉnh A(2;-1) và hai phân giác trong của góc B,C có pt: x-2y+1=0; x+y+3=0 Lập

pt cạnh BC.( 4x-y+3=0 )

9/ Cho hai đường thẳng ( ) :d1 kx  y k 0;(d2) : (1k x2) 2ky 1 k2 0 Với mỗi gt của k hãy tìm

gđ của hai đường thẳng Tìm quĩ tích của gđ khi k thay đổi

2

10/ Viết pt đt đi qua gđ của hai đt ( ) : 2d1 x  y 1 0 & (d2) :x2y 3 0 đồng thời chắn trên hai

trục tọa độ những đoạn thẳng bằng nhau ( 3x-3y-2=0; x+y+4=0 )

11/ Viết pt đt đi qua điểm M(5;1) và tạo một góc 45 với đt 2x+y-4=0 ( 3x-y-14=0; x+3y-8=0 ) 0

12/ Lập pt đt đi qua điểm P( 2;-1 ) sao cho đt đó cùng với hai đt

( ) : 2d x  y 5 0 & (d ) : 3x6y 1 0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đt (

3x+y-5=0; x-3y-5=0 )

13/ Viết pt các cạnh của tg ABC biết đỉnh B(2;-1); đường cao và phân giác trong qua đỉnh A,C là:

( ) : 3d x4y270 & (d ) :x2y 5 0 ( BC: 4x+3y-5=0; C(-1;3); AC: y-3=0; A(-5;3);

AB: 4x+7y-1=0 )

14/ Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biA C, ( ) :d1 x 3 0;B(d2) : 3x  y 4 0;

3

D d x  y ( B(2;2), D(4;2), A(3;3),C(3;1) )

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

2

15/ Viết pt các cạnh của hình vuông MNPQ biết các cạnh lần lượt đi qua 4 đỉnh A(1;2),

B(-2;1), C(-3;-2), D(3;-1)

( Gọi pt các cạnh MN, PQ, NP, MQ là a(x-1)+b(y-2)=0; a(x+3)+b(y+2)=0; b(x+2)-a(y-1)=0; b(x-3)-a(y+1)=0

Từ d(MN;PQ)=d(NP;MQ) suy ra (a;b)=(3;-2) hoặc (1;2) )

16/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết: A( - 1; 3), C( 6; 2)

( ( 2; - 1) và ( 3; 6) )

17/ Cho hình vuông có một đỉnh là A( - 4; 5) và một đường chéo có pt là 7x – y + 8 = 0 Tìm tọa độ

các đỉnh còn lại.( ( 3; 4), ( 0; 8), ( - 1; 1) )

18/ Cho đt (d): x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A( 0; 1), B( 3; 4) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho

19/ Trong MPTĐ Oxy cho HCN ABCD có pt AB: x – 2y -1 = 0, pt BD: x – 7y + 14 = 0 và đc AC đi qua điểm M(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh HCN ( Gọi

AC: x – y – 1 = 0A(1;0), (7;3),B BC: 2x y 17 0 C(6;5)I(3,5;2,5)D(0;2) )

20/ Trong MPTĐ Oxy choABC có pt AB: y = 2x, pt AC: y = - 0,25x + 2,25 Trọng tâm

G(8/3;7/3).Tính dtABC( (1;2), (2;4), (5;1)A B C SABC 4,5 )

21/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 1;0 ), B( 3; - 1) và đt (d): x – 2y – 1 = 0 Tìm điểm C( )d : dt

ABC

 = 6.( ( - 5; - 3), ( 7; 3) )

22/ Trong MPTĐ Oxy choABC có A( ) :d x4y 2 0,BC//( )d , pt đường cao BH là x + y + 3 =

0 và trung điểm của cạnh AC là M( 1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của ABC

( pt AC: 1.(x 1) 1.(y     1) 0 x y 0

23/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm A( 2; -1 ), B( 1; - 2) và trọng tâm G của ABC nằm trên đt x + y –

2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết dt ABC = 1,5 ( ( 6; 0) và ( 3; 3) )

24/ / Trong MPTĐ Oxy choABC vuông tại C Biết A( - 2; 0), B( 2; 0) và k/c từ trọng tâm G của

ABC

bằng 1/3 Tìm tọa độ đỉnh C ( C(  3; 1 ) )

25/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x + y + 1 = 0, (d’): 2x – y – 1 = 0 Lập pt đt đi qua điểm M( 1; 1)

và cắt (d), (d’) tại A,B sao cho: 2MA MB  0

( A a( ; a 1), ( ;2B b b 1) 2a b  3 2b2a   6 0 a 0,b 3

A( 0; -1), B( 3; 5), AB: 2x – y – 1 = 0 )

26/ Trong MPTĐ Oxy cho ABC có A( 1; 5), B( - 4; - 5), C( 4; - 1) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội

tiếp ABC .( Gọi M(x;y) và N(x’;y’) là các điểm nằm trên các đường phân giác trong của góc

ˆ& ˆ

A B Khi đó ta có:

) 27/ Trong hệ Oxy cho hbh ABCD có C(-4;-5), đcao (AH): x + 2y – 2 = 0, đ chéo (BD): 8x – y -3 = 0

Tìm tđộ A,B,D ( (CD): 2x – y + 3 = 0 suy ra D(1;5)

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

3

𝐵𝐴 = 2 − 2𝑦 − 𝑥; 𝑦 + 3 − 8𝑥 = 𝐶𝐷 = 5; 10 → 𝐴 4; −1 ; 𝐵(−1; −11)

28/ Trong hệ Oxy cho hbh ABCD có B(1;5) ), đcao (AH): x + 2y – 2 = 0, phân giác góc 𝐴𝐶𝐵 là

x – y – 1 = 0 Tìm tọa độ A, C, D ( (AB): 2x – y + 3 = 0 suy ra A(-4; -5)

𝐺ọ𝑖 𝐵′ = Đ𝐶𝐸 𝐵 = 6; 0 → 𝐴𝐶 ≡ 𝐴𝐵′: 𝑥 − 2𝑦 + 14 = 0 → 𝐶 16; 15 → 𝐷 11; 5 )

II.Toán về các đường cong:

27/ Cho đtr (C ): x2y2 1 và đt (d): x + y – 1 = 0 Lập pt đtr (C’ ) qua gđ của (C ) và (d) TMĐK: a/ (C’ ) đi qua điểm A( 2; 1) ; b/ (C’ ) có tâm thuộc đt (d’): 2x – y – 2 = 0 ;

c/ (C’ ) tiếp xúc với đt (D): 2x + y – 3 = 0 ; d/ (C’ ) cắt (D’): x + y – 4 = 0 tại hai điểm A,B sao cho

AB = 2

28/ Cho hai đtr (C ): x2y2 1 0 & ( ') :C x2y24x0 a/ Chứng minh (C ) và (C’ ) cắt nhau b/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và qua điểm M( 3; 0) c/ Viết pt đtr qua gđ của (C ), (C’) và t/x với đt: x+y – 2 = 0

29/ Cho đtr (C ): x2y22x8y 8 0 Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến: a/ đi qua điểm

M( 4; 0)

b/ đi qua điểm A( - 4; - 6) c/ // (d): x – y = 0 d/ ( ') : 3 d x4y0 e/ Tạo với (d”) một góc 45 0

( ) :C x y 4x 3 0 & ( ') :C x y 8x120

31/ Cho đtr ( ) :C x2y22x4y 4 0 và điểm A( 3; 5) Gọi M,N là hai tiếp điểm của 2 tt với (C )

được kẻ từ A Tính độ dài MN ( MN = 4,8 )

32/ Cho đtr ( ) :C x2y22x6y 6 0 và điểm M( 2; 4) Viết pt đt đi qua M và cắt đtr (C ) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB

33/ Viết pt đtr đi qua 2 điểm A( 3; 1), B( - 1; 3) và có tâm thuộc đt: 3x – y – 2 = 0

34/ Viết pt đtr có tâm nằm trên đt: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 2 đt (d): 3x + 4y + 5 = 0 và (d’): 4x

– 3y – 5 = 0

35/ Viết ptđtr t/x với 3 đt: 3x4y350;3x4y350 &x 1 0

( Tâm của 3 đtr này là:( 17/2;0 ), ( 9; 0), ( 35/3; 19/6), ( 35/3; 8/3) ) 36/ Viết ptđtr tiếp xúc với 2 đt: 7x – y – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và với một trong hai đt ấy tại điểm M(

1; 2)

( (x29)2(y2)2 800 & (x6)2(y3)2 50 ) 37/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 đt (d): x - 2y + 3 = 0, (d’): 4x + 3y – 5 = 0 Lập ptđtr (C ) có tâm I trên

(d), tiếp xúc với (d’) và có bk R = 2 ( I có tọa độ ( 21/11; 27/11) và ( - 17/11; 7/11) )

38/ Trong MPTĐ Oxy cho 2 điểm (1;2), (1;6)A B và đtr (C ):(x2)2(y1)2 2 Lập pt đtr (C’ ) qua

B và t/x với (C ) tại A ( I( 2; 1).Đt IA có ptts: x 1 t y;   2 t I'(1t;2t).Do I’A = I’B nên t

=2I'( 1;4), ' R  8 )

39/Tìm tọa độ điểm M trên đt x – y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến t/x với đtr (C ):

x  y  x y tại 2 điểm A, B mà AMB600

( M x x( ; 1), ( 1;2),I  R 5IM2 2(x2 1) 4R2 20   x 3 M(3;4),M'( 3; 2)  )

DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi - Hưng Yên

4

40/Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): 2 2

x y  x y  Viết ptđtr tiếp xúc với 2 trục tđ và t/x ngoài với (C )

( (C ) có tâm I( 6; 2), bk R = 2 Gọi (C’ ) là đtr có tâm I’(R’;R’) tiếp xúc với Ox, Oy và t/x ngoài với (C )

41/ Trong MPTĐ Oxy cho Parabol 2

( ) :P y 64x và đt ( ) : 4 x3y460 Viết pt đtr có tâm thuộc ( ) , t/x với ( P ) và có bk nhỏ nhất

Ptđt qua M và ( ) : 3  x4y123 0 I(33/ 5;129 / 5) Vậy ptđtr là:

(x33/ 5) (y129 / 5) 4 )

42/ Trong MPTĐ Oxy cho đtr (C ): 2 2

x y  x  và điểm A( 3; 0) Đường tròn (C’ ) thay đổi nhưng luôn đi qua A và tiếp xúc với (C ) Tìm tập hợp tâm của đtr (C’ )

( Gọi I( - 3; 0), M( x; y) là tâm của (C’) MI + MA =10

43/ Lập pt Elip biết : a/ Hai tiêu điểm F1( 1;0) & F2(5;0) và tâm sai e = 3/5; b/ Tâm I( 1; 1); tiêu điểm

1(1;3)

F và độ dài trục nhỏ bằng 6

( a/ (x2) / 252 y2/16 1; /( b x1) / 9 (2  y1) /13 12  )

44/ Lập pt Elip biết hai tiêu điểm F1( 1; 1) &  F2(3;3) và độ dài trục lớn bằng 12

( MF1MF2 12;MF12  (x 1)2(y1) ,2 MF22  (x 3)2(y3)2MF12MF22 8x8y 16

45/ Cho Elip ( ) : 4E x29y2 36 và điểm M( 1; 1) Lập ptđt qua M và cắt Elip trên tại hai điểm A, B

ykx  k x  kx k  Nghiệm của pt này là các hoành độ của A và B Ta có MAMBx Ax B 2x M   k 4 / 9ptđt là: 4x + 9y – 13 = 0 )

- // -