Viết phương trình C1 là hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng 0xy.. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng Q... Trong hai mặt phẳng vuông góc P và Q c
Trang 1Bài tập về Mặt cầu
1 Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2, 2, - 3) và bán kính R =3
2 Lập phương trình mặt cầu (S) biết đường kính là AB với A(6, 2, - 5); B( -4; 0; 7)
3 Lập phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(1, 2, - 1); đi qua điểm A(3; 1; -1)
4 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1, 1, 2); tiếp xúc với mp (P): x + 2y + 2z - 3 = 0
5 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(1, 4, 0); B( - 4; 0; 0); C( - 2; -2; 0); D( 1; 1; 6)
6 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 2 điểm A(3; 1; 0), B(5, 5, 0) và tâm thuộc 0x
7 * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(6, 3, -4) và tiếp xúc với 0y
8 * Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2, 3, -1) và cắt đường thẳng (d):
=
− +
−
= + +
−
0 8 4
3
0 20 3 4
5
z y x
z y x
tại 2 điểm A; B sao cho AB = 16
9 *[ ĐHAN - A- 98]: Cho đường thẳng (d):
= + +
−
= + + +
0 1
0 1
z y x
z y x
và 2 mặt phẳng: (P1): x + 2y + 2z +3 = 0; (P2): x + 2y + 2z + 7 = 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với (P1); (P2)
10 *( Chùm mặt cầu ): Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua giao tuyến của mặt cầu
(S1): x2+ y2 + z2− 1 = 0 và mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 trong các trường hợp:
a (S1) đi qua điểm A(2, 1, -1)
b (S1) có tâm thuộc mặt phẳng (Q): x + y + 2z + 2 = 0
c Tiếp xúc với mặt phẳng (Q): x + 1 = 0
11 *( Chùm mặt cầu ): Cho 2 mặt cầu:
(S1): x2+ y2 + z2− 2 x − 4 z + 1 = 0 và (S2): x2+ y2+ z2− 2 x − 3 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua giao tuyến của (S1); (S2) và đi qua điểm A(2, 1, -1)
• Luyện tập
12 [ĐHBK- 96]: Cho tứ diện ABCD với A(3, 2, 6); B( 3; -1; 0); C( 0; -7; 3); D( -2; 1; -1)
a CM tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc nhau
b Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (ACD)
c Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
13 [ĐHQG- 96]: Cho điểm I(2, 3, -1) và đường thẳng (d):
=
− +
−
= + +
−
0 8 4
3
0 20 3 4 5
z y x
z y x
a Lập phương trình mặt phẳng qua I và vuông góc với (d)
b Tính khoảng cách từ I đến (d), suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho(S) cắt (d) tại 2 điểm A; B sao cho AB = 40
14 [CĐSPHN- 97]: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2 x − 4 y − 4 z = 0
a Xác định tâm và tính bán kính của (S)
b Gọi A; B; C lần lượt là giao điểm( khác gốc toạ độ 0) của (S) và các trục 0x; 0y; 0z, viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm cầu đến mphẳng (ABC) Xác định toạ độ H
15 [ĐHSPHN]: Cho 3 điểm A(a, 0, 0); B( 0; b; 0); C(0; 0; c) với a; b; c > 0
a CMR Tam giác ABC có các góc A; B; C nhọn
Trang 2b Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
c Tìm toạ độ điểm O1 đối xứng với O qua (ABC)
16 [ĐHGTVT – 99]: Cho mặt phẳng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0
a Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp (P)
b Tìm toạ độ tiếp điểm H của (P) và mặt cầu (S)
c Tìm điểm đối xứng của 0 qua (P)
17 Cho 2 đường thẳng (d1):
=
−
=
+
=
4 3 4
z
t y
t x
; (d 2 ):
=
+
=
=
/
/
2 1 2
t z
t y
x
tìm phương trình mặt cầunhận
đoạn vuông góc chung của (d1); (d 2 ) làm đường kính
cu:
• Một số bài toán cơ bản
18 Cho mặt cầu (S): x2+ y2+ z2 − 2 x − 4 y − 4 z = 0, xét vị trí tương đối của điểm M đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp:
a M(1, 1, 0) b M(1, 1, 2) c M(3, 5, 0)
19 Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt cầu (S) trong các trường hợp:
a (d):
+
−
=
=
−
=
t z
t y
t x
2 1 2
1
và (S): x2+ y2+ z2− 2 y − 1 = 0,
b (d):
=
−
−
= +
−
0 9 3
0 3 3 4
z x
y x
và (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 2 z + 5 = 0,
20 CMR mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 3 = 0 cắt mặt phẳng (P): x – 2 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C) Xác định tâm và tính bán kính của (C)
21 Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu:
(S1): x2+ y2+ z2+ 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 (S2): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 3 = 0
• Luyện tập.
22 [ ĐHTL- 2000]: Cho mặt cầu (S): x2+ y2+ z2 = 4 và mặt phẳng (P): x + z = 2
a CMR mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Xác định tâm và tính bán kính của (C) là giao của (P) và (S)
b* Viết phương trình (C1) là hình chiếu vuông góc của (C) trên mặt phẳng 0xy
23 [ĐHQG – 1999]: Trong không gian với hệ trục toạ độ vuông góc 0xyz cho đường
tròn(C) xác định bởi phương trình:
= + +
−
= + + +
− + +
0 1 2 2
0 17 6 6 4
2 2 2
z y x
z y x z
y x
a Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của (C)
b Lập phương trình mặt cầu (S) chứa (C) và có tâm thuộc mp(Q): x + y + z +3 = 0
24 [ĐHSPV – 1999]: Cho điểm I(1; 2; -2) và mp (P): 2x + 2y + z + 5 = 0
a Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho giao của (P) và (S) là đường tròn có chu vi bằng
8π
b CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2 = y + 3 = z
Trang 3c Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với (S)
25 [ĐHBK- A- 2000]: Cho chóp S.ABC với S(3,1,-2); A(5; 3; -1); B(2; 3;-4); C(1; 2; 0)
a CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên là các tam giác vuông cân các cặp cạnh đối vuông góc nhau
b Tìm toạ độ diểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB M là điểm bất kỳ thuộc mặt cầu tâm D bán kính R = 18( điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC) Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn MA; MB và bán kính mặt cầu Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì ?
• Một số bài toán cơ bản
26 Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y − 6 z + 5 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến của (S) tại điểm A(0; 0; 5) và biết tiếp tuyến:
a Có vtcp →a (1; 2; 2)
b Vuông góc với mặt phẳng: (P): 3x - 2y + 2z + 3 = 0
27 Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0.Viết phương trình tiếp diện của (S):
a Tại điểm A( 0; 0; 1)
b Đi qua điểm M( 1; 1; 1)
c Chứa đường thẳng (d):
=
−
=
−
− 0 1
0 1 2
z
y x
d Vuông góc với đường thẳng(d):
2
2 1
1 2
3
−
−
=
+
=
x
28 [ĐHGT- 98]: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) có phương trình:
x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 và song song với (P): 4x + 3y -12 z + 1 = 0
• Luyện tập
29 [Đề 69]: Viết ph.tr m.p tiếp xúc mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 10 x + 2 y + 26 z − 113 = 0
và song song với đường thẳng (d1):
2
13 3
1 2
=
−
−
=
x
và
(d2):
0
8 2
1 3
=
−
+
=
x
30 [Đề 99- ĐHNT – 99]: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):
=
−
−
=
− +
−
0 2
0 30 8 11 8
z y x
z y x
và tiếp xúc với mặt cầu (S):
0 15 4 6 2
2 2
2 + y + z + x − y + z − =
x
31 [ĐHmỏ địa chất – 99]: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S),
đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) lần lượt có phương trình:
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0; (d):
= +
−
=
− +
−
0 3 2
0 8 2
3
y x
z y x
(Q): 5x + 2y + 2z -
7 = 0
a Viết phương trình tất cả các mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc mặt cầu (S)
b* Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (Q)
Trang 4Một số bài toán hình học không gian, g iải bằng phương pháp toạ độ
1 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A/B/C/ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a
a Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và mặt phẳng ( BA/C/)
b Xác định góc giữa BB/ và mặt phẳng (BA/C/)
c Tính góc giữa mặt phẳng (BA/C/) và mặt phẳng (ABB/A/)
2 Trong hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung đáy CD =
2x, và các cạnh khác có độ dài bằng a Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD
a Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD
b Tính theo a và x độ dài đoạn AB và MN
c Xác định x để nhị diện (C; AB; D) là nhị diện vuông Trong trường hợp đó tính độ dài đoạn
AB
3 Tìm tập hợp những điểm M trong không gian mà tổng các bình phương của hai khoảng cách đến hai
điểm A, B cho trước một giá trị dương cho trước k2
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy là hình thoi.Biết AC = 2; BD = 4;AA/ = 4
a.Xác định góc và khoảng cách giữa AD/ và BD
b.Điểm M thuộc cạnh AA/ sao cho góc BMD = 1V khi đó M chia AA/ theo tỷ số nào ?
5 Cho tứ diện SABC có mặt ABC là tam giác vuông tại A cạnh SB vuông góc với mặt
phẳng (ABC); cạnh SB = AC = 4; cạnh AB = 2; M là trung điểm của SC
a Xác định góc giữa SC và mặt phẳng (ABM)
b Xác định giao điểm của đường vuông góc chung của SA và BC với mặt phẳng (ABM)
6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bên SA vuông góc
với đáy Điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD : MS =1:2.Góc giữa SC và AD bằng 600,
khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AMC) bằng 2 Tính diện tích của tam giác AMC
7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 2, BD = 4; hình
chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và
BD Đường cao của hình chóp bằng 2 Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai mặt bên (SAB) và (SAD)
a Chứng minh rằng mặt phẳng (MNO) // với SC
b Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm I của SO và vuông góc với mặt phẳng (MNO) Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SCD)
8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có cạnh A/D/ = 4; A’B’=AA/ = 3
a Điểm M ∈ AA/, mặt phẳng (BMD/ ) cắt hình hộp chữ nhật theo thiết diện là hình gì ?
b Trong trường hợp nào thiết diện là hình chữ nhật
c Tìm vị trí của M để thiết diện là bé nhất
9 ( Bài 5 trang 60 SGK HH 12 ): Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ có cạnh bằng a Trên B/C/ và
CD lấy các điểm M và N sao cho B/ M = CN = x ( 0 ≤ x ≤ a )
Chứng minh AM⊥ CN
10 ( Bài 6 trang 60 SGK HH 12 ): Cho hình hộp ABCD A/B/C/D/ có cạnh bằng a Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD/ ; G, G/ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A/ D/MN
và BCC/ D/ Chứng minh đường thẳng GG/ song song với mặt phẳng (ABB/A/)
11 ( Bài 7 trang 60 SGK HH 12 ): Cho tứ diện ABCD; P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD; Hai điểm M; N lần lượt chia 2 đoạn thẳng BC và AD theo cùng tỷ số k Chứng minh bốn điểm P, Q, M, N cùng thuộc một mặt phẳng
Trang 512:( Bài 9 trang 106 SGK HH 12): Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB;OBC; OAC là các tam
giác vuông tại đỉnh 0; Gọi α,β,γ là các góc lần lượt hợp bởi các mặt
phẳng (OBC); (OCA); (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:
a Tam giác ABC có 3 góc nhọn
b cos2α + cos2β + cos2γ = 1
13:(Bài 6 trang 112 SGK HH 12): ho hình lập phương: ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a
a CMR đường chéo A/C vuông góc với mặt phẳng ( AB/D/)
b CMR giao điểm của đường chéo A/C và mặt phẳng ( AB/D/ ) là trọng tâm của tam giác AB/D/
c Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB/C/ ) và ( C/BD )
d Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA/C/ ) và ( ABB/A )
14:( Bài 7 trang 112 SGK HH 12 ): Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ cạnh a Các
điểm M thuộc AD/ và N thuộc DB sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 )
a Tìm k để MN ngắn nhất
b CMR MN luôn song song với mặt phẳng ( A/D/CB ) khi k biến thiên
c Khi MN ngắn nhất, CMR MN là đường vuông góc chung của AD/ và DB, và MN
song song với A/C
15: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có các cạnh đều bằng a Trên AB1 và
BC1 lấy hai điểm M và N sao cho MN⊥ AB và MN =
3
a
Tìm tỉ số M chia đoạn thẳng AB1 và tỉ số N chia đoạn thẳng BC1
17: Cạnh của hình lập phương ABCD A1B1C1D1 bằng a Một mặt phẳng đi qua D1 song
với DA1 và AB1, cắt đường thẳng BC1 tại M Tính độ dài D1M
18: Cho hình lập phương ABCD A/B/C/D/ cạnh a.trên đoạn thẳng BD và AD/ lần lượt lấy
2 điểm thay đổi M và N, sao cho DM = AN = x ( 0≤ x ≤ a 2 ) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định
19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CC’, góc giữa AB và mặt phẳng (AMN) bằng 300; Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (AMN) là 2 Tính thể tích của lăng trụ
20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cạnh AB = AD = 2 ; AA’ = 3
Gọi M ; N ; K lần lượt là trung điểm các cạnh AA’; AD; AB Điểm P thuộc BB’ sao cho BP = 1
a Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MNK) và mặt phẳng (A’DP)
b Hình chiếu của D’P trên mặt phẳng (MNK) cắt mặt phẳng (ABCD) tại I, tính
khoảng cách từ I đến mặt phẳng (A’DP)
21: Cho mặt phẳng ABCD.A’B’C’D’ có AB = 1, AD = 2, AA’ = 3 , E là trung điểm
của AA’ Tìm hai điểm M, N thuộc hai đường thẳng AB’và AD sao cho AMN là
một tam giác cân và bốn điểm M , N , C , E cùng thuộc một mặt phẳng
22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a gọi O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trực tâm tam giác SBC Chứng minh OH
vuông góc với mặt phẳng (SBC)
23: Tứ diện S.ABC , ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của SB, O là trung điểm của BC, (d) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Dựng giao diện điểm K của (d)
và mặt phẳng (Q) Tính 0K
Trang 624: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên
SA = a và vuông góc với đáy ABCD Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng
cách giữa AB và SC
25:(ĐHCĐ- A- 2002): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh bằng a
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác
AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
26:(ĐHCĐ- B- 2002): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a
a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D
b Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A1B; CD; A1D1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N
27:(ĐHCĐ- B- 2003): Cho hình lăng trụ đứng ABCD A/B/C/ D/ có đáy ABCD là một hình
thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M là trung điểm của cạnh AA/ và N là trung điểm của cạnh CC/ Chứng minh rằng 4 điểm B/, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuông
………