8 CD8 phuong phap toa do trong khong gian

• Một đường thẳng ∆ hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một VTCP của nĩ.. Cặp VTCP của mặt phẳng: Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b.. Khi đ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

(hay r r ri; j;k: véc tơ đơn vị )

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là

không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M kg Oxyz∈ ( ) Khi đó véc tơ OMuuuur được biểu diển một cách duy nhất theo

r r r

, ,

i j kbởi hệ thức có dạng : OMuuuur= +xi y jr r+ y voi x,y,zkr ∈¡

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

II Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

☞ Định lý 3 : Cho hai véc tơ va voi ar br br r≠0

cung phuong ar br ⇔ ∃ ∈ !k ¡ sao cho a k br= r

Nếu ar r≠0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi ar cùng hướng br

k < 0 khi ar ngược hướng br

a

k b

=

rr

☞ Định lý 4 : A B C, , thang hang ⇔ uuurAB cung phuong uuurAC

a b a b a b ab

a b

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠1 ) nếu như :

MA k MBuuur= uuur

• • •

☞ Định lý 11 : Nếu A x y z( ; ; ) , B(x ; ; )A A A B y z và B B MA k MBuuur= uuur ( k ≠1 ) thì

.1.1.1

k

y k y y

k

z k z z

Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔

222

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( ; ; ) , B(x ; ; ), C(x ; ; )A A A B y z B B C y z C C

G là trọng tâm tam giác ABC ⇔

333

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuơng

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ ar=( ; ; ) vàa a a1 2 3 br =( ; ; )b b b1 2 3 là một véc tơ được

A

B C

B C D

'

A B' C'

'

D

• a b cr r r, , đồng phẳng ⇔ , a b cr r r =0

• A, B, C, D đồng phẳng ⇔AB,AC,ADuuur uuur uuur đồng phẳng ⇔AB,AC AD 0uuur uuur uuur =

BÀI TẬP ỨNG DỤNG: hoctoancapba.com

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

a Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng

b Tính diện tích tam giác ABC

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1)− − − − − Chứng minh tam giác ABC vuơng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

I Các định nghĩa:

1 Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

arlà VTCP của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠a cóa 0 giá song song hoặc trùng với ( )



∆



r rr

Chú ý:

• Một đường thẳng cĩ vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

• Một đường thẳng (∆) hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một VTCP của nĩ

2 Cặp VTCP của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng α xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b Gọi ar là VTCP của đường

thẳng a và br là VTVP của đường thẳng b Khi đĩ :

Cặp ( , )a buruur được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α

Chú ý :

• Một mặt phẳng α hồn tồn được xác định khi biết một điểm thuộc nĩ và một cặp VTCP của nĩ

3 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

b

n

• Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Định lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; )( ; ; )

Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M x y z và có một0( ; ; )0 0 0

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ;0;0)(0; ;0) (a,b,c 0)(0;0; )

n  =

)

;

;( 0 0 0

0 x y z M

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A(1;2;3 ,) (B 2; 3;1− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuơng gĩc

với đường thẳng AB

Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ( )P x: +2y+ + =3z 4 0 và ( )R :3x+2y z− − =1 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )R đi qua A( )1;1;1 đồng thời vuơng gĩc với cả ( )P và ( )Q

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao

cho thể tích tứ diện OABC cĩ giá trị nhỏ nhất

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

n n

a

b = b = =b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ,α β xác định bởi phương trình :

1 1 1 1 1 1 1 1

( ): 0 có VTPT ( ; ; )( ): 0 có VTPT ( ; ; )

αβ

uuruur

( ) // ( )

AA( ) ( )

I Phương trình của đường thẳng: hoctoancapba.com

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( )∆ đi qua điểm M x y z 0( ; ; )0 0 0

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )∆ đi qua điểmM x y z0( ; ; )0 0 0

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2; 2;1 ,) (B 0; 2;5) Viết phương trình tham số của

đường thẳng đi qua A và B

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;1;0 ,) (B 0; 2;1) và trọng tâm

Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng (d)

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d):x z z

1= 1 1=

− Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm

M và đường thẳng (d)

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình: x 2y 3z 14 0+ − + = Tìm tọa độ hình

chiếu vuơng gĩc của M trên mặt phẳng (P)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ): có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

ur uuuuuuurr

pt pt

∆



 ∆

 tìm x,y,z

Suy ra: M(x,y,z)

III Góc trong không gian:

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

)

;

;( 2 2 2

n =

)(∆

)

;

;(a b c

Gọi ϕ là gĩc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )∆1 ∆2 ta cĩ cơng thức:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ):α Ax By Cz D+ + + =0 và điểm M x y z0( ; ; )0 0 0

Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )α được tính bởi cơng thức:

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

hoctoancapba.com

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (∆) đi qua điểm M x y z và cĩ VTCP0( ; ; )0 0 0

ur=( ; ; )a b c Khi đĩ khoảng cách từ điểm M1 đến ( )∆ được tính bởi cơng thức:

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

1 0 0 0 0

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

Khi đĩ khoảng cách giữa ( ) và∆1 ( )∆2 được tính bởi cơng thức

0 x y z M

0

M

' 0

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)

MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )α và mặt cầu (S) cĩ phương trình :

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

)

(S

I

• Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng α

• Lấy B 2; 1;1( − ) ( )∈ d , gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)

Phương trình tham số của (d') là:

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho M 1; 2; 3 ;a( ) (6; 2; 3 , d :) ( ) x 1 y 1 z 3

• Xét điểm B 1; 1 t, t(− − + )∈(d )2 Tìm t để AB.auuur uurd1 =0

AB.auuur uurd 1 = ⇔ = ⇒0 t 3 B 1; 2;3(− )

• Gọi (d') là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P) thì (d)=( ) ( )P I Q

VTCP của (d') là auurd ' =n ;nuur uurP Q=(4;1; 5− ), phương trình tham số của (d') là:

+ Với t 1= ta có N 5; 2; 51( − − ) ( )∆1 qua N nằm trong (P) và vuông góc với (d') có VTCP là 1

auuur∆1 =n ; nuur uurP d '= −( 6;9; 3− = −) 3 2; 3;1( − ) Phương trình đường thẳng cần tìm là:

( )1

x 5 y 2 z 5:

Bài giải

• Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có( )

MA2+MB2+MC2 =3MG2+GA2+GB2+GC2 (1)

• Từ hệ thức (1) ta suy ra :

MA2+MB2+MC2 đạt GTNN ⇔MGđạt GTNN ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)

• Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:

lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Suy ra: ABuuur= − − − −(a 5; a 1; 3)

Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R( − ) = 1 b+ + =2 4 b2+5

• Do (S) tiếp xúc với (P) nên:

• Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G 1;0; 2( )

• Xét điểm M (P)∈ Ta có:

MA MB MCuuuur uuur uuur+ + =3 MGuuuur =3MG

Suy ra: MA MB MCuuuur uuur uuur+ + đạt GTNN ⇔MG đạt GTNN⇔M là hình chiếu của G trên (P)

2:

2

;2

;2(),

31

1,

C Các bài toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014Bài 1: (TN)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (1; 1;0) A − và mặt phẳng ( ) : 2P x−2y z+ − =1 0

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( ) P

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho AM ⊥OA và AM =3 ( ;( ))d A P

Đáp án

Bài 2: (CĐ)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (2;1; 1), (1; 2;3) A − B và mặt phẳng ( ) :P x+2y−2z+ =3 0

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( ) P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa ,A B và vuông góc với ( ) P

Đáp án

Bài 3: (ĐH-K.D)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 6 P x+3y−2z− =1 0 và mặt cầu

( ) :S x +y + −z 6x−4y−2z− =11 0

a) Chứng minh mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( ) S theo giao tuyến là một đường tròn ( ) C

b) Tìm tọa độ tâm của ( )C

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d

b) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d

Đáp án

192

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và ( ) P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( ) P

Đáp án

D BÀI TẬP

Bài 1 Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua ba điểm A(1;0;1 ,) (B 0;2;0 ,) (C 0;1;2)

Bài 10 Cho M(2;3; 1− ) và hai đường thẳng ( )1 ( )2

−  = + Viết phương trình đường

thẳng ( )∆ qua M vuông góc với ( ) ( )∆1 , ∆2

Kết quả:

92131613

14 23

− và mặt phẳng ( )P :2x y+ − − =2 1 0z Tìm tọa độ giao điểm của

( )∆ và ( )P Viết phương trình mặt phẳng chứa ( )∆ và vuông góc với ( )P

− Viết phương trình mặt phẳng qua A và

vuông góc với ( )∆ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( )∆

Bài 22 Cho hai đường thẳng ( )1 ( )2

chéo nhau Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua ( )∆1 và song song ( )∆2

Bài 23 Cho hai đường thẳng ( )1 ( )2

chéo nhau Viết phương trình đường thẳng ( )∆ là đường vuông góc chung của ( )∆1 và ( )∆2

Bài 24 Cho hai đường thẳng ( )∆ − = − = − ( )∆  = = −

Chứng minh ( )∆1 và ( )∆2 chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua điểm M(0;1;1), vuông góc với đường thẳng ( )∆1 và cắt đường thẳng

Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và hai đường thẳng

Bài 30 Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C(0;0; 2 ,) (K 6; 3;0− ) Viết phương trình mặt phẳng

( )P đi qua , C K sao cho ( )P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại ,, A B và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3

Bài 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 1: 1 3

S x +y + −z x+ y+ z− = và hai điểm A(1; 1; 2 ,− − ) (B 4;0; 1− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )α

song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Bài 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(5;3; 1− ), B(2;3; 4− ) và mặt phẳng

( )P x y z: − − − =4 0 Tìm trên ( )P điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

Bài 35 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hình thoi ABCD vớiA(− 1;2;1) ,B(2;3;2) Tìm toạ độ các đỉnh,

C D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng : 1 2

Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng

( )P và cắt ( ), ( )d1 d lần lượt tại A và B sao cho 2 AB=3 2

198