PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng α qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M1;2;4 lên các trục tọa độ.. Véctơ chỉ phương của đường thẳng Véctơ ur≠0r được gọi là VTCP của đường thẳng

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Tọa độ của véctơ

Cho hệ tọa độ Oxyz và ur Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x, y, z) sao cho u x i y j z kr= r+ r+ r Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ

của ur và kí hiệu là : ur=( ; ; )x y z hoặc ( ; ; )u x y zr

Vậy : ur=( ; ; )x y z ⇔ =u x i y j z kr r+ r+ r

Từ định nghĩa trên ta suy ra :

ri=(1;0;0), rj=(0;1;0), kr=(0;0;1), 0 (0;0;0)r=

II Tọa độ của điểm

Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M Ta gọi tọa độ của OMuuuur là tọa độ của điểm M Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa

độ của điểm và kí hiệu là M =( ; ; )x y z hoặc M x y z nếu : ( ; ; ) OMuuuur=x i y j z k.r+ r+ r

Vậy theo định nghĩa trên, ta có :

• O(0;0;0)

• M Ox∈ ⇔M x( ;0;0)

• M Oy∈ ⇔M(0; ;0)y

• M Oz∈ ⇔M(0;0; )z

M (Oxy) M x y( ; ;0)

M (Oxz) M x( ;0; )z

M (Oyz) M(0; ; )y z

 Gọi M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz Khi đó1; 2; 3

M x1( ;0;0), M2(0; ;0), y M3(0;0; )z

 Gọi M M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz) 1; 2; 3

Khi đó M x y1( ; ;0), M2(0; ; ), y z M x3( ;0; )z

 Cho ( ; ; ), ( ; ; )A x y z A A A B x y z Khi đó B B B uuurAB=(x B−x y A; B −y z A; B−z A)

III Các công thức

• Cho hai véctơ ar=( ; ; ),x y z b1 1 1 r=( ; ; )x y z2 2 2 Khi đó :

1 a br r± =(x1±x y2; 1±y z2; 1±z2)

2 m a.r=(mx my mz1; 1; 1) ∀ ∈m R

3 Tích vô hướng của hai véctơ :

a) a br r = a br r .cos( ; )a br r

b) a b x xr r = 1 2+y y1 2+z z1 2

4 Độ dài của véctơ :

ar = x +y +z ; br = x22+y22+z22

5 Côsin của góc giữa 2 véctơ :

r r

r r

6

x x

z z

=





= ⇔ =

 =



r r

7 ar cùng phương với br ⇔ 1 1 1

x = y = z

• Khoảng cách giữa hai điểm

( B A) ( B A) ( B A)

AB= uuurAB = x −x + y −y + z −z

z

.

x

.

k r r j

.M

.

1 0

i j j k i k

= = =

r r r

rr r r rr

• Gọi I là trung điểm AB

2 2 2

A B I

A B I

A B I

x

y

z z z

+

 =





⇒ =



+

 =



• Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

3 3 3

G

G

G

x

y

z

+ +

 =





+ +



⇒ =



+ +

 =



• Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k ≠1), nghĩa là MA k MBuuur= uuur thì

1 1 1

M

M

M

x k x x

k

y k y y

k

z k z z

k

−

 =

 =



−

 =



B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với ( 1;2;4), (2;0;5), (1;1;2)A − B C

a Tính chu vi tam giác ABC

b Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

c Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B

d Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giác BCF

e Tính góc A của tam giác ABC

Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết (1;1;3), ( 2;3;0), (0;4;1), '(2;4; 1)A B − D C − Tìm tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp

Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho ur≠0r Chứng minh rằng : 2 2 2

cos ( ; ) cos ( ; ) cos ( ; ) 1u ir r + u jr r + u kr r = Bai 4 : Tìm M∈Ox cách đều 2 điểm (1; 3;1) ; B(0;1;-2)A −

Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với (2;0; 3), (1;2; 2), (0;2;1)A − B − C Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC

Bài 6 : Cho A(4; 1;2) ; B(7;3;2)− Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A

Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho (2; 1;4), ( 4;3;2)A − B − Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho :

a MA MBuuur uuur+ đạt giá trị nhỏ nhất

b (MA2+MB2) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 : Cho ( 1;6;6) ; B(3;-6;-2)A − Tìm M∈(Ox )y sao cho (MA MB+ ) nhỏ nhất

Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (4;0;0), B(7;3;9), (2; 2; 2)A C Tìm M thuộc (Oxz) sao cho

MA+ MB+ MC

uuur uuur uuuur

nhỏ nhất

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Định nghĩa :

Trong không gian Oxyz, cho hai véctơar=( ; ; ),a a a b1 2 3 r=( ; ; )b b b1 2 3

Tích có hướng của hai véctơ ar và br là một véctơ, kí hiệu là ;a br r,

và được xác định như sau :

2 3 3 1 1 2

b b b

a b

r r

II Tính chất

1 ar cùng phương với br ⇔a br r; =0r

2 a br r;  vuông góc với cả hai véctơ ar và br

a r

b r

;

a b

r r

3 b ar r; = −a br r; 

4 a br r;  = a br r .sin( ; )a br r

III Các ứng dụng

1 Xét sự đồng phẳng của ba véctơ

• Ba véctơ ; ; a b cr r r đồng phẳng ⇔a b cr r r;  =0

• 4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện ⇔uuur uuur uuurAB AC AD;  ≠0

2 Tính diện tích tam giác : 1 ;

2

ABC

S∆ = AB AC

uuur uuur

3 Tính thể tích hình hộp : V ABCD A B C D ' ' ' '= AB AC AD; 

uuur uuur uuur

4 Tính thể tích tứ diện : 1 ;

6

ABCD

V = AB AC AD

uuur uuur uuur

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho

(1;2;3), (3; 1;2), (2;3;1)

(9; 3;7), (1;8;8), w (5; 5;1)

1 Chứng minh ba véctơ ; ; a b cr r r không đồng phẳng

2 Chứng minh ba véctơ ; ; wu vr r uur đồng phẳng

Bài 2 : Ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng :

1 A(1;1;1) ; B(-4;3;1) ; C(-9;5;1)

2 A(1;3;1) ; B(0;1;2) ; C(0;0;1)

Bài 3 : Cho 4 điểm (1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A

1 Chứng minh 4 điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD

2 Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh A

Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết (2;1; 1) ; B(3;0;1) ; C(2;-1;3)A − , còn đỉnh D nằm trên trục Oy Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện ABCD có thể tích bằng 5 (ĐH Văn Hóa HN-1997)

Bài 5 : Cho ba điểm ( ;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c)A a với a, b, c > 0.

a Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông

b Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c (ĐH Mỹ Thuật 1999)

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.

• Véctơ nr≠0r được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( )α nếu giá của nr

vuông góc với mp ( )α , viết tắc là nr⊥( )α

• Nếu hai véctơ ar và brkhông cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mp ( )α (ta còn gọi hai véctơ ar và br là cặp véctơ chỉ phương của mp ( )α ) thì mp ( )α nhận nr=  a br r;  làm véctơ pháp tuyến

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

• Mặt phẳng ( )α đi qua M x y z và có VTPT ( ; ; )0 0 0 nr=( ; ; )A B C có phương trình tổng quát là :

A x x− +B y y− +C z z− =

• Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng : Ax+By Cz D+ + =0 (1) với A2+B2+C2 ≠0

• Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mp và mp đó có một VTPT là nr=( ; ; )A B C

3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng ( )α không đi qua gốc tọa độ O và cắt Ox

tại ( ;0;0)A a , cắt Oy tại (0; ;0)B b , cắt Oz tại (0;0; )C c

có phương trình là : ( ) : x y z 1

a b c

4 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ( ) : A xα1 1 +B y C z D1 + 1 + 1 =0 và ( ) : A xα2 2 +B y C z D2 + 2 + 2 =0

• ( )α1 cắt ( )α2 ⇔ A B C1: 1: 1≠ A B C2: 2: 2

• ( )α1 // ( )α2 1 1 1 1

• ( )α1 ≡ ( )α2 1 1 1 1

5 Chùm mặt phẳng

 Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của

hai mặt phẳng ( )α và ( )β được gọi là một chùm mặt phẳng

 Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

( ) : A xα +B y C z D+ + =0 và ( ) : A xβ 2 +B y C z D2 + 2 + 2 =0

Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng :

( ) : (A xP m +B y C z D+ + )+n.(A x+B y C z D+ + ) 0, = m +n ≠0

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau :

1 ( )α qua M( 1;2;4)− và nhận nr=(3;4;5) làm véctơ pháp tuyến.

2 ( )α qua (1;3; 2)A − và vuông góc với BC biết (2;0; 3), (0;4; 1)B − C −

3 ( )α qua M( 2;4;1)− và song song với mặt phẳng ( ) : 3P x y− +2z− =15 0

4 ( )α qua (3; 4;1)N − và vuông góc với trục Ox

5 ( )α là mặt phẳng trung trực của cạnh AB với (4; 3; 1), (0;1;5)A − − B

6 ( )α qua (1; 3;2)I − và chứa trục Oz

7 ( )α chứa AB và song song với CD biết (1;1;2) ; B(0;3;-2) ; C(3;4;1); D(2;0;-3)A

8 ( )α qua M(2; 1;2)− , song song với trục Oy và vuông góc với mp ( ) : 2β x y− + + =3z 4 0

9 ( )α qua 2 điểm (1; 3;1) ; B(0;1;-2)A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 3P x y− + =5 0

10 ( )α qua ( 1;3;4)A − và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :P x+2y−4z+ =5 0; ( ) : 3Q x−4z− =1 0 Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(1;2;4) lên các trục tọa độ. Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua (1;2;3)G và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là

trọng tâm của tam giác ABC

Bài 4 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua M(1;2;4) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho

OA OB OC= =

Bài 5 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua ( 2;5;1)A − và cách (0;2; 1)B − một khoảng lớn nhất.

Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua (3;1; 4)H − và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là

trực tâm của tam giác ABC

Bài 7 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua M(1;1;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho

1 Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

2 OA OB OC+ + có giá trị nhỏ nhất

3 12 12 12

OA +OB +OC có giá trị nhỏ nhất

Bài 8 : Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng (P) biết

A

C

B

x

y

z

O

d

1 (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2α x z− + =1 0, ( ) :β x y z+ − − =4 0và đi qua điểm M( 1;4;3)−

2 (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, ( ) :α y+2z− =4 0, ( ) :β x y z+ − − =3 0 và song song với mặt phẳng ( ) :Q x y z+ + − =1 0

3 (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, ( ) : 3α x y z− + − =2 0, ( ) :β x+4y− =5 0 và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2Q x z− + =2 0

Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho ( 1;3;2), (4;1;1), (0;2; 1), (2;2;3)A − B C − D

1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng tỏ ABCD là một tứ diện

2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD)

3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và chia tứ diện ra làm 2 phần có thể tích bằng nhau

Bài 10 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :

1 x+2y− + =3z 4 0 và 3x y− +4z− =2 0

2 2x y− −2z+ =3 0 và 4x−2y−4z+ =5 0

3 x−2y− − =3z 1 0 và 3− +x 6y+9z+ =3 0

Bài 11 : Hãy xác định giá trị của m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau

1 2x my+ +2z+ =5 0 và nx+2y−4z+ =7 0

2 nx+2y z+ − =1 0 và 2x+(m2+3)y+(3m−1)z− =2 0

Bài 12 : Cho ( ) : 2P x my− + − + =3z 6 m 0, ( ) : (Q m+3)x−2y+(5m+1)z− =10 0

Với giá trị nào của m thì :

1 (P) song song (Q)

2 (P) trùng (Q)

3 (P) cắt (Q)

Bài 13 : Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng

( ) : (2P m−1)x−3my+2z+ =3 0, ( ) : 3Q x+7y z+ − =3 0, ( ) :R x−9y−2z+ =5 0

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Véctơ chỉ phương của đường thẳng

Véctơ ur≠0r được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của ur song song hoặc trùng với d

Nhận xét :

• Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau

• Nếu ur là một VTCP của đường thẳng d thì (k u k Rr ∈ ) cũng là một VTCP của đường thẳng d

• Hai véctơ ar và br không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì ;a br r là một VTCP của d.

II Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng : ( ; ; )0 0 0

ó VTCP là ( ; ; )

qua M x y z d





=

• Phương trình tham số của d là :

0 0 0

(t R)

x x a t

y y b t

z z c t

= +





 = +



• Nếu a b c ≠0 thì phương trình chính tắc của d là : x x0 y y0 z z0

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau

1 d qua M(2; 1;5)− và có VTCP là ur=(4;3;2)

2 d qua hai điểm ( 1;0;3), (2;5; 1)A − B −

3 d qua (2; 2;1)A − và song song với BC biết (3; 1;4), (1;2;3)B − C

d

d

.

4 d qua (0;3;4)A và song song với đường thẳng

2

1 5

= −





∆  =

 = − +



5 d qua M(2;1; 4)− và song song với trục Ox

6 d qua (3; 2;0)A − và vuông góc với mặt phẳng ( ) :α x+3y−4z+ =5 0

7 d qua ( 2;2;3)I − và vuông góc với cả hai đường thẳng 1: 1 2

− , 2

3

4 2

= +



 = −



 = +



8 d qua (0;2; 3)A − vuông góc với : 1 2

x y− z+

− và nằm trong mặt phẳng ( ) : 2P x z+ − =4 0.

9 d qua (2;0; 1)B − và song song với hai mặt phẳng ( ) : 3P x−2y+ =5 0, ( ) :Q x y+ − + =3z 4 0

10 d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2α x y z+ + − =3 0 và ( ) :β x−3y+2z− =1 0

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau

1 ( )α qua M( 1;2;4)− và vuông góc với : 1 2

x y− z+

−

2 ( )α qua M(2; 3;0)− và song song với hai đường thẳng 1

1 2

z t

= −



 = +



 =



và 2: 1 2

−

3 ( )α chứa

1 : 3 2

1 5

= +





∆  = −

 = − +



và song song với : 3 1 2

4 ( )α chứa M( 3;4;1)− và : 1 4

Bài 3 : Cho đường thẳng

1 2

4

= −



 = +



 = −



và mặt phẳng ( ) :α x+2y−4z+ =1 0

1 Chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )α Tìm tọa độ giao điểm I của d và ( )α

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng ( )α

Bài 4 : Cho (1;2;0)A và ( ) : 2α x y− −2z+ =9 0 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng ( )α

Bài 5 : Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z− + + =1 0và hai đường thẳng

1

:

− 2

:

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời cắt cả d và 1 d 2

Bài 6 : Cho điểm (1;2; 1)A − và đường thẳng

1 3 : 2 2

2 2

= − +



 = −



 = +



Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d

Bài 7 : Cho hai điểm ( 1;3; 2), ( 3;7; 18)A − − B − − và mặt phẳng ( ) : 2P x y z− + + =1 0

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P)

2 tìm tọa độ điểm M∈( )P sao cho MA MB+ nhỏ nhất (Dự Bị A-2007)

Bài 8 : Cho hai điểm (1;4;2), ( 1;2;4)A B − và : 1 2

−

1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặ phẳng (OAB)

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất (ĐH D-2007)

Bài 9 : Cho hai đường thẳng 1

:

1

2

z

= +





∆  = − −

 =



1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.

2 Xác định điểm A trên ∆1 và B trên ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Bài 10 : Cho (1;2;3)A và hai đường thẳng 1

3 : 1 2 4

z

= −



 = +



 =



; 2: 1 2 2

−

1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d và vuông góc với 1 d 2

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và cắt cả d và 1 d 2

3 Viết phương trình đường vuông góc chung của d và 1 d 2

Bài 11 : Cho mặt phẳng ( ) : 4P x+2y z+ − =1 0, đường thẳng : 1

2 3

y z

∆ = = và điểm (3;4;2)A .

1 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P)

2 Viết phương trình đường thẳng '∆ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P)

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆

Bài 12 : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua (1; 1;1)A − và cắt cả hai đường thẳng

1

2 2 :

3

= +



 =



 = −



và 2: 1 1

−

Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( ) :P x y z+ + − =1 0 và cắt cả hai đường thẳng

1

:

− và 2

1

2

= +



 = −



 = −



Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng d qua (3;2; 4)A − , song song với mặt phẳng ( ) : 3α x−2y− − =3z 7 0 và cắt đường thẳng : 2 4 1

x− y+ z−

Bài 15 : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(0;1;1), vuông góc với đường thẳng 1: 1 2

và cắt

đường thẳng 2

1 :

1

x

= −



 =



 = +



III Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và 1 d 2

2

1

2

qua A v c VTCP l

qua B v c VTCP l

d

d







uur uur

• d và 1 d chéo nhau 2 ⇔ 3 véctơ uuur uur uuurd1; u d2; AB không đồng phẳng

⇔u uuur uur uuurd1; d2.AB≠0.

• d và 1 d cắt nhau 2

⇔ 3 véctơ uuur uur uuurd1; u d2; AB đồng phẳng và 2 véctơ uuur uurd1; u d2 không cùng phương

1 2

1 2

d d

d d

u u

  ≠

⇔ 



uur uur r

uur uur uuur

• d song song 1 d 2 1 2

1

d d

d

u u

u AB

  =

⇔ 



uur uur r uur uuur r

.

A B

2

d

u uur

.

.

A B

1

d

u uur

.

A

1

d 2

d

.

B

• d trùng 1 d 2 1 2

1

d d

d

u u

u AB

  =

⇔ 



uur uur r uur uuur r

IV Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

• Đường thẳng : ( ; ; )0 0 0

ó VTCP là d ( ; ; )

qua M x y z d



• Mặt phẳng (P) có VTPT là nuurP =( , , )A B C

 d cắt (P) ⇔u nuur uurd P ≠0

 d song song với (P) . 0

( )

d P

u n



⇔  ∉



uur uur

 d chứa trong (P) . 0

( )

d P

u n



⇔  ∈



uur uur

BÀI TOÁN 5 : KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M x y z( M; M; M) và mặt phẳng ( ) :α Ax By Cz D+ + + =0.

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )α là :

[ ;( )] Ax M By2 M 2Cz M2 D

d M

+ +

Chú ý :

• Nếu (P) song song với (Q) thì d P Q[( );( )] [=d M Q;( )] với M∈( )Q

• Nếu đường thẳng a song song với ( )α thì d a[ ;( )α ] [=d M;( )α ] với M∈a

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M x y z( M; M; M) và đường thẳng ∆ qua A và có VTCP là uuur∆

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là :

d M[ ;( )] AM u;

u

∆

∆

∆ =

uuuur uur uur

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d và 1 d 2

2

1

2

qua A v c VTCP l

qua B v c VTCP l

d

d







uur uur Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d và 1 d là : 2

[ ] 1 2

1 2

;

;

;

d d

d d

d d d

u u

=

uur uur uuur uur uur

Bài 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) biết :

1 M(1; 3;4)− và ( ) : 2P x y+ −2z− =13 0

2 M(2;1; 5)− và ( ) : 7P x y− + =2 0

Bài 2 : Cho hai mặt phẳng ( ) :P x+2y z− − =3 0 và ( ) :Q x+2y z− + =7 0

1

.

d

P

.

d

P

M.

.M

.M

.

A

.

A B

1 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

2 viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài 3 : Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm (2;3;4)A và mặt phẳng ( ) : 2α x+3y z+ − =17 0

Bài 4 : Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng ( ) :α x y z+ − + =1 0 và ( ) :β x y z− + − =5 0

Bài 5 :

1 Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng ( ) :P x+2y z− + =3 0 và cách điểm (2;0; 3)A −

một khoảng bằng 2 6

2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng ( ) :P x+2y z− + =3 0 và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 6

Bài 6 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d biết :

1 M(0; 2;3)− và

1 2

4

= −



 = +



 = −



2 M(3;1; 4)− và : 4 3

Bài 7 : Cho hai đường thẳng 1

:

và 2

:

− .

Chứng minh d và 1 d chéo nhau Tính khoảng cách giữa 2 d và 1 d (Cao Đẳng Y Tế I -2006)2

Bài 8 : Cho hai đường thẳng 1

:

d

− + − =



 + − =

2 2 3 17 0 :

d



 − − − =

 và điểm (3;2;5)A

1 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d 1

2 Lập phương trình mặt phẳng đi qua d và song song với 1 d 2

3 Tính khoảng cách giữa d và 1 d (Cao Đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi-2006)2

Bài 9 : (ĐH A-2005) Cho : 1 3 3

− và mặt phẳng ( ) : 2P x y+ −2z+ =9 0.

1 Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặy phẳng (P) bằng 2

2 Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với d

Bài 10 : (ĐH A-2004) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết (2;0;0); (0;1;0); (0;0;2 2)A B S Gọi M là trung điểm SC

1 Tính khoảng cách giữa SA và BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài 11 : (ĐH A-2009) Cho mặt phẳng ( ) :P x−2y+2z− =1 0 và hai đường thẳng

1: 1 9

; 2: 1 3 1

− ĐS :

(0; 1;3)

18 53 3 ( ; ; )

35 35 35

M M

−









Tìm điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến 1 d bằng khoảng cách từ M đến (P) 2

BÀI TOÁN 6 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Định nghĩa

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm ( ; ; )I a b c , bán kính R Khi đó phương trình của mặt cầu (S) là :

( ) : (S x a− )2+ −(y b)2+ −(z c)2 =R2

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

1) (S) có tâm (1; 2; 3)I − và R=4

2) (S) có tâm ( 1;3;4)I − và đi qua M(0;2; 2)−

3) (S) có đường kính là AB biết (2 : 2;1); (4;0; 5)A − B −

4) (S) có tâm (2; 1;4)I − và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2P x y+ −2z− =17 0

Giải :

2 Nhận dạng phương trình mặt cầu. Phương trình x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0 thỏa điều kiện a2+ + − >b2 c2 d 0 là phương trình của mặt cầu có tâm ( ; ; )I a b c , bán kính R= a2+ + −b2 c2 d Ví dụ : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính (nếu có) 1) 2 2 2 4 6 2 11 0 x +y + +z x− y+ z− = 2) 2 2 2 6 8 2 2018 0 x +y + −z x+ y− z+ = Giải :

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết (3; 2; 4); ( 1; 2; 2); (0;6;1); ( 2; 2;1)A − B − − C D − Giải : Gọi (S) :x2+y2+ −z2 2ax−2by−2cz d+ =0 Thế tọa độ 4 điểm A; B; C; D vào phương trình mặt cầu (S), ta được :

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

( ) : (S x a− ) + −(y b) + −(z c) =R và mặt phẳng ( ) :P Ax By Cz D+ + + =0

Ta có (S) có tâm ( ; ; )I a b c và bán kính R Đặt d d I P= [ ;( )]

• Nếu d >R thì (P) và (S) không có điểm chung

• Nếu d =R thì (P) tiếp xúc với (S) Khi đó (P) gọi là tiếp diện của (S)

• Nếu d<R thì (P) và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và bán kính r= R2−d2

Bài tập :

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm (0;0;3)I và tiếp xúc với ( ) :P x+2y−2z+ =3 0 Tìm tọa độ tiếp điểm

2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết ( 2;3;5); (6; 3; 5); (4;3;3); ( 2; 5;1)A − B − − C D − −

3) Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng ( ) : 3P x y− +2z− =1 0 và tiếp xúc với mặt cầu

( ) : (S x−2) + +(y 3) + −(z 5) =14

4) Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm (2; 3; 7)A − − , có tâm thuộc đường thẳng : 1 2 2

− và tiếp

xúc với mặt phẳng ( ) :P x y z+ + − =4 0

5) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mp (Oxz) và đi qua 3 điểm (1;1;1); (2;1;4); (4; 1;0)A B C −