CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI.. Phương trình mặt phẳng Véc tơ nr r≠0 vuông góc với mặt phẳng α được gọi là VTPT của mặt phẳng α.. Véc tơ ur r≠0 có giá song song h
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I KIẾN THỨC CĂN BẢN
1 Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm
Véc tơ ur =( ; ; )x y z ⇔ = +u xi y j zkr r r+ r
Điểm M =( ; ; )x y z ⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r
Véc tơ 0 (0;0;0)r=
Điểm A=(x y z A; A; A); B=(x y z B; B; B);C =(x y z C; C; C) thì
AB= x −x y −y z −z
uuur
AB= uuurAB = x −x + y −y + z −z
Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:
2 Các phép toán
Cho ur=(x y z v; ; ;) r=(x y z'; ;' ')thì
u vr r± = ±(x x y y z z'; ± '; ± '); kur=(kx ky kz; ; );
' ' '
x x
z z
=
= ⇔ =
=
r r
ur
'
'
0
x kx
z kz
=
=
r r r
3 Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
Trong không gian Oxyz cho ur=(x y z v; ; ;) r=(x y z'; ;' ')
3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số: u vr r = u vr r .cos ,( )u vr r
Biểu thức tọa độ: u v x xr r = '+y y '+z z '; ur⊥ ⇔vr u vr r = ⇔0 x x '+y y '+z z ' =0
Độ dài véc tơ: ur = x2+y2+z2
cos ,
u v x x y y z z
u v
r r
r r
r r
3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau
r r
Tính chất:
o u vr r, ⊥u u vr r r; , ⊥vr
o ur
cùng phương với vr⇔u vr r, =0r
o u vr r, = u vr r .sin ,( )u vr r ( )∗
Ứng dụng của tích có hướng:
Trang 2o u vr r uur, , w
đồng phẳng u vr r uur r, w 0 ( ) = ∗ (ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên một mặt phẳng)
o u vr r uur, , w
không đồng phẳng u vr r uur r, w 0 ( ) ≠ ∗ .
o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔uuur uuur uuurAB AC AD, =0 ( )∗ (bốn điểm nằm trên một mặt phẳng)
o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔uuur uuur uuurAB AC AD, ≠0 ( )∗ (bốn đỉnh của một tứ diện)
o Diện tích hình bình hành: S ABCD = uuur uuurAB AD, ( )∗
2
ABC
S∆ = uuur uuurAB AC ∗ ; 2 2 ( )2
ABC
S∆ = uuur uuurAB AC − uuur uuurAB AC
o Thể tích khối hộp: ' ' ' '
'
ABCD A B C D
V = uuur uuurAB AD uuuur ∗
o Thể tích tứ diện: 1 , AD ( )
6
ABCD
V = uuur uuur uuurAB AC ∗
4 Phương trình mặt cầu
Dạng 1: ( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R
Dạng 2: x2+y2+ −z2 2Ax−2By−2Cz D+ =0 (2) , với điều kiện 2 2 2
0
A +B +C − >D là phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính 2 2 2
R= A +B +C −D
5 Phương trình mặt phẳng
Véc tơ nr r≠0 vuông góc với mặt phẳng ( )α được gọi là VTPT của mặt phẳng ( )α
Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )α được gọi là VTCP của mặt phẳng ( )α .
Nếu u vr r,
là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
( )α thì u vr r, = nr là một VTPT của mặt phẳng ( )α
Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì uuur uuurAB AC, = nr là một VTPT của mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng ( )α đi qua điểm M x y z o( ; ; )0 0 0 và có VTPT nr=(A B C; ; ) có phương trình
A x x( − 0 ) +B y y( − 0 ) +C z z( − 0 ) 0 = ( )∗∗ .
Phương trình dạng Ax By Cz D+ + + =0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT nr =(A B C; ; ).
6 Phương trình đường thẳng
Véc tơ ur r≠0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là VTCP của đường thẳng ∆
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z o( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur=(a b c; ; ), khi đó
+ Phương trình tham số là:
0 0 0
;( )
x x at
y y bt t R
z z ct
= +
= +
, t gọi là tham số
+ Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0 (abc 0)
Nếu hai mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + =0và ( )β :A x B y C z D' + ' + ' + ' =0 giao nhau thì
Trang 3hệ phương trình: ' ' ' ' 0
0
Ax By Cz D
A x B y C z D
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
∆ trong không gian
7 Khoảng cách
7.1 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và mp( )α :Ax By Cz D+ + + =0 thì:
( )
0 ; Ax 2By 2Cz 2 D
d M
7.2 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
Cho đường thẳng ∆P( )α : Ax By Cz D+ + + =0, M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm thuộc ∆
( )
7.3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song ( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và ( ) ' ' ' '
:A x B y C z D 0
( ) ( )
trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 là một điểm ∈( )α
7.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M x( M;y z M; M) đến đường thẳng
0
0
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct
= +
= +
r
; được tính bởi CT:
d M
u
∆ =
r uuuuuur r
7.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có VTCP ur=( ; ; )a b c
Đường thẳng ∆' đi qua điểm ' ' ' '
0( ;0 0; 0)
M x y z và có VTCP uur'=( ; ; )a b c' ' ' thì
( ) ' 0 0' '
'
, ,
,
u u M M d
u u
∆ ∆ =
ur uuuuuur r
ur r
Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm
trênđường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là
( ) ( ) ' 0 0'
,
u
ur uuuuuur
ur , M0∈∆
8 Vị trí tương đối
8.1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho ( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và ( )β :A x B y C z D' + ' + ' + '=0 khi đó
Trang 4+ ( ) ( ) '' ' ' ' '
D kD
≠
ur r P
D kD
=
ur r
+ ( )α và ( )β cắt nhau ⇔ ≠n knr ur' ⇔(A B C: : ) ≠(A B C': ': ')
+ ( )α và ( )β vuông góc vớ nhau n nr.ur'= ⇔0 AA'+BB CC'+ ' =0
8.2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
0
0
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct
= +
= +
r
' ' ' 0
' ' ' 0
x x a t
y y b t M x y z VTCP u a b c
z z c t
= +
= +
ur
Xét hệ phương trình
' ' '
' ' '
' ' '
( )
x at x a t
y bt y b t I
z ct z c t
+ = +
+ = +
, khi đó
+
' '
' '
u ku
=
∆ ≡ ∆ ⇔
ur r
, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm
+
' '
' '
u ku
=
∆ ∆ ⇔
ur r
u kur= urvà hệ (I) vô nghiệm
+ ∆ và ∆' cắt nhau '
u ku
⇔ ≠r urvà hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
0 0
hay u u M M =
ur uuuuuur
r
+ ∆ và ∆' chéo nhau '
u ku
⇔ ≠r urvà hệ phương trình (I) vô nghiệm ( ' ' )
0 0
hay u u M M ≠
ur uuuuuur r
8.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
0
0
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c
z z ct
= +
= +
r
và mặt phẳng
( )α :Ax By Cz D+ + + =0 có VTPT nr=(A B C; ; ).
Xét phương trình A x( 0+at)+B y( 0+bt)+C z( 0+ct)+ =D 0 ( )∗ ẩn là t, khi đó
+ ∆P( )α ⇔ phương trình (*) vô nghiệm (u nr r =0,M0∉( )α )
+ ∆ ⊂( )α ⇔ phương trình (*) có vô số nghiệm (u nr r =0,M0∈( )α )
+ ∆ và ( )α cắt nhau tại một điểm ⇔phương trình (*) có nghiệm duy nhất (u nr r ≠0)
Lưu ý: ∆ ⊥( )α ⇔ =u knr r
8.4 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng( )α :Ax By Cz D+ + + =0 và mặt cầu ( ) :S ( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R
Trang 5(S) có tâm I a b c b( ; ; , án kính R) Gọi ( ( ) ) 2 2 2
; A a B b C c D
d d I
+ Nếu d > ⇒R ( )α và (S) không giao nhau.
+ Nếu d= ⇒R ( )α và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H (( )α gọi là tiếp diện của mặt cầu (S))
+ Nếu d< ⇒R ( )α và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính
r = R −d và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên ( )α .
Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C) ta làm như sau
- Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và vuông góc với ( )α .
- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của ∆ và phương trình ( )α .
8.5 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng thẳng
0 0 0
:
x x at
y y bt
z z ct
= +
∆ = +
= +
và mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R
d d I
u
r uuuur
r , trong đó M x y z0( ; ; )0 0 0 ∈∆,ur=( ; ; )a b c là VTCP của ∆
+ Nếu d > ⇒R ∆ và (S) không có điểm chung
+ Nếu d = ⇒R ∆ tiếp xúc với (S) (∆ là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d< ⇒R ∆ cắt (S) tai hai điểm A, B (∆ gọi là cát tuyến của mặt cầu (S))
8.6 Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu
Cho điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và mặt cầu (S):( ) (2 ) (2 )2 2
x a− + y b− + −z c =R ,tâm
( ; ; , án kính R)
MI = a x− + −b y + −c z
+ Nếu MI >R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S)
+ Nếu MI =R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S)
+ Nếu MI <R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S)
9 Góc
9.1 Góc giữa hai đường thẳng
Nếu đường thẳng ∆ có VTCP ur=( ; ; )a b c và đường thẳng ∆' có VTCP ur =( ; ; )a b c' ' ' thì
( ') ' ' ' ' ( 0 ( ') 0)
'
.
.
u u
ur r ur
9.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Đường thẳng ∆ có VTCP ur =( ; ; )a b c và mặt phẳng ( )α có VTPT nr=( ; ; )A B C thì
( )
.
u n
r r
r r
r r
9.3 Góc giữa hai mặt phẳng
Nếu mặt phẳng ( )α có VTPT nr=( ; ; )A B C và mặt phẳng ( )β có VTPT nur' =(A B C'; ;' ') thì
( ) ( )
'
.
.
n n
n n
ur r ur r
ur r