Viết phương trình mặt phẳng Q chứa CD và vuông góc với mpABC Bài 3.. Bài 10: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng P trong các trường hợp sau: a.. Viết phương trình tổng quát của mặt
Trang 1§ 1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 M x( M;y z M; M)⇔OMuuuur=x i y j z k Mr+ Mr+ Mr 2 ar=( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ a a i a j a kr= 1r+ 2r+ 3r
2 Bi ểu thức tọa độ các phép toán véc tơ
Trong không gian Oxyz Cho ar=( ; ; )a a a1 2 3 và br=( ; ; )b b b1 2 3 ta có
a br r± =(a1±b a1; 2±b a2; 3±b3) ; k a.r=(ka ka ka1; 2; 3)
1 1
:
a kb
a kb
=
=
;
a b
=
= ⇔ =
=
r r
Cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì uuur AB = ( xB− x yA; B − y zA; B − zA)
2
; 2
; 2
B A B A B
A x y y z z x
3 Tích vô hướng và ứng dụng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của ar=( ; ; )a a a1 2 3 và br=( ; ; )b b b1 2 3 là:
a br r = a b cr r os(a; )r rb =a b1 1+a b2 2+a b3 3
a = a + +a a
r
; AB= (x B−x A) 2 + (y B−y A) 2 + (z B−z A) 2
s( , )
.
a b a b a b
co a b
=
r r
(với ar≠0 ,r r rb≠0)
ar và br vuông góc ⇔a b1 1 +a b2 2+a b3 3 =0
4 Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2-D > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính 2 2 2
r= A +B +C −D
B BÀI TẬP:
Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ say đây: →a= − +2→i →j+3K ; b→=7→i−8k→; →c= − 9k→;
Bài 2 Cho ba vectơ →a= ( 2; -1 ; 0 ),→b = ( -1; -2; 2) , →c = (-2 ; 1; 0 )
a. Tìm tọa độ của vectơ : →v = -2→a+ 3→b- 5→c và →u = 3→a- 2→c
bvà →b ⊥ →
c
Bài 3 Cho 2 vectơ →a = (1; 2; 3) Tìm tọa độ của vectơ x→, biết rằng:
a) →a x+ =→ →0 b) a x→+ =→ 4a→
Bài 4 Cho ba điểm : A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B − C − −
a CMR A, B, C không thẳng hàng
b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c Tính chu vi tam giác ABC
d Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
e Tìm tọa độ điểm E để tam giác ABE vuông tại A
Bài 5 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5)
Trang 2a Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ lần lượt của tứ diện A.A’BD và C’.CB’D’
c Chứng tỏ rằng: 3GG’ = AC’
Bài 6: Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a x2 +y2 +z2 − 8x+ 2y+ 1 = 0
b x2 +y2 +z2 + 4x+ 8y− 2z− 4 = 0
c −x2 −y2 −z2 + 4x+ 2y− 5z− 7 = 0
d 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x+ 3y− 9z+ 3 = 0
Bài 7.Viết phương trình mặt cầu:
a Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4
b Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1)
c Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
e Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x
§ 2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
• nr ≠ 0r là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) ⇔ nr ⊥ (α)
2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
• Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là nr=( ; ; )A B C
• Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận nr=( ; ; )A B C làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
• Nếu (P) có cặp vectơ ar=( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3 r= b b b1 2 3 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
b b b b b b
r r
* Các trường hợp riêng của phương trình măt phẳng
A=0 ,B≠0 ,C ≠0, D ≠0 khi và chỉ khi ( )α song song với trục Ox
A=0 ,B = 0 ,C≠0, D ≠0 khi và chỉ khi ( )α song song mp (Oxy )
(Các trường hợp còn lại xét tương tự)
3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
(α )cắt (α ’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
(α ) // (α ’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(α ) ≡ (α ’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt: (α ) ⊥ (α ’) ⇔n nur uur1 2 = ⇔0 A A B B C C '+ '+ ' 0=
4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
Trang 30 0 0
d(M , )
α =
B BÀI TẬP Bài 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt nr biết
a ĐiểmM 3;1;1 , n( ) r= −( 1;1;2) b M 2;7;0 , n(− ) r=(3;0;1)
c, M 4; 1; 2 , n( − − ) r=(0;1;3) d, M 2;1; 2 , n( − ) r=(1;0;0)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC
c Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD
d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 3 Lập phương trình mp( )α đi qua điểm M và song song với mp( )β biết:
c M 1; 2;1 ,( − ) ( )β : 2x y 3 0− + = d M 3;6; 5 ,( − ) ( )β − + − =: x z 1 0
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a Song song với các trục 0x và 0y
b Song song với các trục 0x, 0z
c Song song với các trục 0y, 0z
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a Cùng phương với trục 0x
b Cùng phương với trục 0y
c Cùng phương với trục 0z
Bài 7: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận n( 2 , 3 , 4 ); làm VTPT
b (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0
c (P) đi qua I(2;6;-3) và trục Ox
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P)
b Tính khoảng cách giữa (P) và (Q)
Bài 9*: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
A(-1;2;3)
Oz
(Q)
Bài 10: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và song song với giá của hai véc-tơ ar(3; 2;1) và br(−3;0;1)
b Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và song song với trục 0x
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)
b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD
Bài 12:Viết phương trình tổng quát của (P)
a Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)
Trang 4b Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB
b Viết phương trình mp(Q) qua A vuông góc (P) và vuông góc với (y0z)
c Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mp(P).
Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x+ky+3z – 5 = 0; (Q): mx - 6y - 6z+2 = 0
a Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
b Trong trường hợp k = m = 0 chứng tỏ (P) và (Q) cắt nhau, tính góc giữa (P) và (Q)
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1
a Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song mp(BC’D)
b Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng trên
c Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D)
§ 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
2 Phương trình tham số của đường thẳng :
* Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vec tơ chỉ phương
( ; ; )
ar= a a a :
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
* Nếu a1, a2 , a3 đều khác không Phương trình đường thẳng∆ viết dưới dạng chính tắc như sau:
0 0 0
x x y y z z
3 Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng :
1 1
'
'
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
= +
= +
d có vtcp a= (a1;a2;a3)đi qua M(xo;yozo); d’có vtcp ( ; ; ' )
3 ' 2 ' 1
∉
=
'
'
.
d M
a k
a
⇔
ur r uuuuur
'
, cuøng phöông
' khoâng cuøng phöông
a a MM
∈
=
'
'
.
d M
a k
a
⇔a a MMr, ,ur' uuuuur' cuøng phöông
' ' '
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t
+ = +
(I) có một nghiệm duy nhất
Trang 5
( )
∧
ur r ur
' '
, khoâng cuøng phöông
'=0
a a
a a MM
⇔( )a a MMr∧ur' uuuuur' 0 ≠
2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1 2
:
o o
x x a t
d y y a t
z z a t
= +
= +
= +
Xét hệ phương trình:
1 2
:
0
o o
x x a t
y y a t d
z z a t
Ax By Cz D
= +
= +
= +
(1)
độ giao điểm
Đặc biệt : ( d ) ⊥ (α ) ⇔ a nr r, cùng phương
B BÀI TẬP Bài 1: Lập phương trình tham số và chính của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận (3; 2;3)ar làm VTCP
b (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
c (d) đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 1 = 0
Bài 2 : Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có
1 2
= −
= +
x t
Bài 3: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) trong trường hợp sau:
a Đi qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2)
b Đi qua M(2; -1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – z + 1= 0 Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a d:
+
=
+
−
=
+
−
=
t z
t y
t x
4 6
3 2
2 3
và d’ :
+
=
−
−
=
+
=
' 20
' 4 1
' 5
t z
t y
t x
Trang 6b d:
−
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
3 2
1
và d’:
−
=
+
−
=
+
=
' 2 2
' 2 1
' 2 1
t z
t y
t x
Bài 5: Cho hai đường thẳng ( )
1
1 2
1 1
2 :
1
−
=
−
=
x
31 2
21 :
t z ty
t
x
d ∈
+−=
+=
+=
a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau Xác định toạ độ giao điểm của nó
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
Bài 6 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), tìm giao điểm nếu có.
a) ( ) t, R
2
3
1
+=
−=
+=
t
z
t
y
t
x
b) ( ) t, R
1
9
4
12
+=
+=
+=
t
z
t
y
t
x
Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d:
=
+
=
+
=
t z
t y
t x
2 1 2
a Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d
b Tìm tọa độ điể A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ( α ) :x+y+z− 1 = 0
Bài 9 Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC)
c Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
d Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 10 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1
a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C)
b Chứng tỏ rằng AC’ vuông góc mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C)
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Trang 7Bài 1: (Đề thi tốt nghiệp 2006) Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0;
4)
1 Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số của đương thẳng AB
với đường thẳng BC
Bài 2: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng
)
Bài 3: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5)
và đường thẳng (d) có phương trình
−
=
+
−
=
+
=
t z
t y
t x
6 3
2 1
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d)
2 Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N
Bài 4: (Đề thi tốt nghiệp 2008) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4;
3) và C(2; 2; -1)
1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
2 Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 5: (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
(x− 1) (2 + y− 2) (2 + z− 2)2 = 36 và (P): x + 2y + 2z +18 = 0
1 Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1;0− ) và đường thẳng d:
1 2 1
2 3
= +
= − −
= +
2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 9: Trong KgOxyz cho điểm A(2;0;1), đường thẳng (d):
1 2 2
= +
=
= +
x t
y t
z t
và mặt phẳng (P): 2x−y+z+ 1 = 0
1 Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng (d)
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mp(ABC).
Trang 82 Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Bài 11: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vuơng gĩc AB
Bài 12: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d cĩ phương trình
x -1 y +1 z -1
Bài 13: Trong khơng gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) và mp (Q) : x + 3y - z + 2 = 0
1 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vuơng gĩc với (Q)
2 Tìm tọa độ H hình chiếu của A trên (Q).Suy ra tọa độ A' đối xứng của A qua (Q)
Bài 14: Trong khơng gian Oxyz, cho 4 điểm A ( 3;2;0 , ) ( B 0;2;1 , ) ( C − 1;1;2 , (3; 2; 2) ) D − −
Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1 Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và song song với mặt phẳng x−2y+ − =3z 4 0.
2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α ).
Bài 16: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(2; 1;0− ) và đường thẳng d:
1 2 1
2 3
= +
= − −
= +
2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 17:Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :x 1 y 3 z 2
và điểm A(3;2;0)
1 Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc H của A lên d
2 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 18:Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2 Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuơng gĩc mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy)
Bài 19: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 9 = 0 và đường thẳng ∆ :
2 4 1 3
= − +
= +
=
( t là tham
số)
1 Tìm giao điểm I của ∆ và (α)
Bài 20:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường
thẳng (d) cĩ phương trình
x 1 2t
z 6 t
= +
= − +
= −
1 Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuơng gĩc với đường thẳng (d)
2 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm hai điểm M và N