Tài liệu giảng dạy PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

Một số dạng toán thường gặp  Dạng 1: Các bài toán cơ bản các yếu tố đã cho sẵn  Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước....  V

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.1 Một số phép toán vectơ

2

4 k.a , ,

5 a

6 a

7 a

ka ka ka

a b

a b

b a b a









   

 









 

 

3

b a b

a

cp b a k b

b



   

 

11 M là trung điểm AB

12 G là trọng tâm tam giác ABC

*) Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)

A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt n = (A; B; C)

*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là

1

x y z

a b c 

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp

tuyến.

*) Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :

° ( ) cắt( )  A B C1: 1: 1A B C2: 2: 2

°

( ) / / ( ) A B C D

°

( ) ( ) A B C D

     

° ( ) ( )  A A1 2 B B1 2C C1 2 0

*) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0

Ax By Cz D

  d(M, )

*) Góc giữa hai mặt phẳng :

) )

n n

n n

 

  cos(( ,( )

*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a= (a1;a2;a3)

 







  





x x a t

d y y a t t )

z z a t

*) Phương trình chính tắc của d :

0

1

z - z

d

*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d ’ : Ta thực hiện hai bước

+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp ad, a d /

+ Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:

x + a t = x' + a' t'

y + a t = y' + a' t' (I)

z + a t = z' + a' t'











Hệ (I) Quan hệ giữa ad, a d /

Vị trí giữa d , d’

Vô số nghiệm

Cùng phương

'

d d

Có 1 nghiệm Không cùng phương d cắt d’

*) Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi  là góc giữa d và d’

/

/

(0 90 )

d d

a a





 cos

1.4 Một số dạng toán thường gặp

 Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)

 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước

 Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm

 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng

 Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho

 Dạng 2 : Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan

 Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

 Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

 Các dạng toán khác về mặt phẳng

 Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan

 Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác

 Dạng 4 : Các bài toán tổng hợp

1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R

  2  2  2 r2 (S) : x a y b z c (1) +/(S): x2y2z 2ax 2by 2cz d 0 (2) (2     với a b c d 0 )2 2 2 

+/Ta cĩ: Tâm I(a ; b ; c) và r  a b2 2c2 d

1.5.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S) : x a  2y b 2z c 2 r2và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,()) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp()

 d > r : (S)  () = 

 d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện)

*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp( ) )

+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuơng gĩc mp() : ta cĩ a d  n( ) 

+ H = d  ()

Gọi H (theo t)d

H()  t = ?  tọa độ H

 d < r : () cắt (S) theo đường trịn (C):

( )

r







   



(S) : x a y b z c : Ax By Cz D 0

*Tìm bán kính R và tâm H của đường trịn giao tuyến:

+ Bán kính R r2 d2( ,( ))I 

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I trên mp() )

1.5.3 Các dạng tốn cơ bản về mặt cầu

 Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

 Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát

 Bài tốn khác liên quan đến mặt cầu

2 VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x t

z t





 

 Chứng minh hai đường thẳng song song Viết phương trình mp(P) chứa 2 đường thẳng trên

Lời giải

 Ta có u 12;4;2 ; u2 1;2;1

suy ra hai véc tơ cùng phương

 Ta có M2;2;2d1 vàM2;2;2d2

 Suy ra hai đường thẳng song song

 Ta có u12;4;2 ; MN   2; 1; 2    u MN1,  6;0;6

với N(0;1;0)

 Phương trình mp(P): x+z-4=0

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng

(Q): 5x+2y+5z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1

Lời giải

 Ta có n R n n P, Q   4; 30;16 

  

 Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0

 Ta có  ;   1

2 293

D

 Vậy phương trình mp(R) là: 2 x 15y8z 293 0

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

Lời giải

1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

 Ta có AB2; 3; 1 ;   AC  2; 1; 1    nAB AC,  2;4; 8 

 Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

 Ta có AB AC . 0

 

nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm I(0;-1;1) của đoạn BC

 Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình

x y z

   









Suy ra tọa độ M(2;3;-7)

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt

phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng 3

Lời giải

 Gọin a b c; ;   n AB.  0 a c 0

 Phương trình mp có dạng: ax+by+cz-a-2b-3c=0

 Ta cód C P ;   2 3c2 2 3



 

 Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1

 Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c

dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng

1 3

Lời giải

 Ta có phương trình (ABC) là1 1

x y z

b c

  

 Ta có n ABC.n P  0 b c

 Ta có  ;   2 2 2 2 1

3

bc

d O ABC

b c b c





 

 Suy ra

1 2

b c 

Ví dụ 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng

2

z t

 





 

 Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳngd và 1 d đồng thời vuông góc với mp(P): 2 2x+y-5=0

Lời giải

 Ta có

1 2

1 ; 1 3 ;1 2

2 ;1 2 ; 3; 2 3 2; 2 1

       

          

 T a có

2

P

t

u









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Suy ra phương trình đường thẳng d là

1 2 '

7 ' ' 5

z

 





  



 



Ví dụ7 : Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số

của đường thẳng d biết:

a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC

b) d qua C và vuông góc với mp(ABC)

Lời giải

a) I là trung điểm BC nên

1 3 1; ;

2 2

I  

VTCP:

3 1 1; ;

2 2

AI     

Phương trình tham số đường thẳng d:

3 1 2 1 2 2

x t

x x a t

z z a t



 

 

 

 b) AB ( 3;0;2), BC(4; 3; 5) 

VTCP: nAB BC (6; 7;9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Phương trình đường thẳng d cần tìm:

1 6

2 7

1 9

z z a t

    

     



Ví dụ 8 : Xét vị trí tương đối của d

1 3 3

z t

 





 



 

 với các đường thẳng:

a)

1

1 2

3 6

 





  

  

2

2 : 8 2

1 4

 





   

  

3

1 2

1 3

 





   

  



Lời giải

a) d có VTCP u   (1; 1;3)

1

 có VTCP u 1 (2; 2;6)

Xét hệ phương trình:

3 6 3 ' 6 3 ' 3

      

Và u1(2; 2;6) 2  u

Suy ra: d //  1

b) Thực hiện tương tự: d và  cắt nhau.2

c) Thực hiện tương tự: d và  chéo nhau.3

Ví dụ 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương

trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy

Lời giải

 Ta có n n j P,   n 3;0;1

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0

Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

: 1 2 ' : 1 '

Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên

Lời giải

 Ta có hệ phương trình có nghiệm duy nhất

1 ' 0

t t









 suy ra d cắt d’ tại I(2;-1;3)

 Ta có n P u u, '  n P   3;0;3

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0

Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x 2y2z 1 0

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).

Lời giải

a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB

1 4 1 6

AB    

Phương trình mặt cầu cần tìm: (x 1)2(y 3)2(z 1)2  6

b) Gọi I là trung điểm BC

Khi đó,

1; ; 2 ,

I   BC 

Mặt cầu đường kính BC có tâm

3 1; ; 2 2

I  

  , bán kính r =

69

2 có phương trình:

( 1) ( ) ( 2)

x  y  z  c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính

0 4 12 1

1 4 4

r d C P     

  Phương trình mặt cầu cấn tìm:x2(y 2)2(z6)2 25

Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x6y 8z  1 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

Lời giải

a) Từ phương trình mặt cầu ta có:

   



Tọa độ tâm I(1; -3; 4)

Bán kính: r  1 9 16 1 5   

b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp

(0;4; 3)

IM  

Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0;4; 3)



có phương trình:

0(x1) 4( y1) 3( z1) 0  4y 3z1 0

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và mp(P) x+y+z-3=0 Tìm tọa độ hình chiếu của A

lên (P)

Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và

: 1 2

x t

z t







  



 

 Tìm tọa độ hình chiếu của

A lên d, điểm đx của A qua d

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và

: 1 2

x t

z t







  



 

 Tìm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) bằng 3

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng

x t

z t





 

 Xét vị trí của hai đường thẳng Viết ptmp chứa 2 đường thẳng trên

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng

x t

z t







 



Xét vị trí của 2 đường thẳng Viết ptmp đi qua chứa đường thẳngd đồng thời //1 d 2.

Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),

D(0 ; 0 ; 3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện

b) Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A

c) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O

Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4)

a) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B Tìm điểm đối xứng của B qua điểm A

Bài 9 Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0

c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0

d) Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

f) Viết pt mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục tọa độ

Bài 10 Cho hai đường thẳng (d):

x y z

và (d’):

 a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa (d) và (d’)

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1)

a) Viết phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 12 Cho   : 2x5y z 17 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0

a) Tìm giao điểm A của (d) và  

b) Viết phương trình đường thẳng   đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng

 

Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình

x + 2y + z –1= 0

a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)

Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng

(d) có phương trình tham số

2 3

2 2

z t

 





 



 

a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d)

b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d)

c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d)

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng

(P) :x y 2z 1 0 và mặt cầu (S) : x2y2z2 2x4y 6z  8 0

a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)