8 CD8 phuong phap toa do trong khong gian

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau..  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của

Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong khơng gian

Quy ước : Khơng gian mà trong đĩ cĩ chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuơng gĩc Oxyz được gọi là

khơng gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho Mkg Oxyz( ) Khi đĩ véc tơ OM

được biểu diển một cách duy nhất theo

  , ,

+ y với x,y,z

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y;z) ( x: hồnh độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

   

/( ; ; )

O

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

Định lý 3 : Cho hai véc tơ a và với b b  0

Định lý 5: Cho hai véc tơ a( ;a a a1 2; 3) và b( ; ;b b b1 2 3)

ta cĩ :

IV Tích vô hướng của hai véc tơ:

V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :

MAk MB.

  

Định lý 11 : Nếu A x y z( A; A; A) , B(x ;B y z B; B) và MAk MB.

( k  1 ) thì

.1.1.1

175

Đặc biệt : M là trung điểm của AB 

222

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A x y z( A; A; A) , B(x ;B y z B; B), C(x ;C y z C; C)

G là trọng tâm tam giác ABC 

333

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuơng

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI Tích cĩ hướng của hai véc tơ:

1 Định nghĩa: Tích cĩ hướng của hai véc tơ a( ;a a a1 2; 3) và b( ;b b b1 2; )3

A

B C

B C D

Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

a Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

b Tính diện tích tam giác ABC

c Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B( 3; 1; 4),C(5; 1; 0),D(1;2;1)     Chứng minh tam giác ABC vuông Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

 Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một đường thẳng (  ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó

là VTVP của đường thẳng b Khi đó : Cặp ( , )a b

được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng 

Chú ý :

 Một mặt phẳng  hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó

3 Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

177

Chú ý :

 Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau

 Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó

4 Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Định lý: Giả sử mặt phẳng  có cặp VTCP là : 1 2 3

1 2 3

( ; ; )( ; ; )

Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng  biết  đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)

II Phương trình của mặt phẳng :

Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M x y z0( ;0 0; )0 và có một

2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

 Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

( ; 0; 0)(0; ; 0) (a,b,c 0)(0; 0; )

0 x y z M

a

b c O

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A1; 2;3 , B 2; 3;1  Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua A và vuông góc

với đường thẳng AB

Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  P :x2y3z4 và 0  R : 3x2y z  1 0 Viết phương trình mặt phẳng  R đi qua A1;1;1 đồng thời vuông góc với cả  P và  Q

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

III Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

1 Một số quy ước và ký hiệu:

Hai bộ n số : 1 2

1 2

( , , , )( , , , )

n n

a

b b  b

2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng  , xác định bởi phương trình :

( ) // ( )

AA( ) ( )

179

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Phương trình của đường thẳng:

1.Phương trình tham số của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình tham số của đường thẳng ( ) đi qua điểm M x y z 0( ;0 0; )0

và nhận a( ;a a a1 2; 3)



làm VTCP là :

2 Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ) đi qua điểmM x y z 0( ;0 0; )0

và nhận a( ;a a a1 2; 3)

làm VTCP là :

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A2; 2;1 , B 0; 2;5 Viết phương trình tham số của

đường thẳng đi qua A và B

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1;1; 0 , B 0; 2;1và trọng tâm

Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm

M và vuông góc với đường thẳng (d)

Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng x z z

(d) :

1 11 Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm

M và đường thẳng (d)

II Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :

Suy ra: M(x,y,z)

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0

Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0    Tìm tọa độ hình

chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P)

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

pt pt

III Góc trong không gian:

3.Góc giữa hai đường thẳng :

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

1 A B C

n 

0 0

n 

)(

)

;

;(a b c

a 

0 0

90

0  )

;

;(

;'

;'(

a 

0 0

90

0  

Gọi  là gĩc giữa hai mặt phẳng (1) & (2)ta cĩ cơng thức:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D   0 và điểm M x y z 0( ;0 0; )0

Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi cơng thức:

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M x y z0( ;0 0; )0 và cĩ VTCP

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :

' ' ' ' ' ' ' '

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

( ) có VTCP ( ; ; ) và qua M ( ; ; )

0 x y z M

0

M

' 0

MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

II Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) cĩ phương trình :

1 ( ) cắt mặt cầu (S) d(I; ) < R

2 ( ) tiếp xúc mặt cầu (S) d(I; ) =R

3 ( ) không cắt mặt cầu (S) d(I; ) > R

R I

I R

r H M

O

R

)

;y z M

)

(S

I

Chú ý:

Khi  cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C) Đường tròn (C) nầy có:

 Tâm là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng 

 Lấy B 2; 1;1     d , gọi (d') là đường thẳng qua B và vuông góc với (P)

Phương trình tham số của (d') là:

 Viết phương trình tham số của đường thẳng  d2 :

MA MB MC đạt GTNN MGđạt GTNN  M là hình chiếu vuông góc của G trên (P)

 Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:

 Do AB song song với (P) nên:

ABnP 1;1; 2 b a 4

Suy ra: ABa 5; a 1; 3    

AB a5   a 1  3  2a 8a35 2 a2 273 3 Suy ra: min AB 3 3 a 2

2 2 2 2

 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x22y 3 2z 1 2 289

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng

2

12

31

2:

31

1,

191

C Các bài toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014

Bài 1: (TN)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : 2P x2y  z 1 0

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )P sao cho AM OA và AM 3 ( ; ( ))d A P

Đáp án

Bài 2: (CĐ)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1; 1), (1; 2;3) B và mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3 0

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A B, và vuông góc với ( )P

Đáp án

Bài 3: (ĐH-K.D)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 6P x3y2z 1 0 và mặt cầu

2 2 2

( ) :S x y z 6x4y2z11 0

a) Chứng minh mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là một đường tròn ( )C

b) Tìm tọa độ tâm của ( )C

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d

b) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ( )P

Đáp án

Kết quả:

921316131423

Chứng minh  1 và  2 chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng   là đường vuông góc chung của  1 và  2

 và mặt phẳng  P : 2x y 2z 1 0 Tìm tọa độ giao điểm của

  và  P Viết phương trình mặt phẳng chứa   và vuông góc với  P

chéo nhau Viết phương trình đường thẳng   là đường vuông góc chung của  1 và  2

Bài 24 Cho hai đường thẳng    

Chứng minh  1 và  2 chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng   qua điểm M0;1;1, vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đường thẳng

Chứng minh  1 và  2 cắt nhau Viết

phương trình đường thẳng   qua điểm M1;1; 0, vuông góc với mặt phẳng chứa  1 và  2

Bài 26 Cho điểm I2; 3; 8   và đường thẳng  

Bài 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và hai đường thẳng

Bài 30 Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C0; 0; 2 , K6; 3; 0  Viết phương trình mặt phẳng

 P đi qua C K, sao cho  P cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại A B, và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3

Bài 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng 1: 1 3

S x y z  x y z  và hai điểm A1; 1; 2 ,   B4; 0; 1  Viết phương trình mặt phẳng  

song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Bài 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A5;3; 1 , B2;3; 4  và mặt phẳng

 P :xy   Tìm trên z 4 0  P điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

Bài 35 Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hình thoi ABCD vớiA  1; 2;1 ,B2;3; 2.Tìm toạ độ các đỉnh ,

C D biết tâm Icủa hình thoi thuộc đường thẳng : 1 2

d      d      Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng

( )P và cắt ( ), (d1 d2) lần lượt tại A và B sao cho AB 3 2

-Hết -