CHUYÊN đề KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN i)

Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộcgiao tuyến của m

CHUYÊN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ( PHẦN I)

A Cơ sở lí thuyết và phương pháp giải

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí hiệu d O  ( , )

* Nhận xét

-  M   , OM  d O ( , ) 

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

* Phương pháp chung.

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   (H  ) Khi đó d O ( ,( ))   OH Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộcgiao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặtbên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chânđường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâmđường tròn nội tiếp đáy

Cách 2 Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp 1 3

3

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí

thuận lợi O ', ta quy việc tính d O ( ,( ))  về việc tính d O ( ',( ))  Ta thường sử dụng những kếtquả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì

( ;( )) ( ;( ))



Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì 1

2

nếu I là trung điểm của MN thì d M ( ;( ))   d N ( ;( )) 

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng  vàmặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu d ( ,( ))  

* Nhận xét

-  M   , N  ( ),  MN d  ( ,( ))  

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳngnày đến mặt phẳng kia Kí hiệu d (( );( ))  

* Nhận xét

-  M  ( ),  N  ( ),  MN d  (( );( ))  

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với

cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt

b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu

( , )

d a b .

* Nhận xét

-  M a N b MN d a b  ,  ,  ( , )

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

+ Tìm H và K từ đó suy ra d a b ( , )  HK

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó d a b ( , )  d b P ( ,( ))

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó d a b ( , )  d P Q (( ),( ))

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ

dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tínhthể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P

đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến

O B

A

S

S

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình

chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách

từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có

thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích củanó

6 3

2

2 2 9

OAHK AHK

Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 2 2

Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK)

* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC

III) Phương pháp trượt

Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối B năm 2011)

Cho lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a AD a  ,  3 Hình chiếu vuông

góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến

a a

b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)

Phân tích: Do OA   SBC   C, nên thay vì việc tính d O SBC  ,    ta đi tính d A SBC  ,   ,tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G SAC  ,   thông qua việc tính d E SAC  ,    hay

O

D

C B

A

D1

C1 B1

A1

IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông

1 Định nghĩa Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc

O

F E

D

C B

A S

Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó

và vì vậy áp dụng được tính chất trên

Ví dụ 7 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AA ' và BB ' Tính khoảng cách giữa B M ' và CN

Phân tích Để tính khoảng cách giữa B M ' và CN ta tìm

một mặt phẳng chứa CN và song song với B M ' , tiếp theo tadùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ

dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

8 3

a h

O G

E

N M

B

B' A'

C'

D

C D'

A

Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.

Ví dụ 9.

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng    bất kì đi qua đường chéoB’D

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

b) Xác định vị trí của mặt phẳng    sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp   và hình lậpphương là bé nhất

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được

một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết

nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và

(A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính

diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến

Gọi H là hình chiếu của M trên DB’ Khi đó:

B A

Hoàn toàn tương tự nếu  0; ;0  0; ;0 1

S

3 2

Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.

Ví dụ 11 (Đề thi đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang  ABC BAD    90 ,0 BA BC a   , AD  2 a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a  2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD )

K

M

D

C B

A S

Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.

Phân tích Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là

khó khăn Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến(SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM Ta có:

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương

pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:

+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng

+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc

tơ một cách đơn giản nhất

Ví dụ 12 (Đề thi ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a E là điểm đối xứng của

D qua trung điểm của SA M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC Tính khoảng cách giữa

2 2

N

M E

O

S

D

C B

A

Bài 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB  2 a 3và SBC   300 Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Bài 2.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD  600 Cáccạnh bên SA = SC; SB = SD  a 3

a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD

Bài 3 Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OC    1 Gọi M, Ntheo thứ tự là trung điểm các cạnh AB OA , Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN

Bài 4 (Đề thi Đại học khối A năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB)

và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích

khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 5 (Đề thi Đại học khối D năm 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C =

3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích

khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)

C BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA

2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Phương pháp : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ; , ta có thể tiến hành theo

một trong các cách dưới đây :

Cách 1 : Dựa vào định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung )

Cách này thường được tiến hành khi ta biết được hai đường thẳng ; vuông góc với nhau Khi

đó ta làm như sau :

Bước 1 : Xác định một mặt phẳng (P) chứa vuông góc với đường thẳng Tức là đường

thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) , trong đó có đường thẳng

Bước 2 : Tìm giao điểm I của đường thẳng với mặt phẳng (P) Từ I kẻ IH vuông góc với , với H

ε Khi đó IH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ;

Bước 3 : Tính độ dài đoạn thẳng IH

Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác và tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ dài đoạn IH

Cách 2 : Dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Giả sử ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ; , ta có thể tiến hành như sau :