PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

www.facebook.com/toihoctoan

www.VNMATH.com PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục toạ độ vuơng gĩc Oxyz

trong khơng gian z

 k

 i O  j y

x

 O ( 0;0;0) gọi là gĩc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hồnh

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi một

vuơng gĩc với nhau

    , ,

i j k là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 i

= (1;0;0), j

= (0;1;0), k

= (0;0;1)

 i  j  k 1

và i2 j2 k2 1

 i j

, jk

, k i

  i j  0

,  j k  0

, k i   0

 i j ,   k

,  j k,   i

, k i ,   j

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox M(x;0;0)

 M Oy M(0;y;0)

 M Oz M(0;0;z)

 M (Oxy) M(x;y;0)

 M (Oyz) M(0;y;z)

 M (Oxz) M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:         ( ; ; )

OM xi y j z k M x y z

 Tọa độ của vectở:   1   2   3     ( ; ; )1 2 3

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ

Cho   1; 1; 1, 2; 2; 2

a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta cĩ:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ

    1; 1; 1  1; 1; 1

k a k x y z kx ky kz

4 Độ dài vectơ Bằng hoành2 tung2 cao2

   12 12 12

5 Vectơ khơng cĩ tọa độ là:

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

2

y y y

2

z z z

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là:  

3

; ; 3

A B C

A B C G

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

C B

ba điểm nằm trên 1 đường thẳng

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta

thực hiện các bước sau:

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

C B

www.VNMATH.com

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

 hai vectơ  ,

AB AC không cùng phương   ,  0

AB AC

phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng

Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng

phẳng ta thực hiện các bước sau:

Chú ý:

 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng

ta thực hiện các bước sau:

www.VNMATH.com

AB AC AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc

Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ

Vấn đề 5: Diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC

www.VNMATH.com

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Có tâm I(a;b;c) với

he äsoá xa

-2

he äsoá yb

-2

he äsoá zc

 Gọi I trung điểm ABI ; ;  

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:      

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể

tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp

Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

 Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ

tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến

Phương pháp:

M

n

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và

song song với mp(Q)

Q



A

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực

của đoạn thẳng AB

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A

P)

A

I

B

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

r = d(I,(P))

I

P)

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0 0 0

 Gọi H là giao điểm của d và (P)

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0 0 0

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M

và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của

P

d

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP

www.VNMATH.com

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M

H M M

M M H

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

và vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng

d đi qua M và vuông góc với (P)

www.VNMATH.com www.VNMATH.com www.VNMATH.com

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm

của đoạn thẳng MM’

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M

H M M

M M H

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

(d)

www.VNMATH.com Bước 1:

cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’

o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

0 0 0

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm

o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P)

o Pt(*) có vô số nghiệm t  d nằm trong (P)

Chú ý:

 0t 1 voâ nghieäm.

0t =-2 voâ nghieäm.



0t  0 voâ soá nghieäm

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại

 Nếu tam giác ABC vuông tại B   BC  BA   BC BA.BC 0     

 Nếu tam giác ABC vuông tại C C   CB  CA   CB CA.CB 0     

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’

VUÔNG GÓC với nhau

 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’

Phương pháp:

Do d  d '  a d  a d '  a a  d d '  0  

ta giải pt tìm được tham số

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường

thẳng d’

Cần nhớ:

 Hai đường thẳng song song không có điểm

chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng

không thuộc đường thẳng kia

 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ

phương cùng phương với nhau

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận

   , lập pt hoặc hệ pt để tìm m 6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d:

0 0 0

' ' '' ' '' ' '

 Gọi I là giao điểm của d và d’

 Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:

' ' ' (1) ' ' ' (2) ' ' ' (3)

 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I

7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau

Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a 

của d

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d cĩ phương trình tham số:

0 0 0

 Đường thẳng là tập hợp vơ số điểm

 Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M cĩ tọa độ là: M x  0 at;y0  bt;z0 ct  VẤN ĐỀ 18: GĨC

1/ Gĩc giữa hai đường thẳng là gĩc giữa hai vectơ chỉ phương

cos = cos a,a'   a.a'

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S)

 Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

 Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d  d I, P    

o TH1: d   r (P)  (S)=  (hay (P) và (S) khơng cĩ điểm chung)

o TH2: d   r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ; y ;z )0 0 0 và

vuông góc với đường thẳng d. HD 0 0 0

Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:

- Gọi H là tâm của (C)

Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi

qua tâm I và vuông góc mp(P)

- Gọi r’ là bán kính của (C)

Khi đó: r2  R2  d2   r R2  d2

Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

nên tam giác IMH vuông tại H

Với: R=IM, d=IH=d I, P     và r=MH

H M

d r’

r

1 Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0

đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n

vuông góc với (P), viết tắt là n (P)

- Nếu hai vectơ a, b 

không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: nP a,b

www.VNMATH.com Bài giải HD

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2)

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC

làm vectơ pháp tuyến

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B

www.VNMATH.com Bài giải HD

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB

- Gọi I là trung điểm của ABI 2;2;2 

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2)

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3)

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox

www.VNMATH.com nP AB,AC1;1;1

Bài giảiHD Ñieåm ñi qua O, VTPT nP OM,ON

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm

M(1;2;3) và song song với mp(ABC)

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: aAB AB

www.VNMATH.com Bài giải HD

- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: a OG OG

Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d nP

Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC)

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad nABC AB,AC

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad '

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad '

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad BC

 

=(1;-3;4)

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad i

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d  j 0;1; 0

Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i1; 0; 0

www.VNMATH.com Phương trình các mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: ni, j k0;0;1

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:

y=-1+1=0 H(0;0; 2)z=-2.1=-2

 Viết phương trình tham số của đường thẳng d

- Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ad 1;1; 2 

 Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

www.VNMATH.com

t+4-4=0-2+2t=02t=2t=1x=-1+1=0y=-1+1=0 H(0;0; 2)z=-2.1=-2

Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước

Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P)

Bài giải

 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

- Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1)

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: aAB AB

 

=(1;-3;2)

- Pt tham số của AB là:

0 0 0

 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P)

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

5t=-5 t=-1x=-1

BC

Hướng dẫn:

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC

- Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC

- Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau a ad d ' 0

www.VNMATH.com Bài giải

- Đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương: a 1; 3;2 

- Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuơng gĩc với nhau

Cần nhớ: Để CM hai đt vuơng gĩc với nhau ta đi chứng minh tích vơ hướng của hai VTCP

- Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuơng gĩc với nhau

Bài 3: Chứng minh đường thẳng d:

- Vậy: Đường thẳng d vuơng gĩc với trục Ox

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau

Cần nhớ: Hai đt song song khơng cĩ điểm chung:

Ta chứng minh hai VTCP cùng phương

điểm đt này không đt kia

- Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1)

- Đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương: a1;1;1

www.VNMATH.com Cách 1: a và a' cùng phương do  1 1 1

2 2  2

Cách 2: Do a' =2 a nên a và a' cùng phương

Cách 3: Do a,a'    0;0;0 0 nên a và a' cùng phương

+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng khơng thuộc d’

Thế tọa độ điểm A vào pt của d’:

suy ra A khơng thuộc d’

Vậy: d và d’ song song với nhau

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’ ba t bằng nhau A d'

ba t không bằng nhau A d'

Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương

và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng khơng thuộc đường thẳng kia

Đề thi Tốt nghiệp năm 2008

- Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OM cĩ vectơ chỉ phương: OM   2;1; 2 

Vậy: Đt OM song song đường thẳng d

Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d ba phân số bằng nhau d

ba phân số không bằng nhau d

và điểm thuộc đt nhưng khơng thuộc mp

Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: