Đề hsg toán 9 vòng 1

Cho tam giác ABC vuông tại A.. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB.. Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi M, N lần lượt là hình chi

PHÒNG GD & ĐT

HUYỆN ĐỨC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ THI CÁ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

Phần 1 Từ câu 1 đến câu 10 chỉ viết đáp số

Câu 1 Kết quả rút gọn biểu thức:

Câu 2 Cho a b 29 12 5 2 5 Tính giá trị của biểu thức:

Ba (a 1)2  b (b 1) 11ab2   2015

Câu 3 Tìm tập nghiệm của phương trình x2 5x 1 (x  5) x21

Câu 4 Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5  0

Câu 5 Cho đường thẳng (d): y x 2m 1 (với m là tham số) Gọi H là hình chiếu của

O trên (d) Xác định giá trị của m để OH 1

2



Câu 6 Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Câu 7 Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp

(với a, b, c là các số tự nhiên) Ba số đó là những số nào?

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, AC Biết độ dài BN 2sin , CM2cos với 0o   90o Tính độ dài đoạn

MN

Câu 9 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB = 13cm, CD = 12cm

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm Tính độ dài

đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Phần 2 Câu 11, 12 trình bày lời giải đầy vào tờ giấy thi

Câu 11 Cho hình bình hành ABCD M là điểm trên cạnh AB sao cho AM 1AB

3

 , N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BMN, I là giao điểm của AG và BC Tính tỉ

sốGA

GI và

IB

IC

Câu 12 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a4 b4 c4 3 Chứng minh rằng:

1

-Hết -

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Từ câu 1 đến câu 10 mỗi câu 1 điểm

3 Tập nghiệm của phương trình là S2 6;2 6 1,5

4 x 1; y 1; z 2

5

CMHN

10 AD 20 2

3

11

G

P

B E

M A

I

Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD Đặt AB = a

Theo định lí Ta-lét ta có:

2 AB

1

2





5a CP

6

  ; Suy ra IB AB 6

GP GN  2 nên GA 1

AP 3(1)

Mà IA IB 6

IA   6  AP 11

AP 11 kết hợp với (1) ta được GI AI GA 6 1 7

AP AP  AP 11 3 33 (2)

0,5

0,5

0,5

Chia theo vế cả (1) và (2) ta đượcGA 11

GI  7 Tóm lại GA 11

GI  7 và IB 6

IC 5

0,5

0,5

12

2 2

2 2

2 ab 2 ab

4 a b 0

 2

2 2

82aba b  9 ab 1 9 Do đó

1



Tương tự:



 



 



Bởi vậy

1

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN 1

Hướng dẫn

Ta có :

2

2

A = x - 50 - x + 50 x + x - 50

A = x - 50 + x + 50 - 2 x - 50 x + x - 50

A = 2x - 2 x - 50 x + x - 50

A = 2 x - x + 50

A = 100

Nên A = -10

Câu 2 Cho a b 29 12 5 2 5 Tính giá trị của biểu thức:

Ba (a 1) b (b 1) 11ab  2015

Hướng dẫn

(a b)(a b ab) a b 11ab 2015

3(a b ab) a b 11ab 2015

4(a2 2abb )2 20154(ab)220152051

Câu 3.Tìm tập nghiệm của phương trình 2 2

x 5x 1 (x  5) x 1

Hướng dẫn

x  1 5x (x5) x 1

x 1( x  1 x) 5( x  1 x)0

( x  1 x)( x   1 5) 0



2

 

 

 

 

 Vậy tập nghiệm phươngtrình là S2 6; 2 6

Câu 4 Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5  0

Hướng dẫn

Phân tích được thành (2x - y)2 + (3y – z + 1)2 + ( z - 2)2  0 (1)

Vì (2x - y)2  0; (3y – z + 1)2  0; ( z - 2)2  0 với mọi x, y, z nên từ (1) suy ra

Câu 5 Cho đường thẳng (d): y x 2m 1 (với m là tham số) Gọi H là hình chiếu của

O trên (d) Xác định giá trị của m để OH 2

2



Hướng dẫn

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A2m 1;0 

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B0; 2m 1  

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 1 2 1 2 12

OH OA OB Hay





Câu 6 Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Hướng dẫn

Ta có:n24k ;n2 65h2  2  2

k h k h 89 1.89

2 – 24 = 2001

Câu 7 Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp

(với a, b, c là các số tự nhiên) Ba số đó là những số nào?

Hướng dẫn

Gọi ba số liên tiếp cần tìm là n-1, n và n+1 Tổng của ba số này là 3n

Mặt khác (a – b +2015) + (b – c +2015) + (c – a +2015) = 3.2015

Suy ra n = 2015 Vậy ba số cần tìm là 2014, 2015 và 2016

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, AC Biết độ dài BN 2sin  ; CM2cos với 0o   90o.Tính độ dài đoạn

MN

Hướng dẫn

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác MAC,

NAB ta có:

BN  AN  AB ;CM  AM  AC

Do sin2 cos2 = 1 nên MN 2 5

5



B

A

C

Câu 9 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB

= 13cm, CD = 12cm

Hướng dẫn

Ta có CHN ABC (g.g)

CHN ABC

S : S

ABC

1

S 13.6 39(cm )

CHN

CMHN

O H

N

M

D

C

B A

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm Tính độ dài

đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Hướng dẫn

B

A

ABC ABD ADC

AB AC AD.sin45  AB.ACAB AC AD.  2  2  1  1

Với AB = 12 cm; AC = 15 cm Ta có: 2  1  1

3