Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.. 5,0 điểm Cho tam giác đều ABC, Gọi M là trung điểm của BC.. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB,
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
- Khóa ngày 06/11/2011
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (2 điểm) Có hay không các số tự nhiên m và n thỏa mãn đẳng thức sau:
1
4
+
× − + + − =
Bài 2 (3 điểm)
a Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
b Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 2
a b c+ + = và a + b + c = abc thì 12 12 12 2
a +b +c = .
Bài 3 (5,0 điểm)
a Thực hiện rút gọn biểu thức A = 94 42 5− − 94 42 5+
b Cho biểu thức
2 2
a a
= + ÷ − + ÷ +
Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 4 (5,0 điểm)
a Giải phương trình
( )
3
3
x 1
x 1
−
−
b Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = − + − + −
Bài 5 (5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC, Gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm
M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E Chứng minh:
a) BD.CE = BC2
4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của ·BDEvà ·CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
-Heát -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9, HUYỆN GIỒNG RIỀNG
Trang 2Đặt A 1(m n)(m n) 1 ( 1)m + n
* Nếu m = n thì m – n = 0 ; vế trái A = 0 ≠2011, nên khơng khơng xảy ra
* Nếu m n≠ :
+ Khi m và n đều chẵn:
Ta cĩ m – n = 2k ; m + n = 2l ( với k ; l ∈¥ )
⇒ A = 1
4.2k.2l.[1 + (−1)2k] = 2kl ≠2011 ( ( )2k )
do 1− =1
+ Khi m chẵn, n lẻ:
Thì m + n = 2k + 1 (tương tự khi m lẻ, n chẵn)
⇒[1 + (−1)2k +1] = 0 ⇒ A ≠2011
∙ Vậy khơng cĩ hai số tự nhiên m và n để thỏa mãn đẳng thức trên
Bài 2 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
⇔(a – b)2
+ (b – c)2 + (c – a)2 = 0
a b 0
b c 0 tổng các bình phương bằng 0 Tất cả các cơ số bằng không
c a 0
− =
− =
⇔a = b = c
b) Từ giả thiết 1 1 1 2
a b c+ + = 2
1 1 1
4
a b c
⇒ + + ÷ =
ab bc ac
⇔ + + + + + ÷=
abc
+ +
⇔ + + + × ÷=
2.1 4
⇔ + + + = ( do a + b + c = abc )
2
⇔ + + =
Bài 3 (5 điểm)
a) A = 94 42 5− − 94 42 5+
= ( ) (2 )2
7 3 5− − 7 3 5+ = −7 3 5 − +7 3 5 = −7 3 5 7 3 5− − = −6 5
b)
2
2
a a
= + ÷ − + ÷ +
Hãy rút gọn, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M ?
ĐK: a 0≠
M =
2
= a 2 4 16 a 2 2 64
+ − + +
=
2 2
2
a
÷
=
2
2
a
+ −
= + + − = − +
Trang 32 3 1 1
1 2
X
M
A
D
E Y
a a vì a 0
= − ÷ = − ÷ − ÷ ≥ ÷÷
2
= − ÷ ≥ ⇔ − = ⇔ = ± ÷
Min M = 0 ⇔ a =± 2 ( thõa điều kiện a≠0 )
Bài 4 (5 điểm) a) Giải phương trình:
( )
3
3
x 1
x 1
−
− (ĐK: x≠1)
( )
2
2
⇔ + − ÷ − − + − ÷= − × − (*)
Mà
( )
2 2
2
2
x 1
t x
− +
(*)⇔t(t2
– 2t – t) = 2 – 3t ⇔ t3
– 3t2 + 3t – 1 = 1 ⇔(t – 1)3
= 1 ⇔t – 1 = 1 ⇔ t = 2
x 1= ⇒ − + = ⇔ − = − ⇔ ∈∅
−
Vậy phương trình vơ nghiệm
b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = − + − + − (**)
điều kiện: x 2 ; y 3 ; z 5≥ ≥ ≥
(**) ⇔(x 2) 2 x 2 1− − − + + (y 3) 4 y 3 4− − − + + (z 5) 6 z 5 9− − − + =0
x 2 1 0
y 3 2 0
z 5 3 0
− − =
⇔ − − =
− − =
x 3
y 7
z 14
=
⇔ =
=
(thõa điều kiện)
Bài 5 (5 điểm)
a/ Trong ∆BDM ta cĩ D¶1=120Ο−M¶ 1
Vì M¶ 2 =60Ο⇒M¶ 3=120Ο−M¶ 1
Chứng minh ∆BMD ∆CEM (1)
BD.CE BM.CM
2
= = Nên BD.CE BC2
4
= b) Từ (1) BD MD
⇒ = Mà BM = CM
Nên : BD MD
⇒ = và B Mµ = ¶ 2 =60Ο
BMD
⇒ ∆ ∆MED (c – g – c )
Trang 4K H
M
A
D
E
Chứng minh tương tự:
CME
∆ ∆MDE (c – g – c )
⇒Eµ1=E¶2, do đó EM là tia phân giác của ·CED
c) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh: DH = DI ; EI = EK
Chu vi của ∆ADE là
AD + AE + DE = AD + AE + DI + IE
= AD + DH + AE + EK
= AH + AK
= 2AH ( Do M thuộc tia phân giác của ·BAC)
Mà M cố định nên AH không đổi
Vậy Chu vi ∆ADE không đổi