bChứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x.. Xác định m để diện tích tam giác AOB bằng 4 đvdt c Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định... Vẽ BH là đường cao
Trang 1UBND HUYỆN KRÔNG NÔ
PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC
Môn Thi : TOÁN
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 2 điểm ) : Cho A =
x x
x
−
− +
+ 1 1
1
-
1 1
1
2 + −
−
−
x x x
a)Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa
b)Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x
Bài 2 : ( 2 điểm ) Cho hai số a , b thoả mãn điều kiện 2a + 3b = 5
Chứng minh rằng 2a2 + 3b2 ≥ 5
Bài 3 : ( 2 điểm ) Cho hàm số y = 2mx – 2m –1 ( m ≠ 0 )
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O
b) Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục Ox , Oy Xác định m để diện tích tam giác AOB bằng 4 ( đvdt )
c) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = 9x2 −6x+1 + 25−30x+9x2
Bài 5 ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 4 nếu 2 ≤m≤0
2 2
2 m−2 nếu m > 6 Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau :
x +
4
1 2
1+ +
Bài 7 : ( 2 điểm ) Cho biểu thức :
S = a2 + b2 + c2+ d2 + ac + bd trong đó ab – bc = 1
a) Chứng minh rằng S ≥ 3
b) Tính giá trị của tổng ( a + b )2 + ( b + d)2 khi biết S = 3
Bài 8 : ( 3 điểm ) Cho hai đường tròn ( O ; R ) và ( O’ ; r’ ) tiếp xúc ngoài tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B ∈ (O) ; C ∈ (O’) )
a) Tính BC
b) Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O ( D ≠ A ) Chứng minh rằng ba điểm B ,
O , D thẳng hàng
c) Tính BA biết R = 16 cm ; r’ = 9 cm
Bài 9 : ( 2 điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a , CA = b , BC = c
Chứng minh rằng :
a) sin
2
A
≤
c b
a
+ b) sin
2
A
sin 2
B
sin 2
C
≤ 8 1 Bài 10 : ( 1 điểm ) Cho ∆ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc A là AD
= d Chứng minh rằng :
d2 =
b
1 +
c
1
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Trang 2UBND HUYỆN KRÔNG NÔ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn Thi : TOÁN
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 2 điểm ) :
a) tìm đúng điều kiện ( 0,75 điểm )
1-x ≥ 0
1- x2 ≥ 0 ( 0,25 điểm ) x ≤ 1 (0,25 điểm ) x ≠ 0 ( 0,25 điểm)
x
+
1 ≠ 1−x x ≠ 1 -1 x≤ < 1
2
1 x− ≠ 1 - x
b) 1,25 điểm
A =
x x
x
−
−
+
+
1 1
1
-
1 1
1
2 + −
−
−
x x
x
) 1 ( ) 1 (
) 1 1
( 1
x x
x x
x
−
− +
− + + +
-
2 2
2
2
) 1 ( ) 1 (
) 1 1
)(
1 (
x x
x x
x
−
−
−
− +
−
−
0,25điểm
A =
) 1
(
1
1
x x
x x
−
−
+
− +
2 2
2
2 1 1
) 1 1
)(
1 (
x x x
x x
x
− +
−
−
− +
−
A =
x
x x
2
1
1+ + − 2 -
) 1 ( 2
) 1 1
)(
1
x x
x x
x
−
− +
−
A =
x
x x
x x
2
) 1 1
( 1
Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào x 0,25 điểm
Bài 2 : ( 2 điểm )
Aùp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a – cốp – Ski
(ax + by)2 ≤ ( a2+ b2) (x2 + y2)
Ta có :
52= (2a + 3b )2 = ( 2 2 a + 3 3 b )2 ≤ ( 2 + 3 ) ( 2a2 + 3b2)
=> 2a2 + 3b2 ≥5
Dấu đẳng thức xảy ra
2
2a
= 3
3b
2a + 3b= 5
a = b = 1
Bài 3 : ( 2 điểm )
a) Đồ thị đi qua gốc toạ độ suy ra x = 0 , y = 0 thay vào hàm số y = mx – 2m – 1 ta có :
-2m – 1 = 0 m =
-2 1
b) A là giao điểm của đồ thị với trục Ox ta có y = 0 thay vào hàm số ta được x =
m
m 1
2 +
B là giao điểm của đồ thị với trục Oy ta có y = 0 thay vào hàm số ta được y = -2m – 1
Vậy A
m
m 1
2 + ; 0 ; B ( 0 ; -2m-1 ) Diện tích tam giác là :
Trang 3S =
2
1
OA OB =
2
1
A
X X = B
2
1
m
m 1
2 +
−2m−1 =
m
m
2
) 1 2 ( + 2
Ta có S = 4 ( 2m + 1 )2= 8 m ( 2m – 1 )2= 0 m =
2 1
c) Giả sử đồ thị hàm số đi qua điểm M( x0, y0 ) với mọi m Ta có : y0 = mx0-2m-1
y0 + 1 = m (x0- 2 ) Với mọi m
x0 - 2 = 0
y0 + 1 = 0
x0 = 2
y0 = -1
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm cố định M ( 2 ; -1 )
Bài 4 : ( 2 điểm )
A = 9x2 −6x+1 + 25−30x+9x2 = (3x−1)2 + (5−3x)2
= 3x−1 + 5−3x
Aùp dụng a + b ≥ a+b Dấu “=” xảy ra khi a.b ≥ 0
A = 3x−1 + 5−3x ≥ 3x−1+5−3x = 4 = 4
Vậy khi A = 4
3
1 ≤x≤
3 5
Bài 5 : ( 2 điểm )
007A Điều kiện VT có nghĩa : m-2 ≥ 0 => m≥2 (1)
Đặt t = m−2 => m = t2+ 2
Hay VT = m−2 + 2 + m−2−2
Nếu m−2 - 2 ≤0 => m ≤6 Kết hợp với (1) ta có :
VT = m−2 + 2 – ( m−2 - 2 ) = 4
Nếu m−2 -2 > 0 => m > 6 thì VT = 2 m−2
4 nếu 2≤m≤6 Tóm lại :VT =
2 m−2 nếu m>6
Bài 6 : ( 2 điểm ) Giải phương trình sau :
x +
4
1 2
1
+ +
-4
1
x
≤ < 1
x +
4
1 4
1 2
1 2 ) 4
1 (x+ + x+ + = 1
2
1 4
1 ( x+ + = 1
x +
4
1 +
2
1 = 1
x +
4
1
+
4
1 +
4
1 = 1
4
1 +
2
1
x + 4
1 = 4
1 => x = 0 Bài 7 : ( 2 điểm )
a) ( ad – bc )2 + ( ac + bd )2 = a2d2+b2c2+a2c2+b2d2
Trang 4= (a2+b2) (c2+d2)
Vì ab – bc = 1 Nên 1 + ( ac + bd )2= (a2+b2) (c2+d2) (1) Aùp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai vế không âm ta có :
a2+b2+ c2+d2 ≥2 (a2 +b2)(c2 +d2)
S ≥ac+bd+2 (a2 +b2)(c2 +d2) (2)
Từ (1) và (2) suy ra S ≥(ac+bd)+2 1+(ac+bd)2
Đặt x = ac + bd
Ta có : S ≥(x+2 1+x2)2 = (1 + x2) + 4x 1 x+ 2 +4x2 + 3 = ( 1 x+ 2 +2x)2+3 Từ đó : S2 ≥( 1+x2 +2x) 2+3 ≥3
Do đó S ≥ 3
b) S ≥ 3
a2+b2= c2+d2
2
1 x+ + 2x = 0
Từ 1 x+ 2 +2x = 0 => x<0 ; 1 x+ 2 = -2x
Tính được x = ±
3
1
Vì x< 0 nên giá trị x = -
3 1 Bài 8 ( 2 điểm )
a) IO ⊥ IO’ ( tia phân giác của hai góc kề bù )
Suy ra OIO’ = 900
Tam giác IOO’ vuông , đường cao AI Suy ra AI2= OA O’A = R r
Do đó BC = 2 IA = 2 R r
b) Các tam giác cân O’AC và OAD có các góc ở đáy bằng nhau suy ra
OD // O’C
Ta lại có OB // O’C
Vậy B , O , D thẳng hàng
c) Xét tam giác vuông BDC theo hệ thức lượng ta có :
2
1
4
1
r R.
4
1 =
r R
r R
4 2
+
Suy ra BA =
r R
r R
+
2
= 5
3 16 2 = 1,92 cm2
Bài 9 : ( 2 điểm )
Trang 5A
B D C
a) Vẽ AD là đường phân giác của tam giác ABC Vẽ BH là đường cao của tam giác ABD Tam giác ABC có AD là phân giác nên :
AB
BD
=
AC
DC
=>
AB
BD
=
AC AB
DC BD
=
+ =
AC AB
BC
+ Vậy
AB
BD
=
c b
a
+ Do đó BH vuông góc với AN nên BH ≤ BD b) Tam giác HAB vuông tại H nên sin BAH =
AB
BH
=> sin
2
A
=
AB
BH
≤
AB
BD
=
c b
a
+ Tương tự ta có sin
2
B
=
a c
b
+ , sin 2
C
=
a b
c
+
Do đó sin
2
A
sin
2
B
sin 2
C
) )(
)(
(
b a c a c b
c b a
+ + +
≤ Theo bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có :
b +c ≥ 2 bc ; a+c ≥2 ac ; b + a ≥2 ba
Nên (b+c)(a a.+b.c c)(a+b) ≤81 Vậy sin
2
A
sin 2
B
sin 2
C
8
1
≤ . Bài 10 : ( 2 điểm )
A
D
Vẽ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ( E∈AB , F ∈ AC )
Tứ giác AFDE là hình chử nhật ( Vì Â = E = F = 900 )
Có tia AD là phân giác của góc ADE
tứ giác AFDE là hình vuông
DE = DF =
2
2
2
2
d
S∆DAB + S∆DAC = S∆ABC
Trang 61
DE AB 6 +
2
1
DF AC =
2
1
AB AC
=>
2
2
d c +
2
2
d b = bc
=>
d2 =
b
1
+
c
1