Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Qua A kẻ đường vuông góc với DE cắt DE tại K.. Tính góc AHM.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 90 phút
Đề bài:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - x - 2010.2011
b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12
Bài 2: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
Bài 3:
a) Rút gọn phân thức: ( ) ( ) ( )
3
b) Tìm các số x,y,z sao cho: x2 +4y2 + z2 +14 = 2x + 12y + 4z
Bài 4: Tìm dư trong phép chia đa thức A = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2011
cho đa thức B = x2 +8x + 12
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD=HA Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E Qua A kẻ đường vuông góc với DE cắt DE tại K
a) Tứ giác AHDK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AE = AB
c) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM
Đáp án + Biểu điểm:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - x - 2010.2011=(x2 - 2011x)+(2010x - 2010.2011)=(x-2011)(x+2010) 1đ b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) – 12.Đặt x2 - x + 1=t, ta có:
Thay x2 - x + 1=t, ta có:
Bài 2: Đặt 11…1=a (n chữ số 1), suy ra 10n=9a+1 Ta có:
A = 11…100….0+11…1 + 4.11…1+1
= 11 1.10 n +5.11 1+1
= a.(9a+1) +5a + 1= (3a+1) 2 là số chính phương 1đ
Bài 3:
a) Rút gọn phân thức:
3
x y z x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx
b) Ta có:
x2 +4y2 + z2 +14 = 2x + 12y + 4z
⇔ x2 +4y2 + z2 +14 - 2x - 12y - 4z = 0
⇔(x-1)2+(2y-3)2+(z-2)2=0⇔ x=1, y=3/2, z=2 1đ
Trang 2Bài 4: Ta có: B = x2 +8x + 12
A = (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2011
= (x2 +8x + 7)(x2 +8x + 15)
= (B - 5)(B + 3)
= B2-2B-15
c) Chứng minh được H,M,K thẳng hàng và suy ra góc AHM bằng 450 1đ