ĐỀ THI HSG TOÁN 9 VÒNG 2 ĐỨC THỌ 20152016 VÀ HÀ TĨNH 20152016

Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.. Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC.. Tính độ dài đường phân giác trong AD của tam giá

PHÒNG GD & ĐT

HUYỆN ĐỨC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ THI CÁ NHÂN.

Thời gian làm bài: 90 phút.

Phần 1 Từ câu 1 đến câu 10 chỉ viết đáp số.

Câu 1 Kết quả rút gọn biểu thức:

A = x 50  x + 50 x + x2  50 với x 50

Câu 2 Cho a b  29 12 5 2 5  Tính giá trị của biểu thức:

B a (a 1) b (b 1) 11ab 2015 2   2   

Câu 3 Tìm tập nghiệm của phương trình x2 5x 1 (x 5) x   2 1

Câu 4 Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5  0

Câu 5 Cho đường thẳng (d): y x 2m 1   (với mlà tham số) Gọi H là hình chiếu của

O trên (d) Xác định giá trị của m để OH 1

2



Câu 6 Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Câu 7 Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp

(với a, b, c là các số tự nhiên) Ba số đó là những số nào?

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, AC Biết độ dài BN 2sin , CM 2cos  với 0o   90o Tính độ dài đoạn MN

Câu 9 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB = 13cm, CD = 12cm

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm Tính độ dài

đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Phần 2 Câu 11, 12 trình bày lời giải đầy vào tờ giấy thi

Câu 11 Cho hình bình hành ABCD M là điểm trên cạnh AB sao cho AM 1AB

3

 , N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BMN, I là giao điểm của AG và BC Tính tỉ số GA

GI và

IB

IC

Câu 12 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a4 b4 c4  Chứng minh rằng: 3

1

4 ab 4 bc 4 ca     

-Hết -ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Từ câu 1 đến câu 10 mỗi câu 1 điểm

3 Tập nghiệm của phương trình là S2 6; 2 6  1,5

4 x 1; y 1; z 2

5

CMHN

10 AD 20 2

3

11

G

P

B E

M A

I

Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD Đặt AB = a

Theo định lí Ta-lét ta có:

2 AB

1

2





5a CP

6

  ; Suy ra IB AB 6

IC CP 5 Vì

GP GN 2 nên

GA 1

AP 3(1)

0,5

0,5

Mà IA IB 6

IP IC 5 

IA  6 

AP 11

IA 6 

IA 6

AP 11 kết hợp với (1) ta được GI AI GA 6 1 7

AP AP  AP 11 3 33  (2) Chia theo vế cả (1) và (2) ta đượcGA 11

GI 7 Tóm lại GA 11

GI 7 và

IB 6

IC 5

0,5

0,5

0,5

12

2 2

2 2

2 ab 2 ab

và 3 a 4 b4 c4 a4 b4 a2  b222a b2 2 2a b2 2  4 a b 2 2 0

 2

2 2

8 2ab a b   9 ab 1 9 Do đó

1



Tương tự:

4 4



 

4 4



 

 Bởi vậy

2 2 2

1

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN 1 Câu 1 Rút gọn biểu thức: A = x 50  x + 50 x + x2  50 với x 50

Hướng dẫn

Ta có :

2

2

A = x - 50 - x + 50 x + x - 50

A = x - 50 + x + 50 - 2 x - 50 x + x - 50

A = 2x - 2 x - 50 x + x - 50

A = 2 x - x + 50

A = 100

Nhưng do theo giả thiết ta thấy A = x - 50 - x + 50 x + x - 502 <0

Nên A = -10

Câu 2 Cho a b  29 12 5 2 5  Tính giá trị của biểu thức:

B a (a 1) b (b 1) 11ab 2015     

Hướng dẫn

Ta có: a b  29 12 5 2 5    3 2 5  2  2 5 3 2 5 2 5 3    

3 3 2 2

B a  b a b  11ab 2015 (a b)(a 2 b2 ab) a 2 b2  11ab 2015

3(a b ab) a b 11ab 2015

4(a2  2ab b ) 2015 4(a b) 2    22015 2051

Câu 3. Tìm tập nghiệm của phương trình x2 5x 1 (x 5) x   2 1

Hướng dẫn

x 5x 1 (x 5) x   1  x2  1 5x (x 5) x  2 1

 x2  1 5x x x 2  1 5 x2  1 0 x2 1( x2  1 x) 5( x 2  1 x) 0

 ( x2  1 x)( x2  1 5) 0

2

x 0

x 1 25

 



x 2 6

 

 





Vậy tập nghiệm phươngtrình là S2 6; 2 6 

Câu 4 Tìm x, y, z biết 4x2 + 10y2 + 2z2 – 4xy – 6yz + 6y – 6z + 5  0

Hướng dẫn

Phân tích được thành (2x - y)2 + (3y – z + 1)2 + ( z - 2)2  0 (1)

Vì (2x - y)2  0; (3y – z + 1)2  0; ( z - 2)2  0 với mọi x, y, z nên từ (1) suy ra

x ; y ; z 2

Câu 5 Cho đường thẳng (d): y x 2m 1   (với mlà tham số) Gọi H là hình chiếu của

O trên (d) Xác định giá trị của m để OH 2

2



Hướng dẫn

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A2m 1;0 

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B0; 2m 1  

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 1 2 1 2 12

OH OA OB Hay

A B

m 0







Câu 6 Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Hướng dẫn

Ta có:n 24 k ;n 65 h  2   2  2   2 

k 24 h 65

k h k h   89 1.89

k h 1 h 44

  Vậy: n = 452 – 24 = 2001

Câu 7 Biết rằng (a – b +2015), (b – c +2015) và (c – a +2015) là ba số nguyên liên tiếp

(với a, b, c là các số tự nhiên) Ba số đó là những số nào?

Hướng dẫn

Gọi ba số liên tiếp cần tìm là n-1, n và n+1 Tổng của ba số này là 3n

Mặt khác (a – b +2015) + (b – c +2015) + (c – a +2015) = 3.2015

Suy ra n = 2015 Vậy ba số cần tìm là 2014, 2015 và 2016

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, AC Biết độ dài BN 2sin  ; CM 2cos  với 0o   90o.Tính độ dài đoạn MN

Hướng dẫn

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác MAC,

NAB ta có:

BN  AN  AB ;CM  AM  AC

4(sin cos ) 5(AN AM ) 5MN

Do sin2 cos2 = 1 nên MN 2 5

5



Câu 9 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H; Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN biết AB

= 13cm, CD = 12cm

Hướng dẫn

Ta có CHNABC (g.g)

CHN ABC

S : S

Ta lại có:    2

ABC

1

S 13.6 39(cm )

CHN

36 108

169 13

CMHN

O H

N

M

D

C

B A

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 12 cm; AC = 15 cm Tính độ dài

đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Hướng dẫn

B

A

AC.AB 2S 2S 2S AB.AD.sin 45 AC.AD.sin 45

B

A

C

 

AB AC AD.sin 45  AB.AC ABAC AD. 2  2  1  1

Với AB = 12 cm; AC = 15 cm Ta có: 2 1  1

AD 12 15

3

PHÒNG GD & ĐT

HUYỆN ĐỨC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN - LỚP 9

Thời gian làm bài: 50 phút.

Câu 1 Tính tổng

2

( n là số tự nhiên chẵn)

Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2015  y(y 1)(y 2)(y 3) 1   

Câu 3 Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 6x2  3xy x  1 y và x2  y2 1

Câu 4 Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến

AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm

Câu 5.Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 360 Tính tỉ số AB

BC

Hết ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

1

Ta biến đổi số hạng tổng quát như sau:

2



0.5

1 1  1  1 1  1 1

2

 n  n n  n n  n

0.5

1

2

 n  n (Với n là số tự nhiên chẵn)

0.5

3

1

11 1 665

2

0.5

2 ĐK: y y( 1)(y2)(y3) 0

Pt (1)  x2015 1 (y23y1)2 1 0.5

Đặt: y2 3y 1 a a Z(  ); Vì x nguyên nên x2015  1 nguyên, suy ra 0.5

a  1 k (k Z)   a  k  1 (a k)(a k) 1    k 0 0.5

/ /

//

//

6 9

N

B

(y 3y 1) 1

2 2



  



(thỏa mãn)

Vậy có 4 cặp nghiệm nguyên x y;  1;0 , 1; 1 , 1; 2 , 1; 3          

0.5

3

Từ 6x2  3xy x  1 y  6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0

 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0  3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 2

 (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 

1

3





  

Kết hợp với x2  y2 1ta có:

2 2

1 1

3 3

2 2 1

3









x x

và 2 2

1





Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) 

0;1 ; 4; 3 ; 1 2 2; ; 1; 2 2

4

Đặt AB = x ; AN = y  AC = 2y

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với

cạnh huyền ta được

BC = 2AM = 2.6 = 12 cm

1

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại

A

Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81  y2 = 81 – x2 (2) 0.5

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 15

0.5

Vẽ BD là phân giác trong của tam giác ABC

Ta có ABD 36 0; BDC ACB 72  0

Suy ra ADB và BDC cân nên DA = DB = BC

AB DA

BC DC 



AC.BC AB.BC DC

Mặt khác DC = AC – AD = AB – BC suy ra AB.BC AB BC

AB BC   

0.5

2

1 0



2

0.5

Do đó AB 1 5

BC 2  2 Vậy





0.5

D

C B

A

Câu 1 Tính tổng

2

Hướng dẫn

Ta biến đổi số hạng tổng quát như sau:

2



1 1  1  1 1  1 1

2

 n  n n  n n  n

1  3  3

2

 n  n (Với n là số tự nhiên chẵn)

Câu 2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2015  y(y 1)(y 2)(y 3) 1    

Hướng dẫn

ĐK: y y( 1)(y2)(y3) 0

Pt (1)  x2015 1 (y23y1)2 1

Đặt: y2 3y 1 a a Z(  ); Vì x nguyên nên x2015  1 nguyên, suy ra

a  1 k (k Z)   a  k  1 (a k)(a k) 1    k 0

/ /

// //

6 9

N

B

(y 3y 1) 1

2 2



  



(thỏa mãn)

Vậy có 4 cặp nghiệm nguyên x y;  1;0 , 1; 1 , 1; 2 , 1; 3          

Câu 3 Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn 6x2  3xy x  1 y và x2  y2 1

Hướng dẫn

Từ 6x2  3xy x  1 y  6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0

 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0  3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0

 (2x – y + 1)(3x – 1) = 0 

1

3





  

* Kết hợp với x2 y2 1ta có:

2 2

1 1

3 3

2 2 1

3









x x

và 2 2

1





Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y)  0;1 ; 4; 3 ; 1 2 2; ; 1; 2 2

Câu 4 Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến

AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm

Hướng dẫn:

Đặt AB = x ; AN = y  AC = 2y

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được

BC = 2AM = 2.6 = 12 cm

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A

Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) và x2 + y2 = 81  y2 = 81 – x2 (2)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình :

x2 + 4( 81 – x2 ) = 144

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 15

Trả lời: AB = 2 15 cm

Câu 5.Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 360 Tính tỉ số AB

BC

Hướng dẫn

Vẽ BD là phân giác trong của tam giác ABC

Ta có ABD 36 0; BDC ACB 72  0

Suy ra ADB và BDC cân nên DA = DB = BC

AB DA

BC DC 



DC

Mặt khác DC = AC – AD = AB – BC suy ra

AB.BC

AB BC

AB BC   

2

1 0



2

Do đó AB 1 5

BC 2  2 Vậy





D

C B

A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

Mã đề 01

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:

b

a 15

10 12 18

Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng Cần lấy

ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:

a Màu đỏ.

b Cùng màu.

6161 616161 61616161 61

Câu 4 Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2  x 1 0  Giá trị của biểu thức

3

A  a  a là bao nhiêu?

Câu 5 Tìm số nguyên n biết n2  4n là số chính phương 7

Câu 6 Tìm nghiệm của phương trình 4x2  6x  1 4 6x 4

Câu 7 Tìm nghiệm của hệ phương trình:

2

2





Câu 8 Cho a 1 1 và 1

1

n n

n

a a

na

 

 với mọi n 1,n  Tìm a64?

1 ( 1)

a

P a

  

 với a 0 là bao nhiêu?

Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7 Đường phân giác trong

của góc A và B cắt nhau tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N Tìm chu vi tam giác MNC

II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.

a Chứng minh tam giác INP đều.

b Giả sử IA là phân giác của góc NIP Tính số đo của góc BCP.

Câu 12 Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số a b, nào đó thỏa mãn a b  2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a 1,b 1.

Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?

HẾT

Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

- Giám thị không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi có 01 trang gồm 12 câu)

Mã đề 02

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng Cần lấy

ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên:

a Màu đỏ.

b Cùng màu.

Câu 2: Tìm số a, b trong sơ đồ sau:

a

b 15

10 12 18

6161 616161 61616161 61

Câu 4 Tìm nghiệm của phương trình 4x2  6x  1 4 6x 4

Câu 5 Tìm nghiệm của hệ phương trình:

2

2







Câu 6 Gọi a là nghiệm âm của phương trình x2  x 1 0  Giá trị của biểu thức

3

A  a  a là bao nhiêu?

Câu 7 Cho a 1 1 và 1

1

n n

n

a a

na

 

 với mọi n 1,n  Tìm a64?

( 1)

a

P a

  

 với a 0 là bao nhiêu?

Câu 9 Tìm số nguyên n biết n2  4n là số chính phương 7

Câu 10 Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7 Đường phân giác trong

của góc A và B cắt nhau tại O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N Tìm chu vi tam giác MNC

II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.

a Chứng minh tam giác INP đều.

b Giả sử IA là phân giác của góc NIP Tính số đo của góc BCP.

Câu 12 Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số a b, nào đó thỏa mãn a b 2 thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số a 1,b 1.

Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?

Lưu ý: -Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh……….Số báo danh……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Hướng dẫn chấm

HƯỚNG DẪN CHẤM

Mã 01

Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

Đáp số: a=11; b=13.

Quy luật: Số nằm hằng trên bằng trung bình cộng của hai số nằm hàng kề

dưới

b Đáp số: 7 (theo nguyên lý Dirichle)

Câu 4

Đáp số: 2

Ta có 1 5

2

3 3

9 4 5

2.

Câu 6

4

PT (2x+3) 2 =( 6x  +2)4 2 Với x 2

3



 ta có 2x+3 > 0 nên

Pt  2x+1 = 6x  4

Câu 7

Đáp số: (x;y) =(1;1); ( 1

2

 ;-2); (1 21

4

 ;5 21

2

 );(1 21

4

 ;5 21

2

 );

Cộng hai phương trình ta được: (2x-y) 2 +(2x-y)-2=0

2 1

x y

x y

 



  

 +) Với: 2x-y=1  y=2x-1 thế vào ta được: x=1, x= 1

2



+) với 2x-y=-2  y=2x+2 thế vào ta được: x=1 21

4



Câu 8

2017

Ta có

1

; 1.

n n

n n

Do đó

2

n n



            

Suy ra 64

.

2 63.64 2017



Câu 9

Đáp số: 9/4.

Ta có

P

2 .4 2

    , có ‘’=’’ khi a=1

Câu 10

Đáp số: 13

13 20

Suy ra 13(7 7 6) 13

20

H

K O

N

M

C B

A

Câu

11a

Do IP=IN =BC/2 tam giác IPN cân tại I

BIP 180 0 – 2 ABC

NIC= 180 0 – 2 ACB

 PIN=180 0 – (360 0 –

- 2( ABC+ ACB) )

=180 0 -120 0 =60 0

Vậy tam giác IPN đều

Câu

11b

IA là một phân giác góc PIN , do tam giác IPN đều dẫn đến IA vuông góc với PN và IA cắt PN tại trung điểm K.

Suy ra AK là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác APN, dẫn đến tam giác APN là tam giác cân tại A Suy ra AK là phân giác góc BAC

Từ đó tam giác ABC cân tại A, kết hợp với góc BAC = 60 0 nên tam giác

ABC đều Vậy BCP =30 0

Câu 12

Đáp số: 5.

Nhận thấy tổng các số sau mỗi bước là không đổi và bằng 15 và S n là tổng bình phương các số sau khi thực hiện ở bước n giảm xuống (do

S  S  a b  a  b  n)

Do vậy quá trình quá trình sẽ dừng lại ở bước thứ k, với k là số bước tối đa

có thể thực hiện được Ở bước cuối cùng, còn lại x số bằng p và 5 x số

bằng p 1 với 0 x 5. Ta có xp(5 x p)( 1) 15 nên 5 | x, suy

ra ở bước sau cùng các số hạng bằng nhau và bằng 3.

Do đó S  k 45. Ta có S0  S k 2k nên

1 5 45

5

2

Với k 5, ta có cách biến đổi như sau:

(12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333).

HẾT

-B

A

M

N

C

P

I K