Cho hình thoi ABCD, đường cao AH.. * Mỗi đường thẳng đều chia hình vuơng thành hai phần cĩ tỷ số diện tích là 1 2.. Chứng minh rằng trong 2013 đường thẳng trên cĩ ít nhất 504 đường thẳng
Trang 1PHỊNG GD & ĐT
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨ C
ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 NĂM HỌC 2010 – 2011
Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 Giải phương trình:
a) x+ 2x 5 2 x 3 2x 5 2 2 2 − − + − − + =
b) x 2 − + = 3x 9 9 x 2 3 −
Câu 2 Cho hàm số f x( ) =(x 3 + 6x 5 − )2011 + 2012.
Tính giá trị của f x khi ( ) x = 3 3 + 17 + 3 3 − 17
Câu 3 Cho hình thoi ABCD, đường cao AH Cho biết AC m; BD n= = và AH h= . Chứng minh rằng 12 12 12
h = m + n ×
Câu 4 Cho hai đường trịn (O1 ; 5cm) và (O 2 ; 2cm) nằm ngồi nhau Một tiếp tuyến chung ngồi AB của hai đường trịn (A ∈( )O ; B 1 ∈( )O 2 ) và một tiếp tuyến chung trong
CD của hai đường trịn (C ∈( )O ; D 1 ∈( )O 2 ) Tính độ dài đoạn nối tâm O1O2 biết AB = 1,5.CD.
Câu 5 Cĩ tồn tại hay khơng số nguyên dương k sao cho 2 k + 3 k là số chính phương?
Câu 6.
a) Cho a, b và c là các số thực khơng âm thỏa mãn a b c 1+ + = Chứng minh rằng:
c 1 a 1 b 1 4 + + ≤ ×
b) Cho hình vuơng ABCD và 2013 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
* Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuơng.
* Mỗi đường thẳng đều chia hình vuơng thành hai phần cĩ tỷ số diện tích là 1
2. Chứng minh rằng trong 2013 đường thẳng trên cĩ ít nhất 504 đường thẳng đồng quy.
Trang 2
-Hết -Phần Nội dung trình bày Điểm
1
2đ
x 2
2x 5 1 − + + 2x 5 3 − − = 4
⇔ − + + − − = (*) (do a b − = − b a)
Á p dụng BĐT về GTTĐ: x y + ≥ + x y dấ u"=" ⇔ x.y 0 ≥
Dấu “=” khi và chỉ khi:
2
− + − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ≤ (2)
2
⇔ ≤ ≤
≤ ≤ ⇔ ∈
0,25 0,25 0,25
0,25
b
Đặt t = 3 x 2 − ⇔ = + x t 3 2 Vì
2
− + = − ÷ + ≥ >
nên t 0 > thay x t = + 3 2 vào PT đã cho, ta được:
(t 3 + 2) (2 − 3 t 3 + + = 2) 9 9t
2 4 3 2
4 3 2
t 1 do t > 0 t 2t 3t 5t 7 0
x 3
⇔ = ⇒ + + + + >
⇔ =
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
0,25
0,25 0,25 0,25
2
1,5đ
Đặt m = 3 3 + 17 ; n = 3 3 − 17
x m n = + ⇒ x = m n + = m + n + 3mn m n + = − 6 6x 3
⇒ + =
f x = x + 6x 5 − + 2012 = − 6 5 + 2012 2013 =
Vậy với x = 3 3 + 17 + 3 3 − 17 thì f x( ) = 2013.
0,5 0,5 0,5
Trang 3-20 -15 -10 -5
O2
O1
E
I
D
C
B A
O K
I
H D
C
B
A
3
1đ
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ta cĩ
tại I , đường thẳng OI cắt CD tại K ta cĩ IK = AH = h ;
h OI 2
Áp dụng HTL vào tam giác AOB vuơng tại O ta cĩ:
÷ ÷ ÷
2 2 2
0,5
0,5
4
1,5đ
Kẻ O2I ⊥O1A tại I và O2E ⊥O1C tại E, ta cĩ O2I = AB;
Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuơng O1IO2 và
O1EO2 ta cĩ:
0,5
Trang 4( )
2
3 + 1,5.x = 7 + x ⇒ x 2 = 32 ⇒ O O 1 2 = 9cm
0,5 0,5
5
1,5đ
Ta có hai nhận xét đơn giản sau:
* Số chính phương khơng thể cĩ tận cùng là 2; 3; 7; 8
** Số chính phương chia cho 3 khơng thể cĩ số dư là 2
Giả sử tồn tại k ∈ ¥ * sao cho 2 k + 3 k là số chính phương
Đặt k 4t r = + với t ∈ ¥ ; r ∈{0;1; 2;3} thì số đang xét cĩ dạng
k k 4t + r 4t + r t r t r
A 2 = + 3 = 2 + 3 = 16 2 + 81 3
Xét 4 trường hợp cĩ thể xảy ra:
- Với r 0 = thì t ∈ ¥ * và số A 16 = t + 81 t cĩ tận cùng là 7 ( A khơng là số chính phương theo * ) (1)
- Với r = 2 thì số A 16 4 81 9 = t + t cĩ tận cùng là 3 (A khơng là
số chính phương theo *) (2)
- Với r = 1 thì số A 16 2 81 3 = t + t chia 3 dư 2 (A khơng là số chính phương theo ** ) (3)
- Với r = 3 thì số A 16 8 81 27 = t + t chia 3 dư 2 (A khơng là số chính phương theo ** ) (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta thấy khơng tồn tại số nguyên dương k để
số 2 k + 3 k là số chính phương
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25 6
2,5đ
a
≤ + ÷
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y > 0 (HS tự chứng minh)
Áp dụng BĐT (*) ta cĩ:
+ + + + + + (1’)
+ + + ; ca ca 1 1 3( )
Cộng vế với vế của ba đẳng thức (1), (2), (3); ta được:
0,5
0,5
Trang 5Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
3
= = = ×
0,5 b
B1
A1
H
K J I
F
E
N M
B A
Gọi MN; EF là đường nối trung điểm hai cạnh đối của hình
vuơng (hình vẽ).
thang và cĩ MI, NI lần lượt là các đường trung bình của hai
A BCB1 1
AA B D1 1
A BCB1 1
1
2 1
2
+
3
các đường thẳng đã cho đi qua Lập luận tương
tự ta tìm được các điểm H; J; K cố định (hình vẽ) Cĩ 4 điểm
(4 cái chuồng) mà cĩ 2013 đường thẳng đi qua (2013
chú thỏ) nên theo nguyên lý Đirichle ít nhất phải cĩ 504
đường thẳng đồng qui (tồn tại một chuồng có từ
504 chú thỏ trở lên).
0,25
0,25
0,25 0,25
!