Gọi H là trực tâm của tam giác ABC... 0.5 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.
Trang 1PHỊNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨ C
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9
NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
b) Chứng minh B = a5−5a3 + 4a chia hết cho 120
c) Tìm số nguyên m để C= m2+ +m 1 là số nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
4
b) x2−5x 8 2 x 2.+ = −
c) (4x 1 x− ) 2+ =1 2x2−2x 2.+
Bài 3 (2,5 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M 2x= + 5 x − 2
b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x 1 y− 2 +y 1 x− 2 =1 Tính N = x2 + y2
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh tanB tanC AD
HD
b) Chứng minh DH.DA BC2
4
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Chứng minh rằng Sin Aµ a
2 2 bc
÷
Bài 5 (0, 5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1−1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số cĩ
tổng là một số chẵn
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1
(2.5
điểm)
a
2( 5 3) 2(3 5)
2 6 2 5 2 6 2 5
A = 2( 5 3)2 2(3 5)2 2( 5 3)5 3 2(33 55)
2 ( 5 1) 2 ( 5 1)
A = 2 2
0.25
0,5 0.25
b B = a5−5a3 + 4a = a(a4−5a2 + 4) = a(a4−a2−4a2 + 4)
= a[a2(a2 −1)−4(a2−1)] = a(a2−1)(a2−4)
= (a−2)(a−1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
0.25 0.5 0.25
c Để C = m2+ +m 1là số nguyên thì m2+ + =m 1 k (k2 ∈¥*)
4m 4m 4 4k (2m 1) 3 4k
(2k) −(2m 1)+ = ⇔3 (2k 2m 1)(2k 2m 1) 3+ + − − = Học sinh tìm được
m = 0; m = −1
0,25 0,25
Bài 2
a
ĐK x 3
4
−
4
2
3 1
4 2
3 1
4 2
Với 3 x 1
Pt vô nghiệm; với x 1
2
−
≥ bình phương hai vế HS
tìm được x = 2
2
0.25 0.25
0.25
x −5x 8 2 x 2+ = − ⇔x −6x 9 x 2 2 x 2 1+ + − − − +
(x 3)− +( x 2 1)− − = ⇔ =0 x 3
0.25 0.5
c Đặt x2+ = ≥1 y 1 phương trình trở thành (4x 1)y 2y− = 2−2x
4xy−y = 2y2−2x ⇔2y2−2x−4xy + y = 0⇔
y(2y +1)−2x(2y + 1) = 0⇔ ( 2y + 1)(y−2x) = 0 ⇔y = 2x
(vì y = −1/2 loại) ⇔ x2+ =1 2x ⇔ x 1
3
=
0.25 0.25
Bài 3 a Đk: − 5 x≤ ≤ 5
*)Ta có M2 = (2x+ 5 x− 2 )2 ≤(22+1 )(x2 2+ −5 x ) 252 = ⇒ 2
M ≤25
⇒ − ≤ 5 M 5 ≤
Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra ⇔ x 2
5 x
2 = − và
2
x ≤ ⇔5 x = 2 Vậy max M = 5 khi x = 2
0.5
0.5 0,25
Trang 3*) Theo trên thì − ≤5 M 5≤ nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng
- 5 vì − 5 x≤ ≤ 5 ⇒ M≥ −2 5 vậy min M = −2 5 khi x = − 5 0.5
b ĐK: − ≤1 x; y 1≤ .theo bài ra ta có
x 1 y− +y 1 x− ≤ x 1 y− + y 1 x−
Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 y− 2 và y = 1 x− 2 hay x2 = 1−y2 hay
x2 + y2 = 1 vậy N = 1
0,25 0,25 0,25
Bài 4
K
G
H E
D
A
0.25
a
Ta có tanB = AD
BD; tanC = AD
DC ⇒ tanB.tanC = AD2
BD.DC(1) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có DAC DBH· =· vì cùng phụ với
góc C nên ta có : ADC BDH AD BD
DC DH
∆ : ∆ ⇒ = ⇒AD.DH DB.DC= ⇒
2
AD AD BD.DC= HD(2)
Từ (1) và (2) ⇒ tanB.tanC = AD
HD.
0.5 0.25
0.25 0,25
b
Theo câu a ta có: DH.DA DB.DC (DB DC)2 BC2
+
Trang 4x
F M
N
A
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax
Ta có sin MAB sin· A BM
2 AB
= = suy ra BM c.sinA
2
=
Tương tự CN b.sinA
2
= do đó BM CN (b c).sinA
2
Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a+ ≤ + = =
Nên (b c).sinA a
2
2 b c 2 b.c
+
0.25
0.25
Bài 5 Vì có tất cả 2
n+1 −1 = 2(2n −1) + 1 số nên có ít nhất (2n−1) + 1 = 2n
số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ 0.5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.