Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt; 2.. Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2.. Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến ST và SK và
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P =
1
1 : 2 2
1 1
1 2
3 3 3
−
− +
+
−
+
− +
− +
x x
x x
x
x x
1 Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó rút gọn P
2 Tìm các số tự nhiện x để
P
1
là số tự nhiên
3 Tính giá trị của P với 3 3
27
1 10 2 27
1 10
=
x
Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = 0
1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
2 Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Chứng minh rằng
x12 + 5mx2 - 4m > 0;
2 2 2
2 1
12
m mx
x m mx
x
+
Câu 3: (4,0 điểm).
1) Giải phương trình ( x+ − 3 x)( 1 − +x 1) = 1.
2) Giải hệ phương trình ( ) ( )
2 2
2 4
x y
=
Câu 4: (6,0 điểm).
Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm (O), kẻ các tiếp tuyến ST và SK và một cát tuyến SAB (A nằm giữa S và B; A, B nằm trên cùng một cung tròn chứa điểm T) Từ A
kẻ đường thẳng vuông góc với OT cắt TK và TB lần lượt tại C và D Chứng minh rằng CA
= CD
Câu 5: (2,0 điểm).
1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là 2 [ ]a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức
27 3
+ − + không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương. 2) Với x y z, , là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx+ + = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 3 2 2 2
x y z
=
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2BÁ THƯỚC KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI C ẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang
II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
1
1
2 ) 1 (
) 1 )(
1 (
) 2 )(
1 (
2 3
) 1 (
) 2 )(
1 (
2 3
+
=
+
− +
−
+ +
=
− +
−
+ +
=
x
x x
x x
x x
x x
x
x x P
0,5
2
Do ( x + 1 ) 2 ≥ 1 với mọi x≥ 0 nên 0 ( 1 1)2 ≤1
+
<
x
) 1 (
1 )
1 (
1
2
+
⇔
∈ +
x
N x
P
0,5
0,5
Mà x+ 1 > 0 ⇒ x+ 1 = 1 ⇔x= 0 Khi đó 1 = 1
P là số tự nhiên 0,5
3
27
1 10 2
; 27
1 10
=
= +
8 3
2 3 3
b a
b a
Lập phương cả hai vế ta có x3 = 4 + 2x ⇔ x3 - 2x - 4 = 0
⇔ (x - 2)(x2 + 2x + 2) = 0
do x2 + 2x + 2 > 0 nên x = 2
Vậy P = ( 2 + 1 ) 2 = 3 + 2 2
0,5
0,5 0,25 0,25 2
1
Để PT đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ĐK cần và đủ là:
∆= 25m2 + 16m > 0
−
<
>
⇔
25 16
0
m
2
Theo hệ thức Vi-ét:
−
=
= +
m x
x
m x x
4
5 2 1
2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Vì x1 là hiệm của pt nên: x12 - 5mx1 - 4m = 0 => x12 = 5mx1 + 4m
Do đó x12 + 5mx2 - 4m = 5mx1 + 4m + 5mx2 - 4m
= 5m(x1+ x2 ) = 25m2 > 0
0,25
0,25
3
Theo câu b ta có x12 + 5mx2 - 4m = 25m2
suy ra x12 + 5mx2 +12m = 25m2 + 16m
Tương tự x22 + 5mx1 +12m = 25m2 + 16m
0,25
Vậy
2
2 2
2
2 1
2 2 2
2 1
2
16 25
16 25
12 5
12 5
m
m m
m m
m
m
m mx
x m mx
x
m S
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
0,5
Áp dụng BĐT Côsi với hai số dương tao có:
2 16 25
16 25
2 2
2
=
+ +
≥
m
m m
m m
m
Dấu “=” xảy ra khi: m4=(25m2 + 16m)2 <=> 24m2 +16m = 0
−
=
=
⇔
3 2
0
m m
(m= 0 loại)
Vậy MinS= 2 khi m =
3
2
−
0,5 0,5
0,25 0,25
3
1
phương trình tương đương với 3 ( 1 1) 1
+ +
0,5
Nếu 0 ≤ < ⇒x 1 3 ( 1 − + >x 1) 3 đồng thời x+ x+ <3 1+ 4 3=
Suy ra VT>VP (loại)
0,5
Xét x≠ 0,y≠ 0 hệ phương trình tương đương với
+ ÷ + ÷= + ÷ + ÷=
0,5 0,5
Trang 4I
O
D C
B
A
K
T
S
Thay (1) vào (2) ta thu được
3
1 1
2
1 1
8 1 1
x y
x y
xy
+ =
+ = ⇔
1
⇔ = =
0,5
4
Vẽ hình chính xác
0,5
Lấy I là trung điểm của AB => OI ⊥ AB
Chứng minh được 5 điểm S; T; I; O; K cùng thuộc đường tròn đường kinh SO
sđ STK = sđ SIK =
2
1
sđ TK (1)
Ta có sđ ACK =
2
1 (sđ AT + sđ TP)
Mà sđ AT = sđ TP (do ST//AP)
=> sđ ACK =
2
1
sđ TK (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACK = AIK Vậy tứ giác AKIC nội tiếp
0,5 0,75 0,5
0,5 0,5
0,5
Suy ra AIC = AKC (cùng chắn cung AC)
mà AKC = TBA
suy ra AIC = TBA mà hai góc này ở vị trí đồng vị => CI//DB
Trong tam giác ADB có CI//DB, IA = IB => C là trung điểm của AD
Hay CA = CD (đpcm)
0,5
0.75 0,75 0,25 5
,
27 3
= − +
do n>1⇒ ≥K 1 Ta có 3 1 1
1
27 3
K ≤ n− + < +K
⇔ − ≤ − < +
0,25
Trang 52
K
3
K
⇔ < + < +
Suy ra
2
27 3
+ = + − +
không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương.
0,25
2
( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 x + + 5 6 y + + 5 z + = 5 6 x y x z+ + + 6 y z y x+ + + z x z y+ +
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương
0,25
x y+ + x z+ x y+ + y z+ z x+ + +z y
x y z
x y z
0,25
3
x y z P
+ +
Đẳng thức xảy ra ⇔ = =x y 1,z= 2.
Vậy min
2 3
Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm.
- Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ.
……… Hết ………