Chứng minh rằng: a+b+1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n.. Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho 9.. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.. Phân giác của góc ADC cắt AB tại I và cắt
Trang 1ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014 Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao nhận đề)
Bài 1:
1 Cho các số: a = 11 11 (2n chữ số 1); b = 44 44 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a+b+1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n
2 Cho các số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2+b2 chia hết cho 3 Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho 9
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1 M = (x−2013)2 + (x−2014)2
2 N = − + − + − x 1 x 2 x 3
Bài 3:
1 Giải phương trình: 3 x − + 1 3 x − = 2 3 2 x − 3
2 Phân tích ra thừa số: x4 + 64
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Vẽ dây CD vuông góc với
AB tại H Phân giác của góc ADC cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại M
1 Chứng minh: MA=MI=MC
2 Gọi N là giao điểm của MO với (O) Chứng minh: tam giác MCN đồng dạng với tam giác ICH
3 Đặt OI=d; IH=r Chứng minh: R2-d2=2Rr
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b Biết: a+1 chia hết cho b và b+1 chia hết
cho a
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
Trang 2Sơ lược giải và hướng dẫn chấm môn Toán
1 Ta có: a = 11 11=
2
10 1 9
n − ; b = 44 44 = 10 1
4 9
nên a+b+1 =
2
2
10 4.10 4 10 2
Mặt khác 10n+2 chia hết cho 3, nên 10 2
3
2 Đặt a=3k+r (r=0; 1; 2); a2 = 9k2+6k+r2 suy ra a2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 0,25
Nếu a không chia hết cho 3, suy ra a2 chia cho 3 dư 1 Do a2+b2 chia hết
cho 3 suy ra b2 chia cho 3 dư 2 (loại)
0,25
Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho 3 suy ra b chia hết cho 3; nên
ab chia hết cho 9 (đpcm)
0,25
1 M = (x−2013)2 + (x−2014)2 = −x 2013 + −x 2014 0,25 Mặt khác: M = −x 2013 + −x 2014 ≥ −x 2013− +x 2014 1= 0,25
x− + − ≥x dấu "=" xẩy ra ↔1≤x≤3 (2) 0,25
Bài 3: 2 điểm (mỗi câu 1 điểm)
1 Lập phương 2 vế của phương trình: 3 x − + 1 3 x − = 2 3 2 x − 3 ta
được: 2x-3+3(3 x − + 1 3 x − 2) (3 x − 1)( x − 2) 2 = x − 3
0,25
Hay (3 x − + 1 3 x − 2) (3 x − 1)( x − 2) 0 = Xét 2 khả năng: 0,25 a)3 ( x − 1)( x − 2) 0 = ↔x=1 hoặc x=2
b) 3 x − + 1 3 x − = 2 0↔x=3
2
0,25
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=1; 2; 3
2
0,25
2 x4+64=x4+2.x2.2.22 +(2.22)2 - 16x2 0,25
Trang 3Vậy: x4+64=(x2-4x+8)(x2+4x+8) 0,25
1 DM là phân giác góc ADC, nên AM ) = MC ) → MA=MC (1)
2
1
2
AIM = AM DB ) + ) mà MC MA ) = ) ;
CB BD ) = ) ; nên MAI ˆ = MIA ˆ hay ∆MAI cân tại M (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2 ∆IHC=∆IHD (t/c đối xứng của đường tròn) Mặt khác MDC MNC ˆ = ˆ (cùng chắn cung MC) suy ra các tam giác vuông IHD, IHC và MCN đồng dạng (g.g)
3 ∆IHD: MCN nên IH ID
MC = MN ↔ID.MC=IH.MN=2Rr (3); do MC=MI nên MI.ID=AI.IB=(R-d)(R+d)=R2-d2 (4)
Từ (3), (4) suy ra: R2-d2=2Rr (đpcm)
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Do vai trò của a, b bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử: 1≤a≤b 0,25
*Nếu a=b→a=b=1
*Nếu a<b→a+1≤b (1); mặt khác, do a+1 : b→a+1≥b (2) 0,25
Từ (1), (2) → a+1=b kết hợp b+1:a→a+2:a→a là ước số của 2 →a=1; 2
Nếu a=1→b=2; nếu a=2→b=3
0,25
Vậy (a, b)=(1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3; 2) 0,25
Lưu ý:
-Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
-Điểm bài thi làm tròn đến 0,5
I O
C
D
M
N