Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C tới AD.. AB AC AB AC Trường THCS Thuỷ Mai... Trường THCS Thuỷ Mai.
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG (Lần 1)
Thời gian :90 phút
Bài 1: Cho biểu thức: P = 1 1 .
x
với x > 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P = 3
Bài 2: Tìm tổng A = 1 12 12 1 12 12 1 1 2 1 2
Bài 3: Giải phương trình: x4 - 8x 2 + 12 = 0
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 1 24
1 3 + 5 7 + + 9997 9999 >
Bài 5: Cho tam giác ABC, AD là phân giác của góc A (D BC)
Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C tới AD
Chứng minh rằng:
a) MB CN
AB = AC .
b) BM + CN ≤ BC , dấu “=” xẩy ra khi nào?
c) Sin 2
2
AB AC AB AC
Trường THCS Thuỷ Mai
Trang 2
Đáp án và biểu điểm
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG
(Lần 1)
Bài 1: a) P = 2 x
x
− (2điểm)
b) Giải tìm được 4
9
x= (2điểm)
Bài 2: (3,5 điểm) Với mỗi số tự nhiên n > 0 ta có:
2
1
n n n n
= ( )
2
2
1 1 1
1
n n
+ −
+
Do đó:
A=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2005 1 1 20052005
Bài 3: (3 điểm)Giải phương trình:
x4 - 8x 2 + 12 = 0
⇔(x4 − 4x2 + + 4) (4x2 − 8x 2 8 + =) 0
2
2 0
2
2 0
x
x x
− =
Bài 4: (3,5 điểm) Gọi vế trái của bất đẳng thức là M
1 3 + 5 7 + + 9997 9999
3 5 + 7 9 + + 9999 10001
9999
1 3 + 5 7 + + 9997 +
3 5 + 7 9 + + 9999 10001
M + N = 1 3 3 5 5 7 7 9997 9999 9999 10001
2
−
M + N = 1 10001 10001 1 10000 1 100 1 99
Như vậy M + N > 99 99 96 24 24
⇒ > > = ⇒ > (1)
Mặt khác: M > N 2
2
M N
M M N M +
⇒ > + ⇒ > (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 24
2
M N
M > + >
(đpcm)
Trang 3Bài 5: (6 điểm) Câu a: 1,5đ ; Câu b: 1,5đ ; Câu c: 2,5đ
A
M B
D
C N
a) Sin
2
A BM CN
AB AC
b) BM ≤ BD và CN ≤ CD (tính chất đường xiên – đường vông góc )
⇒BM + CN ≤ BD + CD hay BM + CN ≤ BC dấu “=” xẩy ra ⇔Δ ABC cân tại A
để đường phân giác trùng với đường cao
c) Sin
2
A BM CN
AB AC
= = =BM CN BC
AB AC AB AC
+ + (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương AB và AC ta có
AB + AC ≥ 2 AB AC. ⇒ AB AC BC+ ≤2 AB AC BC. (2)
Từ (1) và (2) sin
AB AC AB AC
+
Dấu “=” Xẩy ra khi AB =AC hay Δ ABC cân tại A
Trường THCS Thuỷ Mai