ĐÁP ÁN ĐỀ THI GVG MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 2011 -2012

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT TÂN KỲ

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI GIAÓ VIÊN GIỎI TRƯỜNG

NĂM HỌC 2011 – 2012

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu I: (6,0 Điểm)

Xem :Trang 131, 132 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (Thực hiện chương trình SGK 11)

Câu II: (4,0 Điểm)

Cho phương trình : cos4x + 6sinxcosx - m = 0 (1)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm x









 4

;

0 

- Đặt t = sin2x với x









 4

;

0 

thì 2x









 2

;

0 

nên sin2x = t 0 ; 1

- Phương trình (1) có nghiệm x









 4

;

0 

phương trình : f(t) = -2t2 + 3t + 1 = m (2)

có nghiệm t 0 ; 1

- Ta có f ’(t) = -4t +3 = 0 khi t =

4

3  0;1 Có f(0) = 1 , f(

8

17 ) 4

3  , f(1) = 2

Suy ra : Để phương trình (1) có nghiệm x









 4

;

0 

thì :

8

17

1m

Câu III: (6,0 Điểm)

a) Chứng minh theo yêu cầu đề ra

b) Yêu cầu : Nêu các câu hỏi đủ để gợi ý , hướng dẫn cho HS tìm tòi ra lời giải bài toán ,

các câu hỏi có hiệu quả sư phạm

Câu IV : (4,0 Điểm)

a) Giải phương trình : 3 24 x 12 x  6 (*)

Điều kiện x 12

Đặt 12 x t Điều kiện 0 t.Ta có : 3 24x 3 36(12x) 3 36t2

Viết phương trình thành : 336(12x) 6 12x Tức là 3 36t2 6t

Lập phương hai vế (Không cần đk) được pt tương đương :

(6 – t)(6 + t) = (6 – t)3  ( 6 t)( 6 t)2  ( 6 t) 0  ( 6 t)(t2  13t 30 )  0

Có ba giá trị : t1 = 3 ; t2 = 6 và t3 = 10 (đều thỏa mãn t0 )

Ta có tuyển ba phương trình :













































88 24 3

10 12

6 12

3 12

x x x

x x x

Như vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : x = 3 , x = -24 và x = - 88

b) Giải hệ phương trình :

y

x











Ta có :

y

x









 (Lấy hiệu hai phương trình làm phương trình (2) )

𝑥 + (𝑥 − 1)2+ 1 = 3𝑦−1+ 1 (1)

𝑥 − 𝑦 + (𝑥 − 1)2+ 1 − (𝑦 − 1)2+ 1 = 3𝑦−1− 3𝑥−1 (2)

Đánh giá hai vế pt (2) – suy ra x = y

Vậy hpt trở thành: (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2+ 1 = 3𝑥−1 (1)

𝑥 = 𝑦 (2)

t + (t2+ 1 = 3t (1)

𝑥 − 1 = 𝑦 − 1 = 𝑡 (2) -Đặt t = x – 1 thì pt (1) trở thành: 3𝑡 = 𝑡2+ 1 + 𝑡 f(t) = 3𝑡 − 𝑡2 + 1 − 𝑡 = 0 (1) Xét hàm số f(t) = 3𝑡 − 𝑡2+ 1 − 𝑡 ,với t 𝜖R

- Ta có :

f ’(t) = 3t

.ln3 - 𝑡

𝑡 2 +1 – 1 = 3t

.ln3 – 𝑡+ 𝑡2+1

𝑡 2 +1 = 3

t

.ln3 – 3t

𝑡 2 +1 =

3𝑡( 𝑡2+1−log3𝑒)

𝑡 2 +1 > 0 Vậy hàm số f(t) = 3𝑡 − 𝑡2+ 1 − 𝑡 đồng biến với mọi t 𝜖R.Thấy pt (1) có nghiệm t = 0 Suy ra t = 0 là nghiệm duy nhất của pt (1) do đó hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất: (1 ; 1) - HẾT -