Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.. Vẽ dây AM của đờng tròn O và dây AN của đờng tròn O’ sao cho AM và AN vuông góc với nhau.. a Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua
Trang 1Đề thi giáo viên giỏi cấp trờng
Năm học: 2008 - 2009
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
***
Bài 1 ( 2 điểm )
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 - 2007x - 2008
b) Giải phơng trình : x 4 x 3− + − = x 2− + x 1−
2006 2007 2008 2009
Bài 2 ( 2 điểm )
a) Chứng minh a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b
b) Cho P = n4 + 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố
Bài 3 ( 2 điểm )
Chứng minh A = n3 - 3n2 - n + 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ
Bài 4 (3 điểm )
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R>R’) Vẽ dây
AM của đờng tròn (O) và dây AN của đờng tròn (O’) sao cho AM và AN vuông góc với nhau
a) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
b) Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho a, b, c là ba số thoả mãn a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Hãy tính giá trị của biểu thức:
N = a2006 + b2007 + c2008
-Hết -Trờng THCS
thân nhân trung
Trang 2Đáp án và hớng dẫn chấm toán
Chú ý: Dới đây chỉ là sơ lợc cách giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài Bài làm yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu giải cách khác mà
đúng thì chấm điểm của từng phần tơng ứng.
Bài 1
(2đ)
a
(1đ)
x2 - 2007x - 2008 = x2 + x - 2008x - 2008
=x(x + 1) - 2008(x + 1) = (x + 1)(x - 2008)
0,5đ 0,5đ
b
(1đ)
x 4 x 3 x 2 x 1
2006 2007 2008 2009
⇔ x 4− − +1 x 3− − =1 x 2− − +1 x 1− −1
⇔ x 2010 x 2010− + − = x 2010 x 2010− + −
2006 2007 2008 2009
2006 2007 2008 2009
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 2
(2đ)
Bài 3
a
(1đ)
a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ⇔ a4 + b4 - a3b - ab3 ≥ 0
⇔ a4 - a3b + b4 - ab3 ≥ 0 ⇔a3(a - b) + b3(b - a) ≥ 0
⇔(a3 - b3)(a - b) ≥ 0 ⇔(a - b)2(a2 + ab +b2) ≥ 0 (1) Vì (a - b)2 ≥ 0 và a2 + ab +b2 =
2 2 3 0
b
Suy ra (1) đúng Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3
0,5đ 0,25đ 0,25đ b
(1đ)
P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2
= (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n+1)2 + 1]
Vì n là số tự nhiên nên (n+1)2 + 1 ≥ 2;
Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 3(2đ) A = n3 - 3n2 - n + 3 =n2(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n - 1)(n +1)
0,25 Thay n = 2k + 1 ( k là số nguyên) ta đợc :
A = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k +1) 0,25
Ta thấy (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Vậy A chia hết cho 48
0, 5đ
0, 5đ
0, 5đ 0,5đ
Bài 4
(3đ)
a
1,5đ
Chứng minh OM//O’N Suy ra đợc O I' O N' R'
IO = OM = R
Lí luận để chỉ ra I cố định
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
b
1,5đ
Kẻ OK vuông góc với AM O’H vuông góc với AN
SAMN=1
(0,5 đ)
áp dụng BĐT 2ab≤a2+b2 ta đợc:
2sinα .cosα ≤sin2 α+cos2 α =1 Vậy SAMN ≤RR’
(0,5 đ)
Đẳng thức xảy ra <=> sinα=cosα <=> α =450 <=> OM và O’N vuông góc với OO’ Vậy Max SAMN =RR’ <=> OM và O’N vuông góc với OO’
(0,5 đ)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
H
K
N M
O' O
Trang 4Bài 5
(1đ)
(1đ) a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1
Từ a2 + b2 + c2 = 1 => a ≤ 1, b ≤ 1, c ≤ 1.
Ta có: a2 + b2 + c2 - (a3 + b3 + c3 )= 0
⇔a2(1 - a) + b2(1 - b) + c2(1 - c) = 0 (1)
Vì a ≤ 1 => 1 - a ≥ 0, do đó a2(1 - a) ≥ 0 Tơng tự ta có:
b2(1 - b) ≥ 0, c2(1 - c) ≥ 0
Nên (1)
2 2 2
(1 ) 0 (1 ) 0 (1 ) 0
Kết hợp với đầu bài a2 + b2 + c2 = 1 ta đợc a, b, c ∈{ }0;1 trong
đó có hai số bằng 0 và một số bằng 1 Vậy N = a2006 + b2007 +
c2008 = 1
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ Hết