b Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của hàm số 1 luôn có hai điểm cực trị 4, Ø và độ dài của đoạn thăng 48 không phụ thuộc vào mm.. Gọi #ï là hình chiếu vuông góc của 4 trên BC.. Tìm tọ
Trang 1SO GD & DT HA NOI ĐÈ THỊ THỦ ĐẠI HỌC LAN INAM 2014
Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phát để
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= x) ~3m+° +3@n? —1)x— mề + 5m - (1), trong đó ứm là tham số
a) Khao sat sw bién thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị 4, Ø và độ dài của
đoạn thăng 48 không phụ thuộc vào mm
1—(sin' x+cosÍx) Câu 2 (1,0 điển) Giải phương trình ———————~=C0§X
sinx
(Vx? +1 -z)|d> +4 +y) =2
xt cŠy= TT
ƒ In? xdx 1XA1+3ln?x
Câu 5 (1,0 điển) Cho hình chóp S.ABC có đáy 4BC là tam giác vuông tại 4, 4B =:60°, BC = 2a
Gọi #ï là hình chiếu vuông góc của 4 trên BC Biết rằng S77 vuông góc với mặt đáy (4B) và S4
tạo với mặt đáy một góc 60°, Tinh thể tích khối chóp §.4BC và tính khoảng cách từ 8 đến mặt
phang (SAC) theo a
Câu 4 (1,0 điển) Tính tích phân 7 =
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b,c Ching minh rằng:
8a" +8bˆ`+27e > da (a+tb+©)
Cau 7 (1,0 diém) Trong mat phang toa dd Oxy, cho hinh vung ABŒĐ có đường chéo 4C có
phương trình là x+ —10= 0.Tìm tọa độ của điểm B biét rằng đường thẳng CD đi qua điểm
M(6;2), đường thang AB di qua điểm A(5;8)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) va hai mat phẳng
(P):x—-2z=0, (Q):x—y+1=0 Tìm tọa độ của điểm 4 thuộc mặt phẳng (Q) sao cho MA song
song với mặt phẳng (P) và 4M =3
Câu 9 (1,0 điểm) Giải bất phương trình log, (4*-2"") <x
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: án TH HH0 81121111 11t tiếu ; Số báo danh:
Trang 2
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM MÔN TOÁN KHÓI D
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH pk THI THU ĐẠI HỌC LÀN 1 NĂM 2014
* Sự biến thiên: y'=3x?-6x; y'=0œx=0 hoặc x=2
Ham số đồng biển trên các khoảng (-œ;0) và (2;+e); nghịch biển trên (0; 2); ycp = 4 Yer = 0 0,25đ
* Bảng biên thiên
x _œ 0 2 +øo
b)_ Chứng minh rằng với mọi /w, đồ thị của hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị ⁄4, 8 và độ dài đoạn 1 diem
thing AB khong phụ thuộc vào #ø
Ta có y'=3x? — 6mx + 3m — ]); y=oee|* ™
x=m+1
Lập bảng biển thiên (hoặc có thé lập luận: vì y” = 0 có hai nghiệm phân biệt nên y' đổi dấu hai lần | 0,25đ khi x chạy qua các nghiệm) suy ra hàm số (1) luôn có hai điểm cực trị
=m-1> y,=2 2
Vậy độ dài đoạn thẳng 4 không phụ thuộc vào m >
sinx
Điều kiện sin x #0 © x # kZ
Phương trình ©1~ [ (sin’ x + cos” x)* — 2sin” x.cos” x| = sin xcosx
0,254
1,4 1, sin2x =0
<&> —sinˆ 2x =—sin2x 2
2 2m làn 2x=I 0,25đ
kn
yee
2
Đối chiếu với điều kiện ta duge x=Z+ka hole x=F+ke (ke 2) 0,254
1 điểm (êsi=)(*4+z)=
xi cây Vy]
Điều kiện x>1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
Trang 3
(V4x? +4 —-2x).G/y? +44 yp) =4 © J (2xyP +4 -(2x) = =vyˆ+4—ÿ 0,25đ
Ty +4+y
Xét hàm số ƒ@)=+x? +4—r Ta có ƒ@=-r=—-I a! <0 Vt
Do đó #) nghịch biến trén R Két hop voi f(2x) = ƒ0) 5 suy ray = 2x ,
Thay y= 2z vào phương trình thứ hai của hệ ta được +7 -x= =x~
Đặt s=vJx—1I >0 © x=v? +1 Ta có phương trình
(vŸ +P S07 HI) =v 294 +v? -2v-1=0 6 (v- D2 +2? +34 =0Gv=1 0,25đ
hoặc2v? +2v2+3y+I=0 (Loại vì v>0=2y°+2v?+3p+l>0+0+0+1>0) Vậy x = 2,y=4 0,25d
ì xVI+3ln” x
2 —
pat ¢=Vis3in?x = In? x =L 1 Zid eat, Indy _ tat va palatal x=e=y =2 025đ
@-1 tdt tin? xinxde $3 3
Tacó [=|——-==————=|————
_ 4
Câu 5 Cho hình chóp 5.48C có đáy ABC là tam giác vuông tại 4, 4B =60°, BC =2a Gọi H là
hình chiến vuông góc của A trên ĐC Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (4BC) và S4 tạo với 2
1diém mặt đáy một góc 60° Tinh thé tich khdi chép S ABC va tinh khoang cach tir B dén mat phang
(SAC) theo a
Trang 4
Géc gitta SA va mp(ABC) !a SAH = 60° : Ta c6
Pot = + tt 4 aye oS si AH.tan 60° =
0,25đ
2
cA _ (a3 =— Từ đó
CB 2a
4(B;(SẠC)) _ CB _ 2a _ 4 aHASAC) CH 34 3
2
Hạ HE 1 AC,HK LSẸ Ta có AC \ HE, AC 1 SH = AC 1 (SHE)= AC LAK
Tacó Cả =CH.CB=>CH =
= => d(B;(SAC)) = 2401: (SAC)
Từ đó #K L AC,SE IIK 1 (SAC) Từ đó 2(B;(SAC))= 3401:(SAC) = SHK 0,25d
Ta có HET 3 5 up a5 AB = Từ đó
AB CB A
3a) (3a)
v HS”,HE_ _ (7) (3) _ 94” _ uc _ 3/54
HS? + HẺ (22) +(%) 20 10 ˆ
Vay d(B(SAC)) = > 4 aK = we = nea
‘| Cu 6 Cho ba sé thie a, 6, ẹ Chứng minh rằng: 8a! +80 +27e° > Fat +e)!
1 điềm
Nếu + ö + c= 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu z+b+ecz0: thì bất đẳng thức cần chứng mỉnh tương đương với
i( a } +f b } +211 c ] >2” 0) atbt+e atbte atbt+e 64
Dat x= y= z=———-—x+y+z=l (1) trở thành Bx! + 8y4 42724 2 (2)
V6i hai sé thye p,q bat ki ta 06
(p-qy 20=>2pqs p’ +4’ >(ptay sp" +q°)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
(x +y)" =[@+»? ] <lbœ +y¥)] =Ẳ +}? <4.2Œ%° +!) =8Qˆ +) 0,25đ
Từ đó 8(x* +p") +272" > (1-2) +272! = F(Z)
Bảng biển thiên
Z ~œ@ + +00
4
⁄) NGỘ a
27
64
Trang 5
4 4 4 1 _ 27
8(x`+y )+27z 2f@)2 f= Gy 0,254
Và từ suy ra bat đẳng thức cẦn chứng minh
Câu 7 Trong mặt phẳng toa độ Oxy, cho hình vuông 4BCD có đường chéo 4C có phương trình là 1 điểm x+y-10= 0 Tìm tọa độ điểm B biết rằng đường thing CD di qua diém M(6;2), dwong thing AB
di qua diém N(5;8)
Goi M ta diém di xứng của #⁄ qua ÁC Ta có M thuộc đường thắng ĐC
Phương trình đường thing MM? là l(x—6)~ ly—~2)=0<>x—y~4=0 Gọi H = AC MM'
x+y-l0=0 x=7 Tọa độ của ï thỏa mãn hệ 2 => H(7;3)
Goi Nay =(ø;b} Vì hai đường thẳng 4B và AC tạo với nhau một góc bằng 45” nên ta có
XP +Í
Trường hợp 1: a = 0 Phương trình đường thẳng 45, BC lan lượt là y = 8,x =8 Suy ra BES; 8) 0,25đ Trường hợp 2: ở =0 Phương trình đường thẳng 4B, 8C lần lượt là x =5; y= 4 Suy ra 85:4) 0,254
Câu 8 Trong không gian với hé toa dQ Oxyz, cho điểm M⁄(;2;3) và hai mặt phẳng 1 điểm
(P):x-2z=0, (Ø):x—y+1=0 Tìm tọa độ của điểm 4 thuộc mặt phẳng (@) sao cho MA song
song với mặt phẳng (P) va AM =3
Tacé MA= (a—1;a~l;e =3) Vì ⁄4 song song với mp(P) nên ta có
MÃng, =0 œ (a~1)~2(e—3)=0<» a=2e—5 => A(2e— 526 — 4;e) 0,254
Ta có MP? =9 ©(26—6)? +(2e—6Ÿ! +(39) =9 ee? -áetg=0e| T2 025đ
Câu 9 Giái bất phương trình log, ;(t! =2 sx
Bất phương trình đã cho tương đương với:
4v <2" <(2 2y c2? <229<250/2ÿŸ @ 2° -25 (2) ©2/<(2Ÿ—-2<0 0,25đ