Định nghĩa: Giả sử fx là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, Fx là một nguyên hàm của fx trên K.. + fx: hàm số dưới dấu tích phân.. + fxdx: vi phâ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 5: Tích phân.
1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là ∫b
a
dx x
f( ) Ta cũng dùng ký hiệu b
a
x
F( )
để chỉ hiệu số F(b) - F(a)
Theo định nghĩa ta có:
) ( ) ( )
( )
(x dx F x F b F a
b
a
−
=
=
Trong đó:
+ f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân
+ f(x): hàm số dưới dấu tích phân
+ f(x)dx: vi phân của mọi nguyên hàm của f(x)
+ a, b: các cận của tích phân, a: cận trên, b: cận dưới
+ x: biến số tích phân
2 Các tính chất của tích phân:
2.1 f x dx 0
a
a
=
∫ ( )
2.2 ∫ = −∫
a b
b
a
dx x f dx
x
2.3 k.f(x)dx k. f(x)dx( k R)
b a
b
a
∈
∀
= ∫
∫
b a
b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x
b
b a
c
a
dx x f dx x f dx x
2.6 f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b] ⇒ f x dx 0
b a
≥
∫ ( )
2.7 f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a;b] ⇒∫ ≥∫b
a
b a
dx x g dx x
2.8 m ≤ f(x) ≤ M trên đoạn [a;b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫b
a
dx x
f( ) ≤ M(b - a)
2.9 t biến thiên trên đoạn [a;b] ⇒ G(t) = ∫t
a
dx x
f( ) là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
3 Các phương pháp tính tích phân:
3.1 Phương pháp đổi biến số:
Trang 23.1.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1:
+ B1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] và u(α) = a, u(β) = b
+ B2: Biến đổi f(x)dx = f[u(t)].u'(t)dt = g(t)dt
+ B3: Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
+ B4: Tính β βα
α
=
∫g(t)dt G(t)
3.1.2 Phương pháp đổi biến số dạng 2:
+ B1: Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục
+ B2: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử: f(x)dx = g(t)dt
+ B3: Tìm một nguyen hàm G(t) của g(t)
+ B4: Tính ( ( ) )
) ( ) (
) ( )
( v v b a
b v a v
t G dt t
3.2 Phương pháp tích phân từng phần:
Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
∫
a
b a b
a
dx x u x v x
v x u dx x v x
u( ) ' ( ) ( ( ) ( )) ( ) ' ( )
hay ∫ = −∫
b a
b a b
a
du x v x
v x u dv x
* Chú ý:
+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm ln(fx) thì ta đặt u = lnf(x), phần
còn lại là dv
+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm đa thức P(x) và một hàm số khác
(lượng giác, hàm số mũ,…) thì ta đặt u = P(x), phần còn lại là dv
4 Ứng dụng của tích phân:
4.1 Tính diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng của hình được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x),
y = f2(x) và các đường x = a, x = b, được cho bởi công thức:
b
f
b
2 1
2 1
f f
f f
f
∫
β
β α
α
−
=
−
=
) ( (
(với α, β ∈[a;b] là các nghiệm của phương trình f1(x) - f2(x) = 0)
4.2 Diện tích của hình tròn và hình elip:
0
2 2 R
R
2 2
dx 4
dx
−
) (
) (
.
Trang 3S = dx ab a
b 4
a
0
2 2
x
4.3 Thể tích của vật thể tròn xoay:
= π∫
b a
2
dx
S y (vật thể quay xung quanh Ox)
hay = π∫b
a
2 dy
S x (vật thể quay xung quanh Oy)