SKKN Tích phân

Do đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha khai thác hết đợc, cha phát huy đợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh... Tôi nhận thấy việc khai thác các phơng pháp giải các bài toán

A Đặt vấn đề I)Lời mở đầu

Để bồi dỡng năng lực t duy độc lập ,t duy tích cực và t duy sáng tạo của học sinh, trớc tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản phổ thông vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập Muốn vậy ngời giáo viên phả vận dụng các phơng pháp khác nhau, hớng các em vào một môi trờng hoạt

động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh Ngời thầy giáo phảI giúp học sinh xem xét một bài toán dới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tởng, kết nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán Giữa bài toán cha biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải Biết phân tích, tổng hợp, và so sánh, từng trờng hợp riêng lẻ để

đem đến cáI chung nhất mang tính chân lý Từ đó vận dụng các phơng pháp toán học để giảI quyết các bài toán đặt ra

Với lý do đó tôi chọn đề tài “ Phơng pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo hớng phát triển t duy sáng tạo cho học sinh “

II)Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu

1) Thực trạng:

Trong chơng trình giảI tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm một phần rất quan trọng Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, cha có nhiều phơng pháp Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hớng nhất định nào đó Do đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân cha khai thác hết đợc, cha phát huy đợc tính sáng tạo, khám phá của học sinh

Tôi nhận thấy việc khai thác các phơng pháp giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân để học sinh có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác nhau là một điều rất quan trọng

2) Kết quả:

Khi tôi đợc phân cônggiảng dạy lớp 12, kiến thức về giảI tích học sinh lớp tôi đợc phân công còn hạn chế,các bài toán về nguyên hàm, tích phân còn ít nên việc vận dụng các phơng pháp giảI còn chậm và đang còn bế tắc trong cách định hìnhphơng pháp giải

Tôi đã dần hình thành các phơng pháp giải, phát triển từ bài toán cơ bản đến những bài toán ở mức độ khó hơn

Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy đợc tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cảI tiến nội dung, phơng pháp, khai thác cấu trúc logic của bài toán, tìm ra nhiều phơng pháp giải cho bài toán, phát triển bài toàn dới nhiều hình thức khác nhau

B GiảI quyết vấn đề

I) Giải pháp thực hiện

1 Các yêu cầu cơ bản về giải toán nguyên hàm – tích phân

I.1 Học sinh nắm vững các định nghĩa nguyên hàm – tích phân, các tính chất

cơ bản và các phơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm và tích phân

I.2 Học sinh có kĩ năng giải toán nguyên hàm và tích phân bằng nhiều phơng

pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học của tích phân để trong một

số trờng hợp ta có thể tính các tích phân bằng một phơng pháp đơn giản hơn thông thờng

I.3 Học sinh đợc phát triển về t duy thuật giải trong quá trình tính nguyên hàm,

tích phân theo những quy trình xác định, đợc rèn luyện về tính linh hoạt , khả năng sáng tạo trong quá trình giải toán

Trong chơng trình môn toán trờng phổ thông trung học, nội dung kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm các vấn đề sau đây:

- Định nghĩa nguyên hàm Các tính chất của nguyên hàm Bảng các nguyên hàm cơ bản

- Định nghĩa tích phân Các tính chất của tích phân Các phơng pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích

1.Các phơng pháp xác định nguyên hàm tích phân–

1.1 Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa

Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số:









<

++

≥

=

0 1

0 )(

2 x khix x

khix

e x F x

là một nguyên hàm của hàm số:







<

+

≥

=

0 1 2

0 )(

khix x

khix

e xf

x

trên R

Giải:

Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trờng hợp sau:

- Với x ≠ 0, ta có:







<

+

>

=

0 1 2

0 )('

khix x

khix

e x F

x

- Với x = 0, ta có:

) 0 ( ) ( lim ) 0 ( '

1

1 lim

0

) 0 ( ) ( lim ) 0 ( '

0 0

0

0 2

0 0

=

−

=

−

−

=

=

−

− +

=

−

−

=

+ +

−

−

→

→ +

→

→

−

x

e e x

F x F F

x

e x x x

F x F F

x

x x

x x

Nhận xét rằng F’(0-) = F’(0+) = 1 ⇒ F’(0) = 1, có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

0 1 2

0

khix x

khix

e xF

x

=







<

+

≥

=

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R

1.2 Xác định tích phân bằng phơng pháp phân tích.

Phơng pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận đợc từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết

Phơng pháp chung:

B

ớc 1: Biến đổi f(x) về dạng:

f(x) = ∑

=

n

i i i

x f

1

) (

α

với fi(x) có nguyên hàm trong bảng công thức và αi là các hằng số

B

ớc 2: Khi đó:

∫ =∫∑= =∑ ∫=n

i i i i

n

i i

dx x f dx

x f dx

x f

1 1

) ( )

( )

Ví dụ: Tính tích phân : =∫ + x

e

dx I

Giải: Sử dụng đồng nhất thức:

1 = (1 + ex) – ex

Ta đợc:

∫

∫







 +

−

=

⇒

+

−

= +

− +

= +

x

x x

x

x

x x

x x x

e

e d dx dx e

e I

e

e e

e e e

1

1 1

1

1

1 1

1 1

1

= x - ln(1 + ex) + C.

1.3 Xác định tích phânbằng phơng phápđổi biến số

Phơng pháp đổi biến số đợc sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân

Phơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

Định lý1:

b Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:

∫f(u)du = F(u) + C

c Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với

đạo hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta đợc:

∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt

Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:

Định lý 2:

a Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b] thì:

) (

) (

) (

) (

) ( )

(

b

a

b

a

u F du u f

ϕ ϕ

ϕ

b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x =

ϕ(t) xác định và liên tục trên đoạn [α, β] và thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tồn tại đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên đoạn [α, β]

(ii) ϕ(α) = a và ϕ( β) = b

(iii) Khi đó: ∫b =∫ [ ]

a

dt t t f dx x f

β α

ϕ

) (

Tuy nhiªn c¸i khã cña ph¬ng ph¸p nµy lµ c¸ch chän hµm x = ϕ(t) hay

u = ϕ(x) sao cho phï hîp víi tõng bµi to¸n cô thÓ

Lu ý: C¸c dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chän Èn phô:

2

2 x











≤

≤

=











=

π

π π

t t a x

t t

a x

0 , cos

2 2

, sin

2

2 a

[ ]













≠

∈

=

≠







−

∈

=

2 , , 0 , cos

0 , 2

, 2

, sin

π π

π π

t t

t

a x

t t

t

a x

x a

x a x a

x a

+

−

−

(x−a)(b−x) x= a + (b – a)sin2t

Hµm f(x, f (x)) t = f (x)

Hµm f(x) = (x+a)(x+b)

VÝ dô 1: TÝnh tÝch ph©n: =∫ +

1

2

x x

dx

Gi¶i: §æi biÕn sè:

t= x2 + 1 ⇒t2 =x2 + 1 ⇒tdt=xdx

Ta cã:

( )

C x

x

C t

t

dt t

t t

dt t

t tdt

x x

xdx x

x

dx I

+

















+ +

− +

=

+







 +

−

=













+

−

−

=

−

=

−

=

+

= +

=

∫

∫

∫

1 1

1 1 ln

2 1

1

1 ln 2 1

1

1 1

1 2

1 1 1

1 1

2 2

2 2

2 2 2

Ví dụ 2: Tính các tích phân: = ∫8 +

3x x2 1

dx I

Giải:

Đặt:

3 8

2 3

1

1

2 2

=

⇒

=

=

⇒

=

=

⇒

= +

=

⇒ +

=

t x

t x

x

tdt dx t

xdx dx x

x dt x

t

Khi đó:

t t t

dt t t

tdt x

x

tdt x

x

dx













+

−

−

=

−

=

−

= +

=

1 1

1 2

1 1 1

1

2

2

3 ln 2

1 1

1 ln 2 1

1 ln 1 ln 2

1 1

1 1

1 2 1

3

2

3

2 3

2

=











 +

−

=

+

−

−

=













+

−

−

=

t t

t t

dt t t

I

1.4 Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần

Phơng pháp tích phân từng phần đợc sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số Phơng pháp này cụ thể nh sau:

Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:

∫udv = uv - ∫vdu

Còn đối với tích phân xác định, ta có:

∫b = −∫

a

b a

b

uv udv

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=∫f(x)dx ta tiến hành theo các bớc sau:

- Bớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

I = ∫f(x)dx = ∫f1(x).f2(x)dx

- Bớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx ⇒ du,v

- Bớc 3: I = uv - ∫vdu

Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phơng pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v đợc xác định một cách dễ dàng

- Tích phân ∫vdu đợc xác định một cách dễ dàng hơn so với I

Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức

- Khi gặp các tích phân có dạng:

∫P(x)axdx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx

nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x)

- Khi gặp các tích phân có dạng:

∫P(x)logaxdx

nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x)

- Khi gặp các tích phân có dạng:

∫eaxsinbxdx, ∫eaxcosbxbx

nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax

Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến và tiện lợi của

ph-ơng pháp này:

1

) 1 ln(

2

2

dx x

x x x

1 )

1 ln(

2

x

x x

x

Đặt:

( )















+

=

+

= + + +

+

=

⇒











+

=

+ +

=

1

1

1 1 1

1

1 ln

2

2 2

2

2

2

x v

x

dx dx x x x

x

du dx x

x dv

x x u

Khi đó:

ln 1

1 ln

1

2 2

2 2

C x x

x x

xdx x

x x

I

+

− + + +

=

− + + +

1.5 Xác định tích phân bằng phơng pháp dùng nguyên hàm phụ.

Phơng pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn, từ đó suy

ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm của hàm

số f(x) theo phơng pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bớc sau:

- Bớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x).

- Bớc 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:







+

=

−

+

=

+

' ) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

(

C x B x G x F

C x A x G x F

- Bớc 3: Từ hệ trên ta nhận đợc: F(x) =

2

1

[A(x) + B(x)] + C

Đối với phơng pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) nh thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ dàng hơn

Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) =

x x

x

cos sin

sin

Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) = sinxcos−cosx x

Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x),

g(x) Ta có: f(x) + g(x) =

x x

x x

cos sin

cos sin

− +

Suy ra:

x

F C

x x G x F

C x x

x G x F

C x dx x

G x F

x x

x x

x g x

f

C x

x x

x

x x

d dx x x

x x

x G x

F

+ +

−

=

⇒







+

=

−

+

−

=

+

⇒

+

=

=

−

⇒

=

−

−

=

−

+

−

=

−

−

=

−

+

= +

∫

∫

∫

cos sin

ln 2

1 )

( '

) ( ) (

cos sin

ln ) ( ) (

' )

( ) (

1 cos sin

cos sin

) ( ) (

cos sin

ln cos

sin

) cos

(sin cos

sin

cos sin

) ( ) (

1.6 Xác định tích phân của các hàm số lợng giác.

Để xác định tích phân của các hàm số lợng giác, ta thờng sử dụng các phơng pháp sau:

a) Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lợng giác

c) Sử dụng các phép biến đổi lợng giác đa về các nguyên hàm cơ bản d) Phơng pháp đổi biến

Đối với các dạng tích phân: I = ∫R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách

đổi biến lựa chọn một trong các hớng sau:

- Hớng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép

đổi biến t = cosx

- Hớng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép

đổi biến t = sinx

- Hớng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép

đổi biến t = tgx

- Hớng 4: Mọi trờng hợp đều có thể đa về tích phân các hàm hữu tỉ

bằng phép đổi biến t = tg

2

x

e) Phơng pháp tích phân từng phần

f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

Ví dụ : Tính: ∫ ( )

− +

= 0 2

2 sin

2

2 sin

π

dx x

x I

Giải: Ta có nhận xét rằng:

) cos , (sin

sin 2

) cos ( sin 2 sin

2

cos sin 2 sin

2

2 sin )

cos ,

x x

R

x

x x

x

x x x

x x

x R

−

−

=

+

−

−

= +

= +

=

Từ nhận xét đó giúp ta định hớng đợc phép biến đổi

Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;

x =

2

π

− ⇒ t = -1

Khi đó:

2

2 2

ln 2

2 2

2 2

1 2 2

2 2

2 2

2

0

1

0

1

2 0

1

2 0

1 2

−

=













+ + +

=

+













+

− +

= +

− +

= +

=

−

−

−

t t

t d t t

dt t

t t

tdt I

1.7 Tích phân của các hàm số hữu tỉ

Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phơng pháp cơ bản sau:

1 Phơng pháp tam thức bậc hai

2 Phơng pháp phân tích

3 Phơng pháp đổi biến

4 Phơng pháp tích phân từng phần

5 Sử dụng các phơng pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần

Tuy nhiên, chọn cách sử dụng phơng pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

Ví dụ : Tính tích phân: .

3 4

1

0

2 4

=

x x

dx I

Giải: Biến đổi:











+

− +

= + +

= +

1 1

1 2

1 3 1

1 3

4

1

2 2

2 2 2

x

Khi đó:

= ∫1 + −∫ + 

0

1

0 2

2

1

x

dx x

dx I

+) Ta đi xác định tích phân =∫1 +

0 2 1

1

x

dx I

Đặt x = tgt, 2 2

π

π < <

;

t tg

dt t tg x

dx dt t tg

+

+

= + +

1

1 1

&

1

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;

x = 1 ⇒ t = 4

π

Khi đó: = ∫4 = =

0

4

π

π π

t dt I

+) Ta đi xác định tích phân =∫1 +

0 2 2

3

x

dx

Đặt x = 3 tgt, −2π <t<π2;

t tg

dt t tg x

dx dt

t tg dx

3

1 ) 1 ( 3

1 3 3

&

1

2 2

+

+

= + +

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;

x = 1 ⇒ t = π6

Khi đó:

3 6 3

1 3

0

6

0

π

=

=

Từ đó ta có:

I = .

3 6 4 2

1







Nhận xét: Nh vậy, ta đã kết hợp nhiều phơng pháp lại với nhau để giải

ví dụ trên, cụ thể ở ví dụ trên ta đã sử dụng đồng thời hai phơng pháp là phơng pháp phân tích và phơng pháp đổi biến

1.8 Tích phân của các hàm số vô tỉ.

Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phơng pháp sau:

- Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản

- Phơng pháp đổi biến

- Phơng pháp tích phân từng phần

- Sử dụng các phép biến đổi

- Kết hợp các phơng pháp khác nhau

Ví dụ : Tính tích phân: ∫ 1 2 (1 2)3 .

+ + +

=

x x

xdx I

Giải: Biến đổi I về dạng:

∫

+ + +

1 1

xdx I

Thực hiện phép đổi biến:

Đặt: t= 1 +x2 ⇒t2 =x2 + 1

Suy ra:

tdt = xdx và t tdt t dt t

x x

xdx

+

= +

= + +

Khi đó:

1

2 C x C

t t

dt

+

1.9 Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để tính tích phân : =∫

b a

dx m x f

I ( , ) ta thực hiện theo các bớc sau:

- Bớc 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên đoạn [a, b] Từ đó phân đoạn [a,

b] thành các đoạn nhỏ mà trên mỗi đoạn đó f(x, m) có một dấu xác

định, giả sử:

[a, b] = [a, c1] ∪ [c1, c2] ∪…∪ [ck, b]

- Bớc 2: Khi đó ta có:

=∫ +∫2 + +∫

1

1

) , (

) , ( )

, (

c

c

b

c

c

dx m x f dx

m x f dx m x f I

Ví dụ : Tính tích phân: =∫1 −

0

dx a x x

I (a > 0)

Giải: Ta xét các trờng hợp sau:

Trờng hợp 1: Nếu a ≥ 1, khi đó ta có:

3

1 2 2

3 )

(

1

0

2 3 1

0

−

= +

−

=

−

−

I Trờng hợp 2: Nếu 0 < a < 1, khi đó ta có:

3

1 2 3 2 3 2 3

1 2 3

2 3 2

3

) ( )

(

3 3 3 3

3

1 2 3

0

2 3

1

0

+

−

= +

−

− + +

−

=







+







=

− +

−

−

a a a a a a

a

ax x ax

x

dx a x x dx a x x I

a

a a a

II, Các biện pháp để tổ chức thực hiện

1.Hình thức luyện tập trên lớp có sự hớng dẫn của Thầy giáo

- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá với các bài tập ở mức độ vừa phải Thầy giáo đa ra các phơng pháp giải và

hệ thống bài tập, Học sinh nêu các lời giảI có thể có đợc của bài toán Sau đó

cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài toán ở mức độ

đơn giản

- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức độ những bài toán cao hơn

2 Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hớng dẫn của thầy giáo

Hình thức này cũng cần đợc thực hiện liên tục trong quá trìnhhọc tậpcủa học sinh, làm cho khả năng t duy, sáng tạo của học sinh ngày càng đợc tăng lên

C Kết LUậN

1 Kết quả nghiên cứu

Sau khi tôI thực hiện dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dỡng và cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh Kết quả đạt đợc

là có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu

2 Kiến nghị, đề xuất

Cần tăng cờng hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách dạy

và đa ra các tài liệu tham khảo