e Quan hệ đạo hàm dsin2x=sin 2x... - Lưu ý: Nếu đề bài chưa cho hai đường thẳng x=a x, =b chính là hai cận thì trước tiên ta cần giải phương trình f x =g x để tìm cần rồi làm tiếp như t
Trang 1Tích phân hữu tỷ
Ở phần này ta chỉ xét các tích phân hữu tỷ mà mẫu có thể phân tích được thành nhân tử
Cần nhớ: Hãy tách tử thành các đa thức có thể rút gọn được cho mẫu!
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
Lời giải: a) Ta có
2
x
+ −
= + − + − + = + + +
x
b) Ta có
2
Suy ra
0
1
x
Với tích phân mà mẫu là đa thức mũ cao thì hãy tách tử thành thành các đa thức có số mũ bé hơn
Ví dụ 2: Tính tích phân
1
3
0 (1 )
x
x
= +
∫
Lời giải: Ta có
1
0
x
+
Bài tập
0
2
1
A
dx
−
=
∫
1
dx B
=
2
x
=
∫
2 0
D
=
∫
2 1
−
=
∫
2
dx F
=
∫
Trang 24
x
+
=
1
−
=
0 (1 2 )
x
x
=
+
∫
1
0
J
dx
=
∫
3 2
9 2
(1 )
x
x
=
−
∫
4 3
10 2
L ( 1)
x dx x
=
−
∫
Đổi biến loại 1
Các bước phương pháp đổi biến
Bước 1: Từ biểu thức f x( ) lựa chọn phép đổi biến thích hợp
Bước 2: Đổi cận
Bước 3: Tính tích phân mới (đơn giản hơn tích phân ban đầu)
Phát hiện quan hệ đạo hàm trong biểu thức f x( )
Ví dụ 1: Tính các tích phân
1 2
0 1
x
x
= +
1
1
e−
=
−
∫
2 1
ln
e
x
=
+
0
2 2
sin 2 (2 sin )
x
x
π
−
=
+
2 sin
4
sin 2
x
π
π
=∫
Lời giải: a) Quan hệ đạo hàm: d x( )2 =2x Do đó ta có
x =t
Đổi cận:
1 1
1
dt
t
+
∫
b) Ta biến đổi 1
x
x x
e
e− =e
− − Quan hệ đạo hàm ( )x x
d e =e
1
x x
d e e
e =t rồi làm tiếp Đáp số: ln(e+1)
c) Quan hệ đạo hàm: d(lnx) 1
x
ln
1
ln
(ln )
e
1
sin
Tích phân cuối đã biết cách giải Đáp số D= −2
Trang 3e) Quan hệ đạo hàm d(sin2x)=sin 2x Do đó 2 2 ( )
1
1
Nếu biểu thức trong tích phân có chứa n g x( ) hãy đặt t=ng x( )
Ví dụ 2: Tính tích phân
2 3 1
1
x
x
−
+
=
+
∫
Lời giải: Đặt t=33x+ ⇒ =2 t3 3x+2 , lấy đạo hàm hai vế ta được 2
t dt=dx, mặt khác
3 2 3
t
Đổi cận
4 2 2
3
2
t
t t
t x
+
Bài tập
1
0 4
x
x
=
−
2 0
I =∫ x +x dx
1
5 3 6 3
0
I =∫ x −x dx
0 ( 1)
x
x
=
+
1
2 3 5
0
22 3 3 6 1
I =∫ x+ dx
4
7
0
1
x
=
+
∫
1 8 0
1
x
=
−
∫
4 2 9
4 3 3
4 x
x
−
= ∫
1
10
0
2
I =∫ x −x dx
1 11
0 2 1
xdx I
x
=
+
∫
12
0 ( 1) 1
x
=
∫
3 2
13
0
1 1
x
x
+
=
+
∫
2
2 3 14
0
2 2
2
1 1
x
x x
−
−
+
=
+
∫
2
1
1 1
=
+
3 5 3
0
2 1
x
+
=
+
∫
2 2 18
x x
e
e
=
+
∫
ln 2
19
0
1
x
I =∫ e − dx
1 20 0
1 4
x
e
=
+
∫
1
3 1 21
0
x
I =∫ e + dx
22
1
1 3 ln ln
e
x
+
1
e
x
+
0
sin 2 sin
1 3 cos
x
π
+
=
+
∫
4 3
0
sin
cos
x
x
π
26 0
sin 2 (1 sin )
π
6
1 sin cos
π
π
=∫
Trang 44 2
28
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
−
=
+
∫
3
4
tan cos 1 cos
x
π
=
+
4 tan 2
0 cos
x
e I
x
+
=∫
2
2
31
0
.sin cos
x
π
1
sin(ln )
e
x
x
3 33 0
sin ln(cos )
π
=∫
3
34
0
1
π
=
+
4 35 0
3 sin 2
x
π
+
=
+
∫
3
6
1 sin cos
π
π
=∫
Đổi biến lượng giác
Xét tích phân c ( )
d
f x dx
∫ , ta cần chú ý
Khi biểu thức f x( ) chứa a2−x2 thì hãy đặt x=a.sinα
Khi biểu thức f x( ) chứa 2 2
x −a thì hãy đặt
sin
a x
α
=
Khi biểu thức f x( ) chứa a2+x2 thì hãy đặt x=a tanα
Bài tập
1
3
1
4
=
−
∫
2
1
4
−
2
2 0
4
C=∫ +x dx
3
2
3
1
3
x
=
+
2
1 1
x
=
−
1
1
−
=
∫
2
2 1
−
1
2 4 2
x
x
=
−
0
1 1
=
+ +
∫
Tích phân từng phần Công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b
u x dv x =u x v x − v x du x
Thứ tự đặt u x( ): ln sin x
x> >x x>e (*)
Ví dụ: Tính tích phân sau
2
0
cos x
π
Lời giải
Theo (*) đặt ( ) cos , x ( )
u x = x e dx=dv x , khi đó theo công thức TPTP ta có
Trang 5( )
2 0
π
/2
2
e
π
Bài tập
1)
1
0
( 1) x
I=∫ x+ e dx
2)
1
2 0
( 2) x
2
4
0
sin xdx
π
∫ 4)
2
1
ln
2
0
( 1)sin
π
1
ln
e
I=∫ x xdx
1
ln
e
1 2 0
x
0
I=∫ x + +x e dx
0
0
sin
x
π
∫
12) I =
3
0
sin ln(cos )x x dx
π
∫
1
3
0
x
x e dx
10 2 1
lg
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
Diện tích hình phẳng
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y= f x( ), y=g x( ) và hai đường thẳng x=a x, =b b( >a) được tính theo công thức ( ) ( )
b
a
f x −g x dx
- Khi đó ta cần chia khoảng (a b; ) thành các khoảng nhỏ mà tại đó ta xét được dấu của biểu thức f x( )−g x( ) để
từ đó phá dấu giá trị tuyệt đối rồi tính tích phân như thường
- Lưu ý: Nếu đề bài chưa cho hai đường thẳng x=a x, =b (chính là hai cận) thì trước tiên ta cần giải phương trình f x( )=g x( ) để tìm cần rồi làm tiếp như trên
- Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số x=f y( ),x=g y( ) và hai đường thẳng
y=a y=b b>a được tính theo công thức ( ) ( )
b
a
f y −g y dy
Bài tập
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2
+ 1, y = 3 – x
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = e
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = 1/e, x = e
4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y3
, x = 8, y = 1
5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex
, y = e-x , x = 1
6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2
– 2x +2; tiếp tuyến của (P) tại M(3; 5) và trục tung
Trang 67 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2
+ 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M(0; – 3 ) ; N(3; 0 )
8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục Ox, trục Oy; tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = lnx tại giao điểm của đồ thị hàm số đó với Ox
9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2
+ 6x – 8; tiếp tuyến của (P) tại đỉnh của (P) và trục tung
10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2
= 2x và x2 = 2y
11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin3
x; y = cos3x và trục Oy (0 )
4
12 Tính diện tích hình phẳng của mỗi phần giới hạn bởi các đường x2
+ y2 = 16 và y2 = 6x
13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2
– 2x và hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2; – 9)
14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2
; y = 1
8x
2
và y = 8
x
15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2
; y = 1
2x
2
và y = 2x
16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − x + y = x + (ĐH – A 2002)
18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x và y = (1 + ex
)x (ĐH – A 2007)
19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x2
+3y = 0 và y = − 4 − x2