Chương III Nguyên hàm - Tích phân ứng dụng Bài Biên soạn : Phạm Quốc Khánh Chương trình sách giáo khoa GD – ĐT 2008 (Bài chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp) click I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong : Kí hiệu T hình thang vng giới hạn đường thẳng y = 2x + , trục hoành đường thẳng x = , x = t ( ≤ t ≤ 5) Hình vẽ Tính diện tích S hình T t = y 11 +1 y= y= 2x 2x +1 y S(t) O S t x O t x Tính diện tích S(t) hình T t ∈ [1 ; 5] Chứng minh S(t) nguyên hàm f(t) = 2t + với t ∈ [1 ; 5] diện tích S = S(5) - S(1) click Giải : +1 y 2x Tính diện tích S hình T t = +11 S = ( −1) = 28 ( dvdt ) Diện tích S : 2t + Diện tích S(t) : S (t) = +( 2t +1) ( t −1) = ( t + ) ( t −1) ( dvdt ) Chứng minh S(t) nguyên hàm f(t) = 2t + với t ∈ [1 ; 5] diện tích S = S(5) - S(1) Chứng minh : Xét S’(t) = (t2 + t - ) ’ = t + = f(t) Vậy có : ∫ f ( t ) dt = S ( t ) +C Xét diện tích y= Tính diện tích S(t) hình T t ∈ [1 ; 5] S(t) O t x : S(5) = 7.4 S(1) = 3.0 = Vậy S = S(5) - S(1) = 28 click Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu đoạn [a ; b] Hình phẳng giới hạn : Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , hai đường thẳng x = a ; x = b gọi hình thang cong Bây xét đường cong kín Hình D ta chia hình (hình vẽ) y f(b) y = f(x) f(a) O a b x Bằng cách kẻ đường thẳng song song với trục tọa độ , chia D thành hình thang cong Dẫn đến tính diện tích hình thang cong click Ví dụ : Giải : Tính diện tích hình thang cong giới hạn đường cong y = x2 , trục hoành đường thẳng x = ; x = Với x ∈ [0 ; 1] Gọi S(x) diện tích phần hình thang cong cho nằm đường thẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x Ta chứng minh : S’(x) = x x∈[0;1] y y y = x2 y = x2 F E Q M S(x) O x x O P N x x+h x Thật với h > , x + h < kí hiệu : SMNPQ SMNEF diện tích hình chữ nhật MNPQ MNEF Ta có SMNPQ ≤ S(x+h) - S(x) ≤ SMNEF hay hx2 ≤ S(x+h) - S(x) ≤ h(x+h)2 S x +h ) −S ( x ) Vậy có : ≤ ( − x ≤ xh + h h S ( x +h ) −S ( x ) xh + h ≤ −x2 ≤ Và với h < ; x +h > Tính tốn tương tự có h S ( x +h ) −S ( x ) − x2 ≤ x h +h2 Tóm lại với h ≠ : click h S x +h ) −S ( x ) Suy : S ' ( x ) = lim ( = x2 x ∈( ;1) Cũng có S’(0) = ; S’(1) = h→ h Do S(x) nguyên hàm hàm số f(x) = x2 đoạn [0 ; 1] x Cũng nguyên hàm f(x) = x2 nên Mặt khác đọan F(x) = x3 x3 Với giả thiết S(0) = nên suy C = Vậy : S ( x ) = S ( x) = +C C ∈R 3 Thay x = vào ta có : diện tích cần tìm : S(1) = Bây xét đường cong , biễu diễn (hình vẽ) Kí hiệu : S(x) diện tích hình thang cong Ta chứng minh : S(x) nguyên hàm f(x) [a ; b] y f(b) Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) có số C Sao cho : S(x) = F(x) + C y = f(x) Vì S(a) = nên F(a) + C = hay C = - F(a) f(a) Vậy S(x) = F(x) – F(a) S(x) O a Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a) x b x click Định nghĩa tích phân : Giả sử f(x) hàm liên tục đoạn [a ; b] F(x) G(x) hai nguyên hàm f(x) Chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a) tức hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm ) Định nghĩa : Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a ; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đọan [a ; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b ( hay gọi tích phân xác định đoạn [a ; b] hàm số f(x)) b Kí hiệu : ∫ f ( x ) dx a b ∫ f ( x)dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a ) b Ta gọi ∫ a dấu tích phân , a cận , b cận f(x) dx biểu thức dấu tích phân f(x) hàm số dấu tích phân Chú ý : Trong trường hợp a = b hay a > b , ta quy ước : a ∫ f ( x ) dx =0 a b ; a a b ∫ f ( x ) dx =−∫ f ( x ) dx click Ví dụ : a) Tính : ∫ xdx = x e 2 1 ∫ t dt b) = 22 −12 = e = ln t = ln e −ln1 =1 −0 =1 Nhận xét : a) Tích phân phụ thuộc vào f cận a , b ; không phụ thuộc vào biến số x : b b b a a a ∫ f ( x ) dx =∫ f ( t ) dt =∫ f ( u ) du = b) Ý nghĩa hình học tích phân : Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a ; b] , tích phân b ∫ f ( x ) dx diện a tích S hình thang cong giới hạn đồ thị f(x) , trục Ox hai đường x = a ; x = b Vậy b S =∫ f ( x ) dx a click II - TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất : b b ∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx a Tính chất : ( k số ) a b b b a a a   ∫ f(x) ± g ( x )  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx Tự chứng minh tính chất : Ví dụ : ∫( x Tính : ) +3 x dx Giải : ∫( x Ta có : ) 4 1 +3 x dx = ∫ x dx +3∫ x dx x3 = 4 2  +3  x ÷ 3 1 43 −1 = + ( 23 −1) = 35 click Tính chất : b c ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a a Chứng minh : c     ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = F ( c ) − F ( a )  + F ( b ) − F ( c )  2π Giải : ∫ Tính : Ta có : 2π ∫ sin x Vì : sin x =  −sin x ∫ b = F ( b) −F ( a ) = ∫ f ( x ) dx a −cos x dx −cos x dx = 2π c b a Ví dụ : (a ∫cos xdx sin xdx < π /2 ∫ cos xdx 0 sin xdx = π /2 ∫ cos xdx Không so sánh D π ∫cos b) Tích phân. .. ta quy ước : a ∫ f ( x ) dx =0 a b ; a a b ∫ f ( x ) dx =−∫ f ( x ) dx click Ví dụ : a) Tính : ∫ xdx = x e 2 1 ∫ t dt b) = 22 − 12 = e = ln t = ln e −ln1 =1 −0 =1 Nhận xét : a) Tích phân phụ thuộc