Tich phan LTDH hot

Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩaB1: Tính số gia đối số và số gia hàm số... Ví dụ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa các hàm số saua.. Tính đạo hàm dựa vào công thức Ví dụ 2: Tính đạo h

1 Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa

B1: Tính số gia đối số và số gia hàm số

Ví dụ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa các hàm số sau

a y = x2 tại x0 = 2

b y = ex tai x0 = 1

2 Tính đạo hàm dựa vào công thức

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

p y = cotg (5x2 + x – 2) q y = cotg2 x + cotg2x

3 Ứng dụng đạo hàm để giải toán

Tính y , y , y ,…′ ′′ ′′′ (có khi ta phải rút gọn hàm số y = f(x) trước, sau đó mới tính đạo hàm)

Thay y , y , y ,…′ ′′ ′′′ vừa tìm được vào biểu thức F, thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán.

Bài 1 Cho hàm số y =ln2x Giải bất phương trình y + xy - x y′ 2 ′′ ≤3

b Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y′.

Bài 4 Cho hàm số y = xe Chứng minh bất đẳng thức sau: -x y + y - y - y > 0, x R′′′ ′ ′′ ∀ ∈

Bài 4 Cho hàm số y = x e Chứng minh đẳng thức: 2 x xy = x + 2 y′ ( )

Bài 5 Cho hàm số y = cos x - sin x4 4

a Chứng minh rằng: y + 2sin2x = 0′

b Giải phương trình 2y + y = 0′ .

y = cos

2 Chứng minh đẳng thức: ycosx - y sinx = y′ .

Bài 7 Cho hàm số y = e sinx Chứng minh rằng: 2y - 2y + y = 0x ′ ′′ ′′′ .

1 cos

Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( )(x -1 y + y - y = 0′′) ′

B VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

d tanx = tanx dx = = 1+ tan x dx

2 d u.v = udv + vdu ( ) ⇒udv = d u.v - vdu( )

⇒d ku = kdu( ) với k = const

Bài 2 Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau

a y 11

x

= − b y = tanx c y = x4 – x2 + 3 d y = cos2x

Nếu thay khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải thêm F’(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b)

Ghi nhớ: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số có dạng F(x) + C (C là hằng số)

cũng là nguyên hàm của f(x) và chỉ những hàm số có dạng F(x) + C mới là nguyên hàm củaf(x) Ta gọi F(x) + C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f(x) và ký hiệu là( )

2 2

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp 1: Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất

Bài 1: Cho hai hàm số F x = x + sin2x( ) 1 1

Bài 3: Cho hàm số f x = 2cos xcos4x( ) 2

Bài 5: Biết rằng hàm số F x =( ) sinx

1+ cosx là nguyên hàm của f(x)

Hãy tìm các giá trị của x sao cho f x - f x = 0( ) ( )′ .

Bài 6: Cho hàm số y = xe x

a Tính y′và y′( )2 .

b Tìm nguyên hàm của hàm số f x = x + 2007 e( ) ( ) x

Bài 7: Cho hàm số f x = e sinx( ) x

Chứng minh rằng hàm số f x - f x′( ) ( )′′ là nguyên hàm của hàm số 2f x( )

Bài 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx biết nguyên hàm này bằng 5 khi x = π

3

Bài 11: Cho f(x) = x.lnx + x , (x > 0)2

Tìm nguyên hàm của hàm g(x) = lnx biết rằng nguyên hàm này bằng – 2 khi x = 2

Bài 12: Cho f(x) = xcosx + x Tìm nguyên hàm của hàm g(x) = xsinx biết rằng nguyên hàm 2này bằng khi x = π

2.

Bài 13: Định m để hàm số F(x) = mx3 + (3m + 2)x2 – 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 10x – 4

Bài 14: Cho f(x) = x2.ex Định a, b, c để F(x) = (ax + bx +c).e2 x là một nguyên hàm của f(x)

Bài 15: Cho f(x) = x 3- x Tìm a, b, c sao cho F(x) = (ax2 + bx + c) 3 x− là một nguyên hàm của f(x)

Bài 16: Xác định a, b, c để hàm số F(x) = (ax + bx + c) 2x -3 với 2 x 3

2

> là một nguyên hàm của hàm số

220x -30x + 7f(x) =

2x -3

Bài 17: Cho hàm số : y = (2x2 – 3x)ex

1) Chứng minh rằng: y’’ – 2y’ + y = 4ex

2) Suy ra : 4ex + 2y – y’ là một nguyên hàm của y

Bài 18: CMR: F(x) = (x – 2)ex là một nguyên hàm của f(x) = (x – 1)ex

Bài 19: CMR: F(x) = x -ln(1+ x ) là một nguyên hàm của f(x) =1+ x trên Rx

Bài 20: CMR:

x lnx - khi x > 0xF(x) = 2 4

0 khi x = 0







Phương pháp 2 Xác định nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm cơ bản

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số

x x

1

x +x

x + x + 2x

23x -x

x - 2 x +1

32x - 3xx

x x

33x - x +12x +1

x dx(x -1)

∫Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: x3 = ((x – 1) + 1)3 = (x – 1)3 - 3(x – 1)2 + 3(x – 1) – 1

x dx1- x

∫Cách 1: Sử dụng đông nhất thức: x2 = [(1 – x) – 1]2 = (1 – x)2 – 2(1 – x) + 1

2 2

Phương pháp 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàmcủa các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)

Bước 1: Tìm hàm g(x).

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:

1 2

(*)

F(x) + G(x) = Ax + CF(x) -G(x) = Bx + C

Phương pháp 5 Đổi biến số

a Đổi biến số dạng 1 (Thuận)

Giả sử cần tính tích phân ∫f x dx( )

Bước 1: Chọn x = ϕ( )t là hàm số phù hợp theo bài toán

Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ' t( ) dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

Bước 4: Tính nguyên hàm ∫g t dt( ) và kết luận

+ Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.

+ Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức

+ Nếu tích phân chứa dxx thì đặt t = lnx

+ Nếu tích phân chứa ex thì đặt t = ex

+ Nếu tích phân chứa dxx thì đặt t = x

+ Nếu tích phân chứa dxx thì đặt 2 t = x1

+ Nếu tích phân chứa cosxdx thì đặt t = sinx

+ Nếu tích phân chứa sinxdx thì đặt t = cosx

+ Nếu tích phân chứa cos x thì đặt dx2 t = tanx

+ Nếu tích phân chứa sin x thì đặt dx2 t = cotx

Do x = tant và sint = tant.cost = tant 2

xsint =

x dx1- x

∫2

1 dxx(x +1)

1- x dxx(x +1)

∫

Bài 3 Tính các tích phân bất định sau

dx(x -1).(2- x)

∫2

dx(x +1) x + 2x + 2

∫2

x dx1- x

∫2

sinx.cos x

dxsin x.cos x

∫2

sinx dxcosx sin x +1

1+ cos x

∫2

ln xdx

x

∫ ∫x.e dxx +12

x x

e dx

e -3

∫ tgx

a Nội dung

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K

u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - v(x).u'(x)dx

hay ∫udv = uv - vdu∫ ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:

Thông thường ta làm như sau:

- Tính ∫e sinβx.dxαx : Đặt u = e Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phânαx

αx

e cosβx.dx

∫ Ta lại áp dụng NHTP với u như trên

- Từ hai lần NHTP ta có mối quan hệ giữa hai nguyên hàm và dễ dàng tìm được kết quả

b Bài tập

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x.sinxdx∫ 2 xcosxdx∫ 3 ∫(x +5)sinxdx2

4

xcosx dxsin x

33 ∫xlog xdx3 34 xsinx dx2

cos x

∫ 35 ∫e ln(e +1)dxx x

36 ∫ 2.cos(x + )e dxπ4 -x 37 (cotg x +cotgx +1)e2 -x 38 ∫ln(x + x -1).dx2

III NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP

1 Nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ f x =( ) P x( ) ( )

Q x

∫Trong đó P(x), Q(x) là các đa thức của biến x Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc củaQ(x) thì ta chia P(x) cho Q(x) Giả sử P x = A x Q x + R x , trong đó A(x), R(x) là các đa( ) ( ) ( ) ( )

2a

VD1 Tính các tích phân bất định sau

TH3 : Q x = ax + bx + c có hai nghiệm thực phân biệt ( ) 2 x , x1 2

Khi đó Q x = a x - x( ) ( 1) (x - x Ta tìm 2) A, Bsao cho :

Q x

∫ với Q x = ax + bx + cx + d( ) 3 2

Ta xét ba trường hợp sau

TH1: Q x có ba nghịêm phân biệt ( ) Q x = a x - x( ) ( 1) (x - x2) x - x 3)

Ta tìm A,B,C sao cho : ( )

3

x - 2

x - xdx4

3

5x + 4x + 3

x +1 x + 25x +1 dx6

dx3

x 1+ x

x dx4

x + 4x +3dx

3

2x -62x -6

3A = -6 A = -22A + 3B = 2 B = 22B + C = 0 C = -4

x dx

I =1+ x

∫ Đặt t = x2 2 =1- 1 2

1+ x 1+ x ⇒ ( 2)2

2x

dt =1+ x

+ Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

+ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tíchf(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

x +1 dx(x -1) (x + 3)

x +1 dx(x - 4)(x +1)

x +1 dx(x - 2)

x + 2x -1 dx(x -1)(x +1)

22 2

1 dxx(x +1)

(1- x )dxx(x +1)

x dx(x -1)

3

x + x +1 dx(x +1)(x -1)(x - 2)

3 2 -

2 Nguyên hàm của các hàm số lượng giác

a Dạng: ∫sinax.cosbxdx, sinax.sinbxdx, cosax.cosbxdx∫ ∫

Phương pháp giải:

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng (hiệu) các tích phân rồi giải

b Dạng: ∫sin xdx; cos xdxn ∫ n

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến

Ví dụ : ∫sin2n+1xdx = sin xsinxdx = (1-cos x) sinxdx∫ 2n ∫ 2 n Đặt t = cosx

c Dạng: R(sinx).cosxdx ∫ Đặc biệt: ∫sin x.cos2n 2k+1xdx

d Dạng: R(cosx).sinxdx ∫ Đặc biệt: ∫sin2n+1x.cos xdx 2k

Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản

+ Nếu R -sinx,cosx = -R sinx,cosx thì đặt t = cosx( ) ( )

+ Nếu R sinx,-cosx = -R sinx,cosx thì đặt t = sinx( ) ( )

+ Nếu R -sinx,-cosx = -R sinx,cosx thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)( ) ( )

Bài 1 Tính nguyên hàm của các hàm số sau

1 2sin2x

2 2 tan2x 3 cos2x

4 (tanx – cotx)2 5 tg x5 6 cotg x6

7 cos x4 8 sin x + cos x4 4 9 cos x +sin x6 6

10 (3 – 2cosx)2 11 sin4x 12 cos33x

16 sin3x.cos3x 17 2sin3xcos2x 18 sin5x.cos2x

9) (3 – sin2x)(2 + 5cos2x) 11 (2cos23x – 1)sin23x 12) (tg2x – 3)(2cot2x + 5)

13 (3 – tgx)(5 + 4cotgx) 14

232cosx -

19 cosx.cos2x.sin4x 20 cosx.cos2x.cos3x 21 sin3x.cos3x

22 cosxcos3xcos5x 23 sin xcosx2 24 cotgx

Bài 2 Tính nguyên hàm của các hàm số sau

7 ∫cosxdx 8 sin x14 9 sinx + cosxcos2x

10 4cos x - 4cos x +14 1 2 11 sinx + cosx3+sin2x 12 ∫sinx(1+ cosx)(1+sinx)dx

sin(a - b) sin(a - b) sin(a - b)

Bước 2: Biến đổi đưa về kết quả

Ta sử dụng :

sin (x + a) -(x + b)

sin(a - b) sin(a - b) sin(a - b)

cos(a - b) cos(a - b) cos(a - b)

πsin(x + )

Dạng 3

I = tgxtg(x +α)dx∫ K = tg(x + α)cotg(x +β)dx∫ H = cotg (x +α)cotg(x +β)dx∫

Ta biến đổi tgxtg(x +α) = cosxcos(x +α)sinxsin(x +α) = cosxcos(x + α) + sinxsin(x + α)cosxcos(x + α) -1

sin4

Sử dụng công thức:

asinx + bcosx = a + b sin(x +α) = 2 a + b sin(2 2 2 2 x +α)cos(x + α)

2 2 2 2 2 2 2

x +αd(tg( ))

1+sin2x sinx + cosx

Đồng nhất thức: sinx = A(sinx + cosx) + B(cosx – sinx) = (A – B)sinx + (A + B)cosx

sinx -cosx + 2 2 1-cos x + 2 2 sin +

2 84

Biến đổi : a1sinx + b1cosx + c1 = A(a2sinx + b2cosx + c2) + B(a2cosx – b2sinx) + cSau đó đưa về dạng quen thuộc để giải

2sinx -cosx +1

∫

Ta phân tích: 5sinx = A(2sinx – cosx + 1) + B(2cosx + sinx) + C

= (2A + B)sinx + (2B – A)cosx + A + C2A + B = 5 A = 2

5sinx = 2 + 2cosx + sinx - 2

2sinx -cosx +1 2sinx -cosx +1 2sinx - cosx +1

xtg2

I = 2x + ln 2sinx -cosx +1 -ln x + C

tg + 22

3sinx + cosx

∫4sin2x + 1 = 5sin2x + cos2x = (Asinx + Bcosx)( 3sinx + cosx) + C(sin x + cos x)2 2

= (A 3 + C)sin x + (A + B 3)sinxcosx + (B + C)cos x2 2

4sin x = 3sinx -cosx + 2 I = - 3cosx -sinx + K

3sinx + cosx 3sinx + cosx ⇒

∫

Ta phân tích:

cos2x = (Asinx + Bcosx)(sinx + 3 cosx) + C(sin2x + cos2x)

= ( 3 B + C)cos2x + (B + 3 A)sinxcosx + (A + C)sin2x

1

A = 43B + C =1

e +1e

11 2 -5x+1 xx-1

10 12

3x x

e -8

1x.lnx.ln(lnx) 14 e + e + 2x -x 15

-x x

4 Nguyên hàm của các hàm vô tỷ

k) 3 ( )2

dx2x +1 - 2x +1

B TÍCH PHÂN

I LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Công thức Niutơn – Laipnit:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn a;b  Ta có:

b

b a a

f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a)

∫

Chú ý: Tích phân b

af(x)dx

∫ chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu

biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết: F(b) – F(a) = b b b

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp 1 Tính tích phân dựa vào tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản

0

x -2x +5x4

2(3+ )dx = 3x + 2ln(x +1) = 6 + 2ln2

-1(2x + x +1)dx

4 2 3

0

2(2x - x - )dx

3

-2x(x -3)dx

3 3 1

1(x + x x + x )dx

1

1 1(x + + + x )dx

x

∫ 14 2 2 3

1

x - 2x dxx

∫ 15 16

1x.dx

3 1

2x+1 ln2 x 0

e +1dxe

1(3sinx + 2cosx + )dx

π 4

0(cos x -sin x)dx

2 0

π 6 3 0sin xdx

π 2 3 0sin x 1+ cosx dx

sin2x 3-cos x dx

π 4

2 0

π 4

sin x.cos x

π 2 0

sinxdxcosx +sinx

0

(2cos x -1)dx1-sin2x

π

2 6

2 0

(4cos x -3)cosxdx(1+sin3x)

cos x tanx +3

π 6 0

dx1-sin2x

2sin xdx1+ cosx

π 4

2 0

sinx + 1+ tanx dxcos x

∫

61 π

0

xcos3xcosx.sin dx

tanx - 2cotx dx

π 4

π 3 4 π 4

dxsin x

dx

(2sinx + cosx)

π 3

0

sin2xdx2sin x +3cos x

π

2 2

0

2sinx(sin x -1)dx1+ cosx

∫

Phương pháp 2 Đổi biến số

ò ta thực hiện các bước sau:

2 0

6 0 0

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2 0

2 0 0

= 2 (1 + cos2t)dt = 2t + sin2tò =π Vậy I =π

Ví dụ 3 Tính tích phân

1

2 0

4 0

xdx1- x

x = 0 ⇒ t = 0; x = 1π t = 6

2⇒

⇒ I =

π 6 0

2 2 0

a - x dx a, b > 0(a + x )

∫Hướng dẫn : Đặt x = a tant

0

1 dx1+ x

2 2 0

24x - x dx

0

1 dx4- x

2 2 2

2 0

x dx1- x

2 3

3

x dx1+ x

0

2 -1

1dx

x + 3

2

2 -1

4x - x + 5 dx

3 2 2

1dx

x -1

∫

2.2 Đổi biến số dạng 2

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx = f(t)dt

b Những phép đổi biến phổ thông:

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t = lnx

- Nếu tích phân chứa ex thì đặt t = ex

- Nếu tích phân chứa dx

- Nếu tích phân chứa cosxdx thì đặt t = sinx

- Nếu tích phân chứa sinxdx thì đặt t = cosx

- Nếu tích phân chứa cos xdx2 thì đặt t = tanx

- Nếu tích phân chứa dx2

x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 22

2 1 1

⇒I = 2 6 8 7 2

1 1

3t t(3t -1)t dt = ( - ) =

∫

Giải

Đặt t = 1+ x , x = t2 – 2t + 1 ⇒ dx = (2t – 2)dt ⇒ dx =2t - 2dt

t1+ x

x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 9 ⇒ t = 4

2 2

2(2 - )dt = (2t - 2lnt) = 4 - 2ln2t

∫

Ví dụ 4 Tính tích phân sau: I = 2

1

xdx1+ x -1

3 0

cosx

(sinx + cosx)ò

x = 0 t = 1, x = t = 2

4

2 2

dx

I =(1 + x) 2x + 3ò

x +1 x + 2x -1 dx

1(3- 2x) dx

0

x dx(1+ 2x)

∫

4

3

2 2

(x + 2) dx

(x +1)

2 1

3 0

x dx(x +1)

2 3

9 2

x dx(1- x)

∫

x dx

x +1

1(2x -1) dxò

(3x +1)dx(x + 3)

1

3 0

xdx(x 1)+

x(1- x) dx

1

2 10 0

x(x - 4) dx

2 1

3 0

1 dx

x x +1

2 1

x dx1+ x -1

40

1

5 0

1- x dx

(1+ x)

2 2 2

0

x dx1+ x

x +1 dx3x +1

2

2 3 0

dxx(1+ x )

dx

x - 4 + x + 2

7 2 3 0

dx2x +1

2 0

x dx

x + x +1

∫

I =1+ x + x +1

∫64

(x -1).dx

x +1

3 7

0

x dx1+ x

π 3

sin xcos xdx

π 2 0

sinx dx1+3cosx

cotgxdx

π 6 01+ 4sinx cosxdx

sin3x dx2cos3x +1

π 2 0

cosx dx5- 2sinx

0cos xsin xdx

π 2 5 0cos xdx

0

4sin x dx1+ cosx

π 2

2 3 0

sinx -cosx dx1+sin2x

sin2xcosx dx1+ cosx

π 6

2 0

cosx +sinx dx3+sin2x

∫ 90

π 2

0

sin2x dxcos x + 4sin x

2 0

sin2x dx(2 +sinx)

π 2 0

cosx dx1+ cos x

3 6

x dxx

cos sin

1 dxcosx

π

2 4

0

1- 2sin x dx1+sin2x

∫ 105 e

1

1+3lnx lnx dxx

1+ ln x dxxlnx

dx

x 1-ln x

π 3 π 4

ln(tgx) dxsin2x

e dxcos x

π 2 sinx 0(e + cosx)cosxdx

118 ln2 xx

0

1-e dx1+ e

ln3

x 0

1 dx1+ e

2x ln2

x 0

e dx1+ e

ò ta thực hiện

Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = b

af(x)dx

2 0

x e dx(x +1)

∫ b/

8 3

4 3 2

x dx(x -1)

∫ c/

Tính I1

1 2 0

dx

=1+ x

∫ phương pháp đổi biến số Tính I2 =

2 1

2 2 0

x dx(1+ x )

π 2 0x.sin2xdx

x cosxdx

π 2 2 0(x + 2x)sinxdx

π

∫

3 2

0x +sinxdxcos x

2 0

x.sin x dx

sin2x.cos x

π 2

0(x + cosx)sinxdx

π 3 2 π 4

π 4 2 0xtan xdx

3 0

0x.e dx

0(x -3x)e dx

1(x +1).e dx

14x.lnxdx

1

lnx dxx

xlg xdx

1(6x - 4).ln xdx

0xln(1+ x )dx

∫ 58 2∫ 2

1ln(1+ x) dxx

59

3 e

3 1

ln xdx

x

π 4

0ln(1+ tanx)dx

2 0(2x + 7)ln(x +1)dx

e sinxdx

π 2 3x 5 0

e sin xdx

π 2 x 0

1 x

0e sinxdx

Phương pháp 4: Tích phân phụ

Giả sử ta phải tính tích phân I

Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J thực hiện được dễ dàng

0

cos xdxcos x +sin x

π 2 6 0

cos xdxcos2x

∫4)

3π

2 4

sinxdxsinx + cosx

π

2 2 0

x sin xdx

∫7)

x -x 0

e dx

e + e

π 2

x 2 0

e sin xdx

∫10)

π

2 6

0

sin xcosxdxcos x +sin x

∫

III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP

1 Tích phân của hàm hữu tỷ

a Tích phân hữu tỷ cơ bản

1 Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu

Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần

Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.

+ Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt

(2x +1)dx

x - 4x + 4

2 -1

1d(x +x) =1 ln(x + +1)-ln(x + +3)1 1 = (ln -ln5)1 7

4 2 1

1

x -3 dxx(x +3x + 2)

2

4 1

1 dxx(1+ x )

0

x dx1+ x

6 0

0

x dx (x - 4)

1

dxx(x +1)

4 3

4 1

(1- x ) dxx.(x +1)

0

2x + 2x +13 dx(x - 2)(x +1)

3 3

5 4

6 3 3

A(x) dxQ(x)

∫

- Bước 2:

+ Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: Q(x) = x -a( 1) (x -a x -a , ta tìm 2) ( n) A ,A A sao cho :1 2 n