Nguyên hàm - Tích phân LTĐH 2011

Nguyên hàm - tích phân và các ứng dụng a.tính tích phân bằng định nghĩa Phương pháp: 1.. • áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp.. • áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản,

Nguyên hàm - tích phân và các ứng dụng

a.tính tích phân bằng định nghĩa

Phương pháp:

1 Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), Chúng ta cần chỉ ra được hàm số F(x)

sao cho: F’(x) = f(x)

• áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp

• Neỏu gaởp daùng caờn thửực ủửa veà daùng soỏ muừ phaõn theo coõng thửực: , ( 0)

n

m n m

x =x m≠

• Neỏu gaởp daùng P x( )n

x thửùc hieọn pheựp chia theo coõng thửực:

1

m n

ư

ư

• Coõng thửực ủoồi bieỏn soỏ (loaùi 2):

Tớch phaõn daùng: ∫ f g x( ( ) '( )) g x dx ẹaởt g(x) = u => g’(x)dx = du

( ( )) '( ) ( )

f g x g x dx= f u du

2 Một số dạng cơ bản:

1 Sử dụng công thức cơ bản:

1 Daùng : ∫(ax b dx+ )α (α ≠1,a≠0) ủaởt u = ax + b ⇒ du = adx dx=⇒ 1du

a

1

! 1

ax b u

α α

+

ax +b αx ưdx a≠ α

1

1

n

n

b du a n x dx x dx du

an

ư

+

3 Daùng:a). ∫cos sinα xdx(α ≠ ư1) ( ẹaởt

1 1

( 1)

ư

+

). sin xcos ( 1)

b ∫ α xdx α ≠ ư (ẹaởt

1 1

1

du=cos xdx sin x

+

4 Daùng: dx 1ln ax b C a( 0)

ax b =a + + ≠ +

∫

Neỏu gaởp : P x( )

ax b+ vụựi baọc P x( )≥1 : laứm baứi toaựn chia

5 Dạng: 2

dx

x a btgx+

dx

co s

+

2 Công thức:

( ) '( )

ln

u

a

3 Công thức đổi biến số (loại 1):

Tích phân dạng: ∫ f g x( ( ) '( )) g x dx Đặt g(x) = u => g’(x)dx = du

( ( )) '( ) ( )

f g x g x dx= f u du

4 Công thức :

2

2 2

1

2

du

u k

α

−

+

∫

∫

5 Công thức :

2

ln

∫

3 Mét sè d¹ng th−êng gỈp:

1) dx 2) (mx+n)dx 3) dx 4) (mx+n)dx

ax +bx+c ax +bx+c ax +bx+c ax +bx c

Tuỳ vào mỗi dạng áp dụng các công thức tính tích phân chỉ trong bảng sau:

Tử số bậc nhất Tử số hằng số Mẫu số không căn

ln

du

u C

u = +

1 ln 2

−

Mẫu số có căn

2

du

u C

+

u k

Sử dụng hằng đẳng thức:

2

x ax x

ax bx a x

4 TÝch ph©n cđa c¸c ph©n thøc h÷u tØ:

cx dx ex x x m x n

Giải dạng này ta có hai cách:

− Cách 1: Đồng nhất hai vế: Cho tất cả các hệ số chứa x cùng bậc bằng nhau

− Cách 2: Gán cho x những giá trị bất kỳ Thường thì ta chọn giá trị đó là

nghiệm của mẫu số

5 TÝch ph©n cđa c¸c hµm sè l−ỵng gi¸c:

1 Dạng:

cos , sin n , 1). cosaxdx= 1sin , sinaxdx=- 1cos , 2) co s n

n

Phương pháp:

2

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2 1 sin cos sin 2

2

x x

x x

+

⎪

⎪

−

⎨

⎪

⎪⎩

cos p+ xdx=cos p xcosxdx= −(1 sin x) cosp dx

Đặt u=sinx⇒du=cosx dx

2 Dạng: ∫sinm ucosn ud u

u

a m,n cung chẵn: hạ bậc

b m,n lẻ (một trong hai số lẻ hay cả hai cùng lẻ)

sinm u=sinm− usin

1

sin u 1 cos u va sin mu (1 cos u)m sin

−

™ Nếu m, n lẻ: làm như trên cho số mũ nào bé

3 Dạng: n hay

tg xdx

∫ ∫cotg xdx n

2

dx

co s

dx

™ Tương tự:

2

dx

sin

dx

x

Để tính: n

tg xdx

∫

Phương pháp:

Làm lượng 2

(tg x+1) xuất hiện bằng cách viết:

2 2 2 2 2 4 2 1 2

*tg x n =tg n− x tg x( + −1) tg n− (tg x+ + + + −1) ( 1)n−(tg x+ +1) ( 1) 1− n

*tg n−x=tg n− x tg x( + −1) tg n− (tg x+ + + + −1) ( 1)n− tgx tg x( + + −1) ( 1)n−tgx

(tg x+1)dx

cos n

dx x

∫

(tg x+1)dx= (tg x+1)n−(tg x+1)dx

( 1) (tg x+1) dx 2 n ( 1)n

du= tg x+ dx ⇒ = u + −1du

2

1

dx ,

co s

n

x= + ∫ x =∫ +

5 Dạng:

cos

m n

cotg x , or

sin x

m n

tg x

x

Phương pháp:

™ Nếu n chẵn : Thay

2

1

m tg

xdx

−

2 2

m 2

n

tg x

cos x

n m

™ Nếu m lẻ và n lẻ : 11

m n

tgx tg x tgx

−

−

cos

tgx du=

cosx

x

Thay:

tgmx cos x

n n

tgx

−

−

6 Dạng: ∫sinmxcosnxdx; ∫sinmxsinnxdx ; cosmxcosnxdx∫

Aùp dụng các công thức biến đổi:

1 sinmxcosnx=

2 1 sinmxsinnx=

2 1 cosmxcosnx=

2

m n x co m n x

− + +

I Tính các tích phân bất định

Bài 1: Dùng các công thức cơ bản tính các tích phân sau:

x

dx x

ư

∫

x

ư

x

∫

5/

x x

3 2

e

3 x

ư

ư

7/ ∫cos (1 tx + gx dx) 8/ 22

cos x

ư

∫

2

cos x sin x

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

4

8x

dx (x +1)

∫

5/

3 x

e dx x

ln

cos xdx

∫

9/ sin x3

dx cos x

dx sin x.cos x

∫

II: Tính các tích phân xác định sau:

Phương pháp:

b

a b a

f x dx=F x =F b ưF a

1 Các phương pháp tính tích phân

• áp dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các hàm số sơ cấp

• Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng I

• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng II

• Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng III

• Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

• Tính tích phân bằng phương pháp sử dụng nguyên hàm phụ

• Một số thủ thuật đổi biến khác, tích phân chứa biểu thức giá trị tuyệt đối

2 Chứng minh bất đẳng thức tích phân

Để chứng minh bất đẳng thức tích phân , ta thường sử dụng chủ yếu 4 tính chất sau: với các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a;b] ta có:

1 Nếu f x( )≥ ∀ ∈0, x [ ]a;b thì ( ) 0

b

a

f x dx≥

∫

2 Nếu f x( )≥g x( ),∀ ∈x [ ]a b; thì ( ) ( )

f x dx≥ g x dx

Dấu đẳng thức chi xảy ra khi f(x) = g(x), ∀ ∈x [ ]a b;

3 Nếu m≤ f x( )≤M,∀ ∈x [ ]a b; thì

b

a

m bưa ≤∫ f x dx≤M bưa

4 ( ) ( )

f x dx ≤ f x dx

Bài 1: Tính các tích phân xác định sau:

2

0

(3x ư2x +4x )dx

1

ư

ư +

∫

3/

4 0

(3xưe )dx

2 2 3 1

dx x

ư

∫

5/

0 2 1

dx

ư

ư ư

ư

5 2

dx

x 1ư + xư2

∫

7/

1 2 x

x 0

dx

ư +

3 2 0

4sin x

dx

1 cos x

π

+

∫

9/

3 0

sin x.cos 3xdx

π

2 4 2 6

dx sin x

π π

+

∫

11/

2

0

cos 2x

dx sin x cos x

π

ư

4 2 0

4

π

π

ư

∫

Bài 2: Tính các tích phân có chứa trị tuyệt đối sau:

1/

2

2

x 1 dx

ư

ư

4 2 1

x ư6x+9d

3/

4 2 1

x 3x 2 d

ư

1 x

1

e 1 d

ư

ư

5/

3

3

(3 x )dx

ư

+

0 2

2

x x 1 dx

ư

+

∫

7/

0

cos x dx

π

3 4

4

cos 2x 1dx

π π

+

∫

9/

0

cos x sin xdx

π

3 x 0

2 ư4 d

Bài 3: Chứng minh các BĐT sau:

1/

3

0

3 ≤ ∫ x 1dx + ≤ 6 2/

1 2

0

1

x

dx

+

3/

2

2 0

dx

+

2

2

4

5

3 sin xdx

π

π

∫

5/

3 4

2

4

dx

4 3 2sin x

π

π

ư

2 2

0

3

tg x 3dx

π

∫

7/

2

2 sin x 2

0

e dx e 2

π

π

x 1 2x

e +dx ≤ e dx

9/

sin xdx sin xdx

≤

sin 2xdx 2 sin xdx

≤

B: Phương pháp đổi biến:

Phương pháp:

1 Daùng: ∫R x( 1n,x m1)dx ẹaởt t=x mn1 ⇒ x=t mn ⇒ dx=mnt mn-1 dt

2 Daùng: R⎡(ax b) , (1n ax b)m1 ⎤dx

ẹaởt t=(ax+b) mn 1 ax+b=t mn dx= mn t mn-1 dt

a

3 Daùng : R(lnx) dx

x

∫ ủaởt ln du = dx

x

x R u du

4 Daùng: ∫R(e )dx x ủaởt

( )du

R u u

u=e du=e dx dx= R(e )dx

u

5 Daùng : 2

R x ax +bx c dx+

∫ ẹửa tam thửực 2

ax +bx+cveà daùng:u +m ,u -m 2 2 2 2 hay.m -u 2 2

ẹoồi tớch phaõn thaứnh 1 trong caực daùng sau:

1) R(u, m -u )du 2) R(u, m +u )du.

3) R(u, m -u )du.

∫

∫

∫ Neỏu dửụựi daỏu tớch phaõn coự chửựa

m -u

• ủaởt u=msint ⇒ m -u 2 2 =mcost

m +u

• ủaởt u=mtgt m +u 2 2 = m

cost

⇒

u -m

• ủaởt u= m u -m 2 2 =mtgt

cost ⇒

6 Daùng :

2

dx

mx+n ax +bx c

∫ + Gaởp tớch phaõn naứy ủaởt:t= 1

mx+n Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến loại I

1/

1

2 0

2x dx

1 x +

4 2 0

∫

3/

10

2

dx 5x 1ư

1 0

x 1 xdxư

∫

5/

5

0

x x+4dx

7 3 0

x dx

x 1+

∫

7/

5

0

x x +4dx

2 2

3 3 0

3x dx

1 x +

∫

9/

2

x 1

dx

1 eư ư

4

x 1

dx x.e

∫

11/

tgx 2 4

2 0

e dx cos x

π

+

e 1

1 3ln x

dx x

+

13/

1

1 ln x

dx x

+

6 0

1 4sin x.cos xdx

π

+

∫

15/

4

2

6

1 cot gx(1 )dx

sin x

π

π

+

2 2 0

co s x.sin 2xdx

π

∫

17/

/ 6

0

sin 2x

dx

π

+

2 0

cos x.sin x

dx

1 sin x

π

+

∫

19/

8

2 3

1 dx

/ 3

3 0

cos x.sin x.dx

π

∫

Bài 2 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến loại II:

1/

0

2 1

1 x dx

ư

ư

3 2

2 3 0

1 dx (1 x )ư

∫

3/

2

1

1 2 5

dx

5/

2 2

dx

x +

4 / 3 2

3 2

dx x

ư

∫

7/

1

2 2

dx

x x 1

ư

ư∫ ư 8/

6

2

2 3

dx

9/

6

2 1

dx

2 1

9 3x

dx x

+

∫

11/

1/ 2 1

1 x dx

1 x

ư

+

ư

2 2

dx

+

ư

∫

13/

1

0

dx (x +1)(x +2)

3 2 0

dx

x +3

∫

Bài 3 : Tính tích phân các hàm số hửu tỉ:

1/

2

1

dx x(2x 1) +

2

2 1

dx

x ư 6x + 9

∫

3/

2

1

6x 7

dx x

+

1

4 2 0

x

dx

x + x + 1

∫

5/

4

2 3

x 1

dx

x 3x 2

+

1

2 0

xdx (x 1) +

7/

6

0

sin 2xdx 2sin x cos x

π

+

3

2

6

cos x

dx sin x 5sin x 6

π

∫

9/

2

0

dx (x 1)(x + + 2)

2 1

9 3x

dx x

+

∫

11/

1/ 2

2 0

dx 4x − 4x − 3

4 3 2

4 2

(x x x 1)dx

−

∫

13/

2

0

dx (x 1)(x + + 2)

2001

2 2001

x dx (x + 1)

∫

15/

1/ 2

4 2 0

dx

x − 2x +

1

3 0

3dx

1 x +

∫

c: Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn:

Công thức:

b a

u dv=u v − v du

• Công thức cho phép thay một tích phân ∫udv phức tạp bằng 1 tích phân ∫vdu đơn giản hơn

• Công thức dùng khi hàm số dưới dấu tích phân có dạng:

− Dạng tích số:

− Hàm số logaric

− Hàm số lượng giác

* Dạng x f(x) n với f(x) là hàm e x, ln , sin , cos x x x

• Khi tính chọn:

− Hàm số phức tạp đặt bằng u

− Hàm số cos tích phân được cho trong bảng tích phân thường dùng làm dv

Bµi 1: Dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn h·y tÝnh:

1/ 2/

0

x sin xdx

π

0 (x 1) e dx +

∫

3/

4 2

6

x sin 2xdx π

π

e

2 1

(x ln x) dx

∫

5/

4

2 0

x(2cos x 1)dx

π

−

3 2 4

xdx sin x

π π

∫

7/

e

2 1/ e

ln x dx (x 1)+

4 x 1

e dx

9/

2 4 0

x cos xdx

π

3

2 0

ln(x+ x +1)dx

∫

1

2 2 x 0

(x 1) e dx+

0

(x 1).sin x.dx

π

+

∫

13/

2 2 1

ln(1 x)

dx x

+

4 0

x.sin x.cos x.dx

π

∫

Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

e 2 1

ln x dx x

2

e

1

x ln xdx

3/

2 e

1

ln x dx x

e 2

1

ln xdx

∫

e

2

1 (x ln x) dx

0

e (x sin x)dx

π

+

0

e sin ( x)dx

π

π

0

x

2

π

9/

x

(1 sin x)e

dx

1 cos x

+ +

2 3

1 x dx x

+

D: øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n

Bµi 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y = x2 - 2x + 2 ;tiÕp tuyÕn (d)

cña nã t¹i ®iÓm M(3;5) vµ Oy

Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y = x2 + 2x vµ ®−êng th¼ng (d):

y = x + 2

Bµi 3: Cho hµm sè y =

2

x 1

− (C) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) ; tiÖm

cËn cña nã vµ x = 2 ; x= 3

Bµi 4: Cho hµm sè y = ( )( )2

x 1 x+ −2 (C) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ

®−êng th¼ng : x - y + 1 = 0

Bµi 5: Cho hµm sè y =

4 2

x

2 − −2 (C) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ trôc hoµnh

Bµi 6: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y2 = 4x vµ ®−êng th¼ng d : 4x

- 3y - 4 = 0

Bµi 7: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (P): y2 + x - 5 = 0 vµ ®−êng th¼ng d

: x + y - 3 = 0

Bµi 8: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng y = 0 ; y = tgx ; y = cotgx

(0≤ ≤ πx )

Bµi 9: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng (C): x2 + y2 = 8 vµ ®−êng (P): y2 =

2x

Bµi 10: TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay do h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng : y =

4

x vµ y = -x + 5 quay quanh Ox

Bµi 11: Cho hµm sè y =

2

x 2

3

+ (C) Gäi (H) lµ phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C)

trôc Ox vµ hai ®−êng th¼ng x = -1 , x = 0 TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi (H)

quay mét vßng xung quanh Ox

Bµi 12: Cho hµm sè y =

2

x 1

1

+ + + (C) Gäi (H) lµ phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) trôc

Ox vµ hai ®−êng th¼ng x = 0, x = 1 TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay t¹o thµnh khi (H) quay

mét vßng xung quanh Ox

Bµi 13: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :

y = x, y = 2 - x vµ y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy

Bµi 14: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :

y = xe x, x = 1 vµ y = 0 ( 0≤ ≤x 1 ) khi ta quay quanh (D) quanh Ox

Bµi 15: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi : y =

sinx , y = cosx , x =

2

π

vµ (0 x )

2

π

≤ ≤ khi ta quay quanh (D) quanh Ox

Bµi 16: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau:

1/ y=0; y=x2 −2x vµ x = -1; x = 2

2/ y= x2−4x+3 vµ y= +x 3

3/

2

x

4

2

x y

4 2

=

2 x

5/ y=x x2+1;Ox vµ x=1

Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

1 3

2

x dx

x +

ln 3

3

0 ( 1)

x x

e dx

e +

3/

0

2 3 1

−

2

0

1 cos x.sin cosx x d

π

−

5/

2 3

2

dx

x x +

1

0 1

x −x dx

∫

7/

2 4

0

1 2 sin

1 2 sin 2

x dx x

π

−

+

ln 5 2

ln 2 1

x x

e dx

e −

∫ 9/

ln 5

ln 2

( 1)

1

x

dx e

+

−

0 (3x 1) x 3x 4 dx

Bµi 2: Cho hµm sè: f(x) = 3

( 1)

x a

bx e

+ T×m a, b biÕt f’(0)=-22 vµ

1 0 ( ) 5

f x dx=

∫

Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

2

2

0

x −x dx

1 3 0 x

x e dx

∫

3/

2

1

1

ln

e

x

x dx x

+

1

+ + −

∫ 5/

0( 1) 1

x

dx

x+ x+

2 0 sin sin 2 sin 3 x x x d

π

7/

2

0

cos 2 (sinx x cos x)

π

+

2 5 0 cos x dx

π

∫

+

∫3 5 2 3

0

x 2x

dx

1

2 3 0

(1 x ) dx−

∫

Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

2

0

( cosx sin )x dx

π

−

x

dx

∫

3/ 2 2

1

ln

e

1

ln

e x dx x

∫ 5/

2

0

4 cos 3sin 1

4 sin 3cos 5

dx

π

9 3 1 1

x −xdx

∫ 7/

2

3

0

1

x

dx x

+ +

1 2 0 (x +2 )x e dx−x

∫

9/

π

+

0

1 tg x

dx

− + + +

∫3

1

x 3

dx

3 x 1 x 3

Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

2

xdx

2

dx

x x+

∫ 3/

1

2 0

ln(1 )

1

x dx x

+ +

2 0

sin sin cos

x dx

π +

∫

5

0

.sin

x xdx

π

2

0 sin x.cos x dx π

∫

7/

1

1 3ln ln

e

x x dx x

+

3

0 1

x +x dx

∫

+

∫2 4 2

0

dx

2

x

dx

1 x 2x

Bµi 5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

3 5 3

2 0

2 1

dx x

+ +

3 3 0

1

ln

x

x dx x

+

∫ 3/

1

2

0

(x +1)e dx x

3

2 4

cos 1 cos

tgx

dx

π

∫ 5/

2 2

1

1 2

x

dx x

−

−

0

sin

1 cos

x x

dx x

π +

∫

7/

1

01 x

dx

e

+

4 2 0

x tg xd x

π

∫

9/

π

+

0

cos2x(sin x cos x)dx 10/

π

∫4

0

x

1 tgxtg sin xdx

2

Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

5

3

(x 2 x 2 )d

−

+ − −

2 2

2 0

( 2)

x

x e dx

x+

∫

3/

4

1

2

5 4dx

x

1

0 (4 2 1) x

x − x− e d

5/

2

0

4

x −x dx

1 2

0 2 5

dx

x + x+2

∫

7/

2

0

sin 2

cos 1

x dx x

π

+

1

2

0( 1)

x dx

x+

∫

9/

π

+

∫4 sin x

0

π

+

0

sin x

dx x sin x 2 cos x.cos

2

Bµi 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

1/

2004 2

2004 2004 0

sin

x dx

π

+

3 2 0

4 sin

1 cos

x dx x

π +

∫

3/

2

0

sin 2 cos

1 cos

dx x

π

+

2 0

sin 2 sin

1 3cos

dx x

π

+ +

∫

5/

2

sin

0

(e x cos ) cos x x

π

3 2 6

cos

x

dx

π

∫

7/

2

2 1

xdx

x+ x −

2 0

co x

dx

s

7 cos 2x

π +

∫

−

0

2 x 3 1

π

0

xsin x

dx sin 2x cos x

Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau

1/

1

2004

1

sin

0 sin cos

π

3/

2

3 0

.cos

x x dx

π

4 2

0

cos x

cos x sin x

π

+

∫

5/

3

2 0

sin cos

dx x

π

+

1 2 0

x tg xdx

∫

0 2

0

2

π

π

>

0

2 sin cos

dx

π

+

∫

9/

π

2

3x

0

sin 5xdx

π

2

4 0

os dx

Chóc c¸c em lµm bµi tèt !