dạy học chuyên đề đạo hàm và tích phân

tài liệu dạy học chuyên đề đạo hàm và tích phân

Trang 1

Ngày soạn

Ngày dạy:

Lớp dạy:

CHỦ ĐỀ TÍCH HỢP

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN (8tiết)

I MỤC TIÊU: Qua bài học HS cần:

1 Về kiến thức:

- Nắm vững khái niệm nguyên hàm

- Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản vận dụng được vào bài tập

- Nhớ các tính chất cơ bản của nguyên hàm, biết vận dụng vào bài tập

- Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của nguyên hàm trong vật lý, cơ sở chính của bàn toán tích phân

- Hiểu được khái niệm về tích phân (hay tích phân xác định) được bắt nguồn từ bài toán thực tế Chẳng hạn bài toán tính diện tích hình thang cong

- Hiểu được định nghĩa tích phân của hàm số liên tục trên một đoạn là một số hoàn toàn xác định nhờ vào chính nguyên hàm của nó

- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức: Newtơn – Laibonit

- Biết các tính chất của tích phân áp dụng vào bài tập

2 Kỹ năng:

- Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số không quá phức tạp

- Áp dụng linh hoạt lý thuyết vào bài tập về cả hai phương pháp nguyên hàm

- Tính được tích phân của một hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặ phương pháp tính tích phân tầng phần áp dụng tố vòa bài tập

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số qua một lần) để tính tích phân, áp dụng tốt vào bài tập

3 Tư duy thái độ:

Say mê tìm tòi, hứng thú trước vấn đề mới

Tích cực học tập, cẩn thận và chính xác trong tính toán

4 Năng lực cần phát triển:

- Năng lực nhận biết, vận dụng

- Năng lực phân tích tổng hợp, tư duy logic

- Năng lực tính toán

II BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ NĂNG LỰC CẦN PHÁT TRIỂN

Nội dung Nhận biết Thông hiểu MỨC ĐỘ Vận dụng thấp Vận dụng cao

1 Nguyên

hàm và

tính chất

Tính được các nguyên hàm đơn giản dựa vào định nghĩa và các nguyên hàm cơ

Tính được các nguyên hàm của một só hàm thường gặp dựa vào tính chất của

Trang 2

bản nguyên hàm.

2 Tích

phân và

tính chất

Tính được tích phân của các hàm đơn giản dựa vào nguyên hàm của

nó và công thức Newtơn - Laibonit

Tính được tích phân của một số hàm thường gặp dựa vào tính chất của tích phân

3 Phương

pháp đổi

biến số

tính

nguyên

hàm tích

phân

Vận dụng được phương pháp đổi biến vào các bài tập tính nguyên hàm tích phân ở mức độ

dễ và vừa

Vận dụng được phương pháp đổi biến vào các bài tập tính nguyên hàm tích phân ở mức độ khó

4 Phương

pháp

nguyên

hàm tích

phân từng

phần

Vận dụng được

nguyên hàm tích phân từng phần vào các bài tập ở mức

độ dễ và vừa

Vận dụng được phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần vào các bài tập ở mức

độ khó

III Chuẩn bị của GV và HS

1) Giáo viên: Giáo án và các đồ dùng dạy học khác

2) Học sinh: Học kỹ bài cũ, chuẩn bị bài mới, tài liệu tham khảo

IV Phương pháp dạy học:

- Lấy học sinh làm trung tâm

- Giáo viên định hướng: giúp học sinh chủ động lĩnh hội được kiến thức mới bằng cách sử dụng các kiến thức kỹ năng đã học vận dụng giải một số bài toán theo sự phát triển năng lực ở từng mức độ khác nhau từ thấp lên cao

V Tiến trình bài dạy:

1 Ổn định tổ chức, kiểm tra sĩ số

2 Kiểm tra bài cũ

Câu hỏi:

H1: Tính đạo hàm của hàm số: y = lnx ( x > 0)

H2: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin x ( x  |R).R)

3 Bài mới:

Tiết 1,2 I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

Hoạt động 1:

Tiết 1: 1 Nguyên hàm

Trang 3

GV cho HS làm các ví dụ sau dẫn đến định nghĩa nguyên hàm.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Câu hỏi 1: Tìm hàm số f(x) sao cho

F’(x) = f’(x) f(x) = 4x2 với x -; +)

Câu hỏi 2: Tìm hàm F(x) như trên:













2

; 2 x

;

cos

1

)

(

)

(

)

(

'

2



x

f

x

f

x

F

HD: F(x) = 3

3

4

x vì ( 3

3

4

x )’ = 4x2

HD: F(x) = tanx x 











 2

; 2



do tan’x =

x

2 cos 1

GV : Ký hiệu k là khoảng k hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của |R).R

Cho hàm số f(x) xác định trên k, hàm số F(x) được gọi là nguyên ham của hàm số f(x) trên k nếu F’(x) = f(x) ( x k)

Câu hỏi 1: Tìm một nguyên hàm của

hàm số: f(x) = 3x2 + 2x x |R).R

Câu hỏi 2: Tìm một nguyên hàm của

hàm số: f(x) = 1x x 0; +)

HD: Hàm số F(x) =x3 + x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x

Vì F’(x) =3x2 + 2x x |R).R

HD: Hàm số F(x) = lnx x 0; +) là một nguyên hàm của hàm số:

f(x) = 1x trên 0; +) vì:

F’(x) = (lnx)’ = 1x x 0; +)

GV : Vậy thì: F1(x) = x3 + x2 + 5

F2(x) = x3 + x2 + 2…

Cũng có phải là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x hay không

GV yêu cầu HS tìm thêm các nguyên hàm khác

GV nêu:

Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên k thì với mỗi hằng số (C), hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên k

Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên k thì mọi nguyên hàm của f(x) trên k đều dạng F(x) + C với C là một hằng số

GV nêu chú ý: 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên k thì F(x) + C (C|R).R) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên k

Ký hiệu: f(x)dxF(x) C

2 Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x) vì:

dF(x) = F’(x) = f(x)dx

Câu hỏi 1: Với x  (-; +) tính

2xdx

Câu hỏi 2: x  |R).R tính sinxdx

Câu hỏi 3: t  |R).R tính e t dt

s  (0; +) tính  ds

S

1

HD: 2xdx= x2 + C

HD: sinxdx = - cos x + C

HD: e t dt

= et + C

S1 ds= ln S + C

Tiết 2: 2 Tính chất của nguyên hàm.

Trang 4

GV : Từ định nghĩa ta có tính chất 1: f' (x)dxf(x) C (Hướng dẫn HS về nhà CM tính chất 2 và 3)

2 kf(x)dxkf(x)dx

3 [f(x) g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

Câu hỏi 1: Tìm nguyên hàm của các HS:

a y = 3sinx  x  (-; +)

b y = 4x2  x  (-; +)

Câu hỏi 2: ( x  (-; +)

Tính ( 3 sinx 4x2 )dx

HD:  x  (-; +) : 3 sinxdx 3sinxdx= -3cosx + C



4x2dx 4 x2dx= 4

3

x

+ C

HD: ( 3 sinx 4x2 )dx

= 3 sinxdx 4x2dx

= -3cosx + 34 x3 + C

3 Sự tồn tại của nguyên hàm.

GV : Thừa nhận định lý sau:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên k đều có nguyên hàm trên k

Câu hỏi 1:  x  (0; +) tính:

xdx

(Với  -1)

Câu hỏi 2:  x  (k; (k+1))

Tính sin 2 x dx

1

HD: xdx = x C



1

1

Nếu  = -1   dx

x

1

= lnx + C

HD: sin 2x dx

1

= -cotx + C x(k; (k+1)) k

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

GV : * Giành thời gian 3 phút cho HS điền vào bảng HDD5 SGK

* Treo bảng các nguyên hàm SGK trang 97

Câu hỏi 1: Tính:   dx

x

2 (

3 2 2

 x  (0; +)

Câu hỏi 2: Tính  

x 3x ) cos

3

 x  (0; +)

HD:  x  (0; +)    dx

x

2 (

3 2 2

= x dxx3dx

2 2

3

2

HD:  x  (0; +) ( 3 cosx 3x 1 )dx

 xdx 3x dx

3

1 cos



3 ln

GV nêu chú ý: Từ đây tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định

5 Củng cố, dặn dò HS sinh học bài ở nhà.

Hướng dẫn HS về nhà học bảng nguyên hàm Làm BT 1, 2 SGK trang 100-101

THÔNG QUA TỔ CM

Tiết 3.4: TÍCH PHÂN VÀ TÍNH CHẤT

1) Ổn định tổ chức.

2) Kiểm tra bài cũ

H1: Tính: x2dx

Trang 5

H2: Nêu các tính chất của nguyên hàm.

3) Bài mới:

1 Diện tích hình thang cong.

GV nêu định nghĩa hình thang cong cho hàm số y = f(x) liên tục không đổi dấu [a;b] hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x =

b được gọi là hình thang cong

GV nêu cách tính diện tích S Diện tích hình thang cong

GV củng cố bằng ví dụ SGK

BT: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x2 trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1

GV treo hình 48, 49 SGK

Q P

Câu hỏi 1: Gọi S là diện tích của phần hình

thang cong giới hạn bởi x = 0; x = 1 Hãy

chỉ S’(x) = x2 (x[0; 1])

Câu hỏi 2: Tính S’(0); S’(1) và kết luận.

Câu hỏi 3: Tìm một nguyên hàm của f(x)

Câu hỏi 4: Tính diện tích của hình cần tìm

HD: h>0, x+h<1 KH SMNPQ, SMNEF là dtienje tích các hình CN MNPQ và MNEF

SMNPQ  S(x+h) - S(x)  SMNEF

hx2  S(x+h) - S(x)  h(x+h)2

2

2 2 |R) |R).

) ( ) (

h h x x h

x S h x S









Do h < 0, x+h > 0 cũng tương tự

 S(x) = lim ( ) ( ) 2 ,

h

x S h x S

h   

HD: S’(0); S’(1) = 1.

S(x) là một nguyên hàm của f(x) = x2 trên [0’1]

HD: F(x) = x C

3

3 (C|R).R)

HD: Do S(0) = 0  C = 0  S(1) = 31

GV : Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b) trục hoành

và đường cong y = f(x) Trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên [a; b] là S = F(b) - F(a)

2 Định nghĩa tích phân:

GV cho học sinh phát biểu định nghĩa tích phân:

Trang 6

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] Hiệu

số F(b) - F(a) được gọi là TÍCH PHÂN từ a đến b (hay tích phân xác định trên [a; b] của hàm số f(x) KH

dx x f

a

b

 ( ) ; f x dx

a

b

 ( ) = F(x) |R).a F(b) F(a)



a

b

: là dấu hiệu tích phân ; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

GV nêu chú ý và nhận xét:

1 f x dx

a

b

 ( ) = F(b)  F(a) F(x) |R).b a chỉ áp dụng khi biết F(x)

2 f x dx

a

b

 ( ) là một số, còn nguyên hàm là một họ.

3 f x dx

a

b

 ( ) không phụ thuộc vào chữ viết biến số trong dấu tích phân mà chỉ phụ thuộc

vào hàm f trên [a; b]

4 Diện tích hình thang cong là một minh họa hình học của tích phân một hàm số không âm

do đó công thức tính diện tích hình thang cong: S = f x dx

a

b

|R).

) (

|R).



5 Nếu a = b hoặc a > b ta quy ước: f x dx

a

b

 ( ) = 0; f x dx

b

a

 ( ) = - f x dx

a

b

 ( )

4) Củng cố, hướng dẫn học sinh làm bài ở nhà.

Tính các tích phân sau:

A =  

2

1

(x x dx B = 

e dt t

1

C =  

2 /

0

) cos 2 (sin



dx x x

Câu hỏi 1: Tính A = 

2

1

Câu hỏi 2: Tính B = 

e dt t

1 1

Câu hỏi 3: Tính C =  

2 /

0

) cos 2 (sin



dx x x











































3

1 2 3

2 2

3

1

x x HD: B = ln|R) t |R) e

1

|R). = ln e - ln 1 = 1

HD: C = (-cosx + 2sinx) / 2

0

|R) 

= (-cos

2



+ 2sin

2



) - (-cos 0 + 2sin 0) = 3

Tiết 4: II TÍCH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1) Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.

2) Bài cũ :

H1: Tính 

1

0

3xdx H2: Tính 

2 /

0

sin 3



xdx

3) Bài mới:

GV cho HS thực hiện các tính chất 1 và tính chất 2:

Trang 7

Tính chất 1:   

b

a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( )

b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

[

Câu hỏi 1: Hãy chứng minh tính chất 1.

Câu hỏi 2: Hãy chứng minh:



b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x

g

x

f( ) ( )] ( ) ( )

[

HD: A =

) ( ) (

|R).

) ( ( ( )

a b

a







= k(F(b) - F(a)) = kF(x)  

b

a

b

a k f(x)

|R).

a b

a

x G x F dx x g x

f( ) ( )] ( ( ) ( )) |R).



= F(b) + G(b) - (F(a) - G(a))

= F(b) - F(a) + G(b) - G(a)

b

a

b

a

dx x g dx x

f( ) ( )

GV hướng dẫn HS tính A =   

4

1

Câu hỏi 1: Dùng tính chất 2 viết lại tích

phân A

Câu hỏi 2: Hãy tính lần lượt các tính chất

này

HD: A =   

4

1

4

1

4

1

x

HD: 

4

1

2dx

x =

3

63 3

1 4

|R).

3

3 4 1

3







x

14

|R).

3

2 3

1 2 / 3 4

1



 x dx x

3

|R) 4 1 4

1



dx x  A = 38

GV nêu tính chất 3: f x dx

b

a

 ( ) = f x dx

c

a

 ( ) + f x dx

b

c

 ( )

Câu hỏi 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm

của f(x) trên [a; b]; F(x) có phải là một

nguyên hàm của f(x) trên các đoạn [a; c];

[c; b] không

Câu hỏi 2: Tính vế trái của tính chất 3.

HD: Có

HD: f x dx

c

a

 ( ) + f x dx

b

c

 ( ) = (F(c) - F(a) +

(F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = f x dx

b

a

 ( )

GV cho HS tính B =  



2

0

2 cos

1 x dx để củng cố tính chất 3

Câu hỏi 3: Hãy biến đổi 1-cos2x theo sinx HD: 1 - cos2x = 2sin2x

Trang 8

Câu hỏi 4: Viết lại tích phân B theo tính

chất 3

Câu hỏi 5: Hãy tính kết quả của B.

HD:  



2

0

2 cos



2

0

|R).

sin

|R).

= 2 ( |R) sin |R) |R) sin |R) )

2



dx x dx

x

2

0

B B xdx





HD: B = 2 [(cos ) |R) (cos |R) 2 ]

4) Củng cố, hướng dẫn học sinh về nhà học bài.

GV hướng dẫn HS về nhà làm các bài tập 1,2 trang 101 và 1, 2 SGK trang 112

HD tại lớp làm bài 1c và 2a

1c A =  

2

/

1 ( 1 )

1

dx x

x a B =  

2

0

|R).

1

|R). x dx Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Câu hỏi 1: Hãy viết lại x(x11) dưới dạng

:

1



x

B

x

A

Câu hỏi 2: Tính A =  

2

2 /

1 ( 1 )

x

Câu hỏi 3: Hãy biểu diễn |R).1-x|R) trên các

đoạn [0; 1] và [1; 2]

Câu hỏi 4: Viết lại tp B =  

2

0

|R).

1

|R). x dx trên các đoạn [0; 1]; [1; 2]

Câu hỏi 5: Tính B.

HD: x(x11) =

1

1 1





x x





2

2 / 1

2

2 / 1

2

2 /

1 1 (

x

dx x

dx dx

x x

Hay A = ln |R).x|R).|R).2

2 /

1 - ln|R).x+1|R).|R).2

2 /

1 = ln2

HD: |R).1-x|R) = 











2

x 1 neu 1

1

x 0 neu 1

x x

HD: B =  

2

0

|R).

1

0

) 1

  2

1

) 1

HD: B =  

1

0

) 1

2

1

) 1

THÔNG QUA TỔ CM

TIẾT 5.

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

A Ổn định lớp, kiểm tra sỉ số.

B Bài cũ :

H1: Tính A = x10dx

B = ( 2x 1 ) 4d( 2x 1 )

Trang 9

H2: Nhắc lại các công thức cơ bản tính nguyên hàm:

a x dx

xdx

cosxdx

C Bài mới:

1 Phương pháp đổi biến số

GV nêu định lý 1:

Nếu f(u)duF(u)C và U = U(x) là hàm có đạo hàm liên tục thì:

C x U F dx x U x U

 ( ( ) '( ) ( ( ))

GV hướng dẫn HS chứng minh định lý này thông qua hoạt động sau:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1: Hãy viết theo công thức tính

đạo hàm hợp: (F(U(x)))’ = ?

Câu hỏi 2: Chứng tỏ rằng: (F(U(x)))’ =

f(U(x)).U’(x)

Câu hỏi 3: Chứng tỏ:

C x U F dx x U

x

U

 ( ( ) '( ) ( ( ))

HD: (F(U(x)))’ = F’(U).U’(x)

HD: F’(u) = f(u) = f(u(x))

(F’(U(x)))’ = f(u(x)) U’(x)

HD: f(u)duF(U)C

 f(U(x )U'(x)dxF(U(x))C

GV nêu hệ quả:

Với : U = ax + b :    F axb C

a dx b ax

GV hướng dẫn HS làm các ví dụ 7, 8 SGK trang 88, 99

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1: Áp dụng hệ quả trên vào

công thức: sinUdu  cosuC

Tính: sin( 3x 1 )dx

Câu hỏi 2: Giả sử U = x + 1 tính U’.

Câu hỏi 3: hãy viết dx

x

5

) 1 (  về theo biến u

Câu hỏi 4: Tính U U5 du

1

Câu hỏi 5: Bằng cách thay u = x+1

x

5

) 1 ( 



HD: Ta có: sinUdu  cosuC

sin( 3x 1 )dx =

-3

1

cos(3x-1)+C

HD: U’ = 1

x

5

) 1

U

5 1



HD: U U5 du

1

=

U U

5 4

5 4 1 1

u

u3  4 

1 4

1 1 3 1

HD: Thay u = x + 1

C x

x

dx x

x























( 1)5 ( 11)3 41 11 31

Trang 10

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

GV đưa ra bài toán tính x sin xdx

Câu hỏi 1: Tính (x cosx)’

Từ đó rút ra: -x sinx

Câu hỏi 2: Lấy nguyên hàm 2 vế bằng

cách tính: (xcosx)'dx; cosxdx

Hãy suy ra: x sin xdx

HD: (x cosx)’= cos x – x sinx

 -x sinx = (x cosx)’ + cox x

HD: x sin xdx = -(xcosx)'dxcosxdx

Do (xcosx)'dx= xcosx + C1

cosxdx= sinx + C2

 x sin xdx= -x cosx + sinx + C

GV nêu định lý: Nếu hai hàm u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên k thì:



u(x)v' (x)dxu(x).v(x)  u' (x).v(x)dx

Câu hỏi 3: Tính đạo hàm của hàm tích:

(U(x) V(x))’

Câu hỏi 4: Hãy lấy nguyên hàm 2 vế bt

(*)

Câu hỏi 5: Hãy nêu kết luận.

HD: (U(x) V(x))’= U’(x) V(x)+ U(x) V’(x)

 U(x) V’(x) = U(x) V(x))’- U’(x) V(x) (*)

HD:

(U(x)V' (x)dx (U(x).V(x))'dx U' (x).V(x)dx HD:

(U(x)V' (x)dxU(x).V(x)  U' (x).V(x)dx

GV nêu chú ý:

Vì U(x)dx = dv; U’(x)dx = du nên U' (x)dxU(x) C

V' (x)dxV(x) C (Cần nhấn mạnh điểm này) và:

UdvUV  Vdu

GV hướng dẫn HS tính:

a xe x dx

Câu hỏi 1: Hãy chọn u trong bài toán tính:

xe x dx và tính xe x dx

Câu hỏi 2: Chọn u rồi tính: x cos xdx

Câu hỏi 3: Chọn u rồi tính: lnxdx

HD: Đặt u = x  du = dx

Dv = exdx  v = ex

xe x dx= x.ex - e x dx

= x.ex – ex + C

HD: u = x  du = dx

Dv = cosxdx  v = sinx

x cos xdx= x sinx - sinxdx

= x sinx + cosx + C

HD: Đặt u = lnx  du =

x

1

dx

Dv = dx  v = x

lnxdx = x lnx - dx = x lnx – x + C

GV hướng dẫn HS làm hoạt động 8 rồi rút ra đặc điểm và quy tắc

p(x)e x dx p(x)cosxdx p(x)lnxdx

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	739 KB