Chuyên đề nguyên hàm và tích phân

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số... TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:... Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diệ

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

2 3

3

5 f(x) = x 3 x 4 x ĐS F(x) = x  x  x C

5

4 4

3 3

5 3

4 2 3

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1C

3 1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2



 x x x

4 f’(x) = x - 12  2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) =

2

3 2

1 2





x x

x

x x

19) 

cosx dx 1

x 4sin 2

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dt u' (x)dx

 I = f[u(x)].u' (x)dxf(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

x

3 2

2 5 3

dx

x 2 4

4 2

x

x 1

2 2

7) 



dx x 1

4 x

2 2 1

9) 



 dx x

x

x

2 3

1

x

1 x 2

11)



1 3 x

xdx

12) x x 2  dx 1

x xcos sin

dx

2 2

dx x

e tgx

x

x ln x

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v' (x)dxu(x).v(x)  v(x).u' (x)dx

Hay

udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2  5 ) sinxdx

1 1

x ln x 1 1

x 1

x

 a 2 x

x x

2 2

2 3 1





0) (a dx a x

9) 





dx x

1 x

11)

 

1 - x x

1 x

2x - 3 x

x

4 7 2

Bài2: 1) Cho hàm số y =

2 3

3 3 3

3 2

x x

a) Xác định các hằng số A, B, C để:

y =

  12   1x2

C x

B x

A x

x

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =

 13

1 3





x x

1 x 2

2 2

6) 

2sinxcosx - cos x x

dx

x sin

dx

6

x x.sin cos

cos2x

2

x cos x sin

dx

2

14) cos 6 x dx 15) cos 3 x sin 8 xdx 16) cos 2 xdx

x cos

sin

x cos 3

dx

3)  xdx x  24) 

x - 1 x

1 x

1 1

2 2

7) 





 3 x x

(x x x dx)

 8.

2

1 ( x 1)(x x 1)dx

2

3

1 (3sinx 2cosx )dx

7x 2 x 5

dxx

x dxx

cos sin

tgx dxx

.cos

dx4x 8x

1

2 1 ) 2



 2

2

) 3 (x dx

1

3 2 1 1

29  

2

1 3

2 2

dx x

x x

30 

e

e

x dx

1 4

 11

2 3 1

1

1 x dx

 13

1 2 1

1 (1 3 )  x dx

2 sin

1

1 2 3

x dx

e e

 



42

1

0 2 1

x dx

e e

4 x dx 

4

2 0

x dx(2x 1) 

 60

1

0

x dx 2x 1 

1 sin2xdx cos x



dx x



dx x



dx x

x 75 

 0

2

2 2

x x



4

2 0





4 4 0

1 dx cos x





83

e

1

1 ln xdx x



0

1 dx cosx

1

1 ln xdx x



dx x x



 

5 ln 3



dx x

3

4

2sin

)ln(





dx x





dx x

x x

sin



dx x



dx x

x x

sin21



dx x

1

2 0

1 x dx 

1 2 0

1 dx

4 x 

1 2 0

2 0

9 3x dx x



1

5 0

1 (1 x dx)

1

1 x dx x

x

8 2 3

ln2 x 0

1 dx

e  2

7 3 3 0

125

2

2 3 0

ax

ax

f x cosax dx e

x

u x e

dx dv

4 3 ( 1)

u x

x dx dv

0 1

dx x



 bằng phương pháp từng phần : đặt

2 2 (1 )

ln

e

x dx x

ln(x x dx)

 12

3

2 4

ln x

dx x

 14

2 0

1

2 ) ln 1

3

1

ln

 0

cos

2

0

2 2 ) sin (



dx x x

2 5 1

ln xdx x

e sin xdx

2

0 sin xdx





31 3

2 0

x sin xdx cos x





2 0

xsin x cos xdx



0 x(2 cos x 1)dx

ln(1 x)dx x



1

2 2x 0

(x 1) e dx 

e

2 1

e e

x dx

x 

1 2 0

1 0

2)1ln( x dx

x 42 

e

dx x

(



xdx x

2 0

)1ln(

)72

3 2

4. dx

x

x x

2 (

1

dx x

(

1

dx x

1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

9  

3

2

2 2 4 ) 1

x

10  

 1

0

2

3 2

) 1

) 2 3 (

3

dx x

x x

1

dx x x

x

15.

dx x

3

2 3 2

2 3

3 3 3

dx x

x

x x

1

dx x

x

20  

1

0 3



1

0 6

4 1

1

dx x

1 2 0

2 2

1

1 2 1 2

2

dx x

1 3

30

dx x

1

x

x x

2 2

x x

35

2 2

2x x 2x 2

dx 2x x 1

2 cos



dx x x

2

3 sin 1





dx x

10 cos cos sin )

(sin



dx x x x



dx x x

12 

3

6

4 cos sin

x x

 

2

0 2 cos cos



dx x

 

2

0 2 sin sin



dx x x

cos



dx x

2

3

2 ) cos 1 ( cos

2

3 cos 2 sin

1 cos sin





dx x x

x x

21 

4

0 3

cos





x x dx

26   

2

0 4 sin 5 cos 5

6 cos 7 sin



dx x x

x

 2

sin 4



dx x



dx x x



dx x x

32  

2

4

sin 2

3 cos sin



dx x

  2

0

3

2 ) sin 1 ( 2 sin



dx x x

sin sin





dx xtgx

x x

4 sin



x xdx

6 sin(

4 cos(

sin



x x

dx

45 

3

4 6

2 cos sin

sin 4



x x

2 sin



dx x



dx e

4 sin 3 sin





dx x g tgx

x x

2 sin



x x

2

1

) cos(lnx dx





dx x

x

  2

0

2 cos ) 1 2 (



58 

 0



xdx x



x x

sin 1 (

cos ) sin 1 (



dx x x

x x

2

3 cos 5 cos

2

2 sin 7 sin





xdx x



xdx

V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

b

a

dx x

b ax



 ) §Æt t = n

d cx

b ax

\ ]

; 0

0 1

1

dx x x

2

1 x

dx x

sin



dx x x



dx x

x x

dx x

 

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

x x

2 ln

2 1 ln

ln

dx x x x

35



 3

0

2

2 cos

3 2 cos

2 cos



dx x

tgx x

x

36 



2 ln

0 ( x 1 )3

x

e

dx e



x xdx

2

0

2 2

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

2 3 ) (





dx x f

+) Tính 

 1

1

2

4 1

sin

dx x

x x

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: 



a

a

dx x

1

2 ) 1





 2

2

2 ) 1 ln(

cos





dx x x



dx e

x x

(sin





dx x f x f

2009 cos sin

sin



dx x x

) (sin 2

x x

b b

dx x f dx x b f

0 0

) ( )

(

VÝ dô: TÝnh 

 0

2

cos 1

x

x x

4

0

) 1 ln(

4 sin



dx tgx x

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:

0

) ( )

T nT

dx x f n dx x f

0 0

) ( )

(

VÝ dô: TÝnh  

 2008

0

2 cos

4

4

3 5 7 cos

1





dx x

x x x x

2

2 sin 4 cos





dx x

x x

5 

 2

1

2

1

) 1

1 ln(

sin





dx x

tga e

x x

dx x

xdx

(tga>0)

VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

3. 

1

0

dx m x

 2

2 sin





dx x

2

) 2 2

2

3 cos cos

cos





dx x x

4 2 1

2

VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:

TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG

Vớ dụ 1 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích

ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi

3

y

x o

x x

y

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần

Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

4 2 2

1 1

3 2

a ax a

y

a a ax x

2 2

(

2 :

) (

: ) (

Ox

x y

d

x y

)

(

2 :

e y

2

x

y

x y

2

2

y x

x y

y

y

x

x y

1

1 2

x y

2

y y x y x y

y x y

, 1

0 ,

; sin

1

2 2



 x

x

x y

x y

20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)

4 2

5 4

2

x y

x y

x x

3 4

5 6

2

x y

x x

y

x x

y

23)

y

x y

x y

0 1

24) 

/ 1 / 2

x y

x y

x y

3 2

y

x x

y

27) 

5 4

2 2

2

y

x x

y

x x

3

x x

x x

y

; 0

co s 2 sin

2 3

y

x x

2

x

y

x x

6 3

2 2

2 2

x x

x x

y

x x

y

x x

2

2 2

y

x x

y

x y

/ 2 3 / 2

y

x x

y

38)y  /x2  5x 6 /

39)y  /x2  3x 2 /

40) y  /x2  4x 3 /

e y

x ẽ

6 2

x x

x x

x y

/ sin/

x y

x y

2

2 2

y

x x

y

x y

0 1 2

x y

/ 1 /

2

x

x y

49) 





 2

/ 1 / 2

x

y x

32) 

) 1

x

x y

y x

4 4

2 2

x y

x y

; 0

4 y x x y

x x

x

3

; 0

2 2 2

y x x y

x y

x y

27 2 2

4

) 4

(

2

3 2

10 1

/

lo g /

x x

x y

x ay

y ax

x y

2

) 1 ( 8 27 2

x y x y

43) x2/25+y2/9

= 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định

k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất

2 2 3

y

x x

x

y

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY Cụng thức:





Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : y  x;y 2 x;y 0   

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)   2 và y = 4

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4 x y x2 ;  2  2

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : 21 ; 2

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường y = 2x2 và y = 2x + 4

) ( :

) (C yf x

b

y  a

y 

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2

1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 x3 ) ; y = 0 ; x = 1

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

y quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

x

x x

y

; 1

ln

quay quanh trôc a) 0x;

10 3

) 0 (

2

y

x y

x x

x

y 2

quay quanh trôc a) 0x;

8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

9) MiÒn trong (E): 1

4 9

2 2

; ,

y

; 2

x

y

3 10

2

quay quanh trôc 0x;

13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

x x

1

y x

x y

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y