Chuyên đề đạo hàm và vi phân

Như vậy ta quay lại công thức 1 đã biết.. Điều đó có nghĩa là: dạng của vi phân cấp 1 không thay đổi dù x là biến độc lập hay 1 hàm số.. Tính chất đó được gọi là tính bất biến của dạng v

Chương 2 Đạo hàm và vi phân:

4/ Đạo hàm của hàm ẩn: 10

Công thức Maclaurin 14

Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản: 14

8/ Tính đạo hàm dạng: 20

Bài tập: 20

1/ Bài tập tính đạo hàm dạng: 20

2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn: 25

3/ Bài tập các định lí trung bình: 26

4/ Bài tập khai triển Maclaurin 27

5/ Bài tập tính giới hạn = công thức Taylor: 28

6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital: 30

7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng được qui tắc L’Hopital: 33

o

y

+ ∆ −

∆

2

y

u u v u.v

1

x

−

 

 

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm ấy, ngược lại không o đúng

VD: hàm số y = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy

1/ Bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:

1 x

=

−

1 x1

Cm cong thuc9 : dat y x shx y x chx x y

chx

y x1

b/ Tính đạo hàm của hàm y =[ ]x x với [x] là phần nguyên của x

Giải: hàm y =[ ]x x xác định với mọi x thuộc R

Do g a ≠ 0 nên f + a ≠f − a ⇒ hàm số ko có đạo hàm tại x = a

2/ Vi phân: định lí: hàm f(x) khả vi tại x khi nó có đạo hàm tại o x o

Bây giờ có x g t= ( ) , vậy ta có hàm hợp y f g t= ( ( ) )

Với biến độc lập t, ta có vi phân: dy y dt= 't

Mà y't = y x'x 't ⇒dy y x dt y dx= 'x 't = 'x Như vậy ta quay lại công thức (1) đã biết Điều đó có nghĩa là: dạng của vi phân cấp 1 không thay đổi dù x là biến độc lập hay 1 hàm số Tính chất đó được gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp 1

Vi phân cấp cao: để tính vi phân cấp cao, cần biết rằng dx là 1 số không phụ thuộc x, cho nên đạo hàm (or vi phân của nó sẽ bằng 0)

' ' o

' 3

n n

' '

' ''

g / f x cos ax f x cos ax a.sin ax a.sin ax

'

n '

4/ Đạo hàm của hàm ẩn:

Nếu hàm số y = f(x) thỏa pt F x, y( ) =0, x∈( )a,b

VD: Viết pt tiếp tuyến đối với elip x22 y22 1

a + b = tại điểm (x , y trên elipo o)

Giải: lấy đạo hàm 2 vế theo x, ta được:

2/ Định lí Fermat: cho hàm f(x) xác định trong lân cận điểm x , và đạt cực trị tại o x oNếu tại x tồn tại đạo hàm o '( ) '( )

f x thì f x = 0.Giả sử f(x) đạt cực đại tại x , vậy trong 1 lân cận của o x ta có:o

3/ Định lí Rolle: cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ f(a) = f(b)

Khi ấy ∃ ∈c ( )a, b sao cho f c'( ) =0

Chứng minh: f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nên f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên [a, b]

Nếu M = m thì f(x) = const (hằng số) trên đoạn [a, b] ⇒f x'( ) =0

Nếu M ≠ m khi ấy 1 trong 2 số m, M phải khác f(a) = f(b), giả sử M ≠ f(a) = f(b) Vậy hàm f(x) đạt giá trị lớn nhất M tại điểm bên trong c∈( )a, b ⇒f c'( ) =0

4/ Định lí Lagrange: cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b)

b a

−

− dễ thấy g(x) thỏa định lí Rolle ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '( ) '( ) ( ) ( )f b f a

5/ Định lí Cauchy: cho hàm số f(x), g(x) : 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ g’(x) ≠ 0 trên khoảng (a, b)

Khi ấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

' '

Chứng minh: Dễ thấy g(b) ≠ g(a) vì nếu ngược lại thì ( ) '( )

6/ Công thức Taylor: 1/ công thức taylor với phần dư Lagrange:

Cho f(x) khả vi đến cấp n + 1 trong khoảng (a, b) Khi ấy với x , xo ∈( )a,b , ta có công thức Taylor:

Tiếp tục quá trình trên, ta được: ( ) ( ( )n)

R x =o x x−Công thức Maclaurin

Công thức Taylor với n = 0 được gọi là công thức Maclaurin:

Công thức Maclaurin 1 số hàm cơ bản:

Hàm cotgx ko có khai triển Maclaurin vì ko có đạo hàm tại điểm x o = 0

VD1: Viết công thức Maclaurin cho esin x đến cấp x :3

x clim f x 0, lim g xx c 0 c a,b

→ = → = ∈ 2/ g x'( ) ≠ 0 trên khoảng (a, b)

' '

x clim f x , lim g xx c c a,b

→ = ∞ → = ∞ ∈ 2/ g x'( ) ≠ 0 trên khoảng (a, b)

x sin x 2x 2sin x.cos x 2 2 cos 2x 4sin 2x 1

Ta có : y x 1 ln x x

y ln x y 1

y x ln x 11

a x

x ln a x 1

++

+

' 2

2 '

'

2

ln sin xy

2/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn:

1/ Tính đạo hàm y 0 của hàm ẩn y(x) cho bởi pt: '( ) x3 +ln y x e− 2 y =0Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x, ta được:

Thế x = 0, y(0) = 1 vào biểu thức ( ) ( )

'

y 0 2

2/ Tính dy nếu hàm y = y(x) được cho dưới dạng ẩn bởi pt: y 2 2

Định lí Rolle: : cho hàm số f(x): 1/ liên tục trên đoạn [a, b]

2/ Khả vi trên khoảng (a, b) 3/ f(a) = f(b)

Khi ấy ∃ ∈c ( )a, b sao cho f c'( ) =0

2/ Viết công thức Larrange cho hàm số f x( ) = x trong đoạn [1, 4] và tìm giá trị của điểm c

sin x sin y− = x y cosc− ⇒ sin x sin y− = −x y cosc ≤ −x y

4/ Cho hàm f(x) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) giả sử f x( ) ≠ ∀ ∈0 x [ ]a,b

4/ Bài tập khai triển Maclaurin

1/ Khai triển Maclaurin đến số hạng 4 ( ) 1

a.sin x b.sin x c.sin x

Ta có khi x 0 : a.sin x b.sin x c.sin x a.sin x a.x Vì sin x x

− −+ − −

Có thể dùng ngay qui tắc L’Hopital, nhưng để đơn giản hơn, trước khi dùng qui tắc L’Hopital ta sử dụng vô cùng bé tương đương Khi x →0 : x sin x x2 2 : 4

7 / Tinh lim ax b dang

++

++

x1

2x

như vậy 2 dãy { } { }'

2 '

2 ''

(thôi em bó tay rồi)

Làm giúp em mấy bài này:

1 x