Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12

Đã có một số công trình nghiên cứu riêng rẽ về 2 vấn đề trên có thể kểđến trong luận văn thạc sỹ Nguyễn Trần Lâm : “Góp phần phát triển năng lựcgiải quyết vấn đề cho học sinh trung học p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN MINH TÂN

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

TS ĐINH QUANG MINH

Nghệ An-2013

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đinh Quang Minh,PGS.TS.Lê Quốc Hán đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành Luận văn.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủnhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy

cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu vàhoàn thành các chuyên đề thạc sĩ

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toántrường THPT Phạm Ngũ Lão, Thành phố Hồ Chí Minh, nơi tôi đang công tácgiảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hànhthực nghiệm sư phạm

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báucủa các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy

bộ môn Toán

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp - những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận vănnày

Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013

Tác giả

MỤC LỤC

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Giả thiết khoa học 5

6 Dự kiến đóng góp của luận văn 5

7 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn 6

1.1 Một số vấn đề về giải toán ở trường phổ thông 6

1.1.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 6

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải 10

1.1.3 Phương pháp chung để giải toán 12

1.2 Năng lực, năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề 19

1.2.1 Năng lực 19

1.2.2 Năng Lực toán học 20

1.2.3 Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề để rèn luyện năng lực giải toán 22

1.2.3.1 Năng lực phát hiện phương pháp giải toán của THPT 22

1.2.3.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực phát hiện phương pháp giải toán 23

1.2.4 Năng lực giải quyết vấn đề trong toán học 28

1.2.4.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong toán học 28

1.2.4.2 Nội dung của hoạt động giải quyết vấn đề dạy học toán 29

1.3 Vị trí và vai trò của chủ đề Nguyên hàm, Tích phân trong chương trình toán phổ thông 30

1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đề Nguyên hàm, Tích phân cho học sinh trung học phổ thông hiện nay 31

1.4.1 Về phía Giáo viên 31

1.4.2 Về phía Học sinh 33

1.5 Kết luận chương 1 33

Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Nguyên hàm, Tích phân 35

2.1 Biện pháp 1 Rèn luyện năng lực giải toán qua việc hình thành kỹ năng nhận dạng và thể hiện trong giải toán nguyên hàm, tích phân 35

2.1.1 Nhận dạng một khái niệm 35

2.1.2 Nhận dạng một định lý 39

2.1.3 Nhận dạng một phương pháp 43

2.1.3.1 Nhận dạng phương pháp đổi biến số 43

2.1.3.2 Nhận dạng phương pháp từng phần 48

2.2 Biện pháp 2 Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong tính nguyên hàm , tích phân .53

2.2.1 Thuật giải một số dạng hữu tỉ cơ bản 53

2.2.2 Thuật giải cho một số bài toán sử dụng tích phân từng phần 57

2.2.3 Thuật giải một số nguyên hàm của hàm lượng giác 58

2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện năng lực giải toán qua phát hiện và sửa chữa sai lầm

62

2.3.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 63

2.3.2 Sai lầm do ngôn ngữ diễn đạt 65

2.3.3 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 67

2.3.4 Sai lầm liên quan đến nắm không vững nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lý 68

2.3.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy 71

2.3.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng 72

2.3.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 74

2.4 Biện pháp 4 Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin vào rèn luyện năng lực giải toán nguyên hàm, tích phân 75

2.4.1 Ứng dụng vào tính diện tích hình phẳng 75

2.4.2 Ứng dụng vào tính thể tích vật thể 78

2.5 Kết luận chương 2 81

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 82

3.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 82

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 82

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 83

3.2.3 Ý định sư phạm của đề kiểm tra 87

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 88

3.3.1 Đáp án đề kiểm tra 88

3.3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 91

3.4 Kết luận chương 3 92

Kết luận chung 93

Tài liệu tham khảo 94

Danh mục các ký hiệu viết tắt

‘‘Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồidưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho HS’’ Phương pháp phát hiện (PH) và giải quyết vấn đề(PHVĐ) chứa đựng nhiều tiềm năng về việc: Kiến thức được hình thànhkhông phải bằng áp đặt mà là kết quả của quá trình hoạt động tích cực, chủđộng, sáng tạo, kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ, khó quên, mà có quênthì cũng biết cách tìm lại được thông qua hoạt động PH và GQVĐ thì tư duyđược rèn luyện toàn diện, điển hình là các loại hình tư duy biện chứng và tưduy hình tượng Đó là những loại hình tư duy gắn liền với hoạt động sáng tạo.Mặt khác qua PH và GQVĐ thì những thành phần của nhân cách được hìnhthành và củng cố, như: tinh thần tiến công, đẩy lùi giới hạn của sự không hiểubiết, trân trọng thành quả của lao động sáng tạo, nhận thức được cái đẹp,…

Với ý nghĩa trên, phương pháp PH và GQVĐ cần được nghiên cứunghiêm túc để vận dụng rộng rãi, trở thành một phương pháp chủ đạo trongdạy học Toán ở nhà trường

1.2 Một người được coi là có năng lực nếu trong một hoàn cảnh nhấtđịnh người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết vấn đề nhanhnhất và đạt hiệu quả cao nhất Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lựctoán học là khả năng vận dụng những kiến thức đã học đã được lựa chọn vàogiải bài tập toán Vì thế, việc bồi dưỡng năng lực giải toán là rất cần thiết,điều này không những giúp HS hứng thú học tập môn Toán nói riêng mà còngiúp người học có những phẩm chất, năng lực giải quyết công việc trongcuộc sống đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ đào tạo con người mới

1.3 Thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán hiện nay ở các trường Trunghọc phổ thông (THPT) còn nhiều vấn đề bất cập trong phương pháp giảng dạytruyền thụ tri thức cho học sinh Đã có nhiều áp dụng các phương pháp dạyhọc (DH) như các phương pháp truyền thống cũng như các phương pháp DHhiện đại vào thực tiễn giảng dạy nhưng vẫn chưa phát huy được tính tích cực,chủ động, sáng tạo của HS, HS vẫn còn thụ động trong việc tiếp thu các trithức khoa học, chưa phát huy hết đặc điểm nổi bật của môn Toán trong việcgiáo dục nhân cách cho HS Để đáp ứng được những yêu cầu trên chúng takhông chỉ dừng lại ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp DH mà cần

đi sâu vào những phương pháp DH cụ thể như những phương pháp để thựchiện định hướng nói trên Theo xu hướng đó hiện nay có rất nhiều phươngpháp, quan điểm DH mới đang được PH và nghiên cứu để áp dụng vào thựctiễn giảng dạy, một trong các phương pháp đó là: “ Phát hiện và giải quyếtvấn đề” Phương pháp dạy học “ Phát hiện và giải quyết vấn đề ” là mộtphương pháp DH tích cực Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của

HS Phương pháp dạy học này phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mụctiêu, phù hợp với yêu cầu đổi mới của giáo dục nước nhà là xây dựng những

con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống, phù hợp với hệ giá trịchuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển bề vững vànhanh chóng của đất nước Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 đối với HS

ở trường trung học phổ thông (THPT) được coi là một phần khó, chưa gâyđược sự hứng thú trong học tập của HS và là một phần rất quan trọng vì nóthường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi tuyển sinh vào cáctrường Đại học, Cao đẳng và các trường Trung học chuyên nghiệp HS vớitâm lí ngại và sợ học phần này dẫn tới hiệu quả của việc dạy và học khôngcao Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên (GV) cần phải có những biệnpháp tích cực trong đó việc thay đổi phương pháp DH theo hướng tích cực làcấp thiết Thay đổi phương pháp DH như thế nào là bài toán rất khó cần nhiềuthời gian và công sức tìm tòi của GV, tuy nhiên quan trọng hơn cả vẫn là sửdụng phương pháp DH như thế nào để đạt được hiệu quả trong quá trình DH

1.4 Rèn luyện năng lực giải toán cũng như phương pháp DH PH vàGQVĐ có ý nghĩa và vai trò rất quan trọng trong việc DH toán ở trường phổthông Đã có một số công trình nghiên cứu riêng rẽ về 2 vấn đề trên có thể kểđến trong luận văn thạc sỹ Nguyễn Trần Lâm : “Góp phần phát triển năng lựcgiải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán”.Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Kim Duyên: ‘‘Rèn luyện năng lực giải bàitập toán học cho học sinh trung học phổ thông qua phương pháp dạy học hợptác’’ đã đề cập đến việc rèn luyện năng lực giải bài tập toán nhưng thông quadạy học hợp tác Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyên sâu vào chủ đề nguyênhàm, tích phân còn chưa được nhiều GV quan tâm đến

Với những lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: ‘‘Rèn luyện năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giải quyết

vấn đề trong dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân ở lớp 12’’.

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực giải toán,năng lực GQVĐ và năng lực giải toán theo định hưóng PH và GQVĐ trong

DH toán chủ đề nguyên hàm, tích phân Từ đó xây dựng các biện pháp sưphạm phù hợp nhằm góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tìm hiểu về phương pháp dạy học PH và GQVĐ trong môn toán.3.2 Tìm hiểu lý luận về rèn luyện năng lực giải toán, tập trung vào việcdạy học giải toán nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 và thực trạng dạy học chủ

đề này ở trường phổ thông

3.3 Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực giải toánchủ đề nguyên hàm, tích phân theo định hướng phương PH và GQVĐ

3.4 Tiến hành thực nghiện sư phạm đối với phương án đề ra

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: tra cứu các tài liệu và văn bản cóliên quan đến đề tài, phân tích tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa

4.2 Phương pháp điều tra, tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phươngpháp dạy học PH và GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân lớp 12 để rènluyện năng lực giải toán cho HS

4.3 Phương pháp thực nghiệm

5 Giả thuyết khoa học

Nếu tiến hành vận dụng phương pháp DH PH và GQVĐ vào DH chủ

đề nguyên hàm, tích phân ở lớp 12 dựa trên những định hướng tư tưởng chủđạo nhất định thì sẽ giúp cho học sinh rèn luyện được năng lực giải toán vàgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này

6 Đóng góp của Luận văn

6.1 Trên cơ sở tổng hợp những vấn đề về lý luận của năng lực giải toán,các phương pháp DH tích cực (trong đó chú trọng phương pháp DH PH vàGQVĐ), Luận văn đưa ra được một số định hướng vận dụng phương pháp PH

và GQVĐ vào chủ đề nguyên hàm, tích phân nhằm bồi dưỡng năng lực giảitoán, khích lệ, phát huy được những hoạt động tự chủ, tìm tòi sáng tạo giảiquyết vấn đề của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức

6.2 Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện cho HS nănglực giải toán theo định hướng PH và GQVĐ vào giải bài tập nguyên hàm, tíchphân

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tham khảo luận văn gồm có

3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về giải toán ở trường phổ thông

1.2 Năng lực, năng lực giải toán theo định hướng phát hiện và giảiquyết vấn đề

1.3 Vị trí và vai trò của chủ đề nguyên hàm, tích phân trong chươngtrình toán phổ thông

1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đềnguyên hàm, tích phân cho học sinh trường phổ thông hiện nay1.5 Kết luận chương 1

Chương 2 Các biện pháp sư phạm góp phần rèn luyệnnăng lực giải toántheo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện năng lực giải toán qua việc hình thành kỹnăng nhận dạng và thể hiện trong giải toán nguyên hàm, tích phân

2.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong tính nguyên hàm,tích phân

2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện năng lực giải toán qua phát hiện và giảiquyết vấn đề

2.4 Biện pháp 4: Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin trong dạyhọc tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay

2.5 Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chương 3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về giải toán ở trường phổ thông

1.1.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn học Toán Thông quagiải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạtđộng Toán học phức hợp, những hoặc động trí tuệ phổ biến trong Toán học,những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ [21, tr 97].Cũng theo Nguyễn Bá Kim thì hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mụctiêu, nội dung, và phương pháp DH được thể hiện trên 3 bình diện:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập toán học ở trường phổthông là giá mang những hoạt động (đó là những hoạt động cơ sở làm nềntảng cho những hoạt động khác) mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiệnmức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thực hiện những chứcnăng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụthể là:

- Hình thành, cũng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhautrong quá trình DH, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hìnhthành những phẩm chất trí tuệ;

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức của người lao động mới [21,tr 386]

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giámang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương diện cài

đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đượctrình bày trong phần lý thuyết [21,tr 387]

Thứ ba, trên bình diện phương pháp toán học, bài tập toán học là giámang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽgóp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.[21, tr 387]

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khácnhau về phương pháp toán học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt là về mặt kiểm tra,bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làmviệc độc lập và trình độ phát triển của HS, Một bài tập cụ thể có thể nhắmvào một hay nhiều dụng ý trên

1.1.2 Chức năng phát triển bài tập toán trong dạy học giải bài tập

- Chức năng phát triển: Các bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của

HS, đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tưduy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Các bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy vàhọc, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Trong thực tế dạy học giải bài toán, các chức năng trên không bộc lộ mộtcách riêng lẻ và tác rời nhau Khi ta nói đến một chức năng này hay chứcnăng khác của bài tập cụ thể ta hiểu là hàm ý nói về việc thực hiện chức năng

ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai, còn các chức năng khácđược biểu hiện một cách ẩn tàng, nhưng đều hướng đến việc thực hiện nộidung, mục đích DH

Vì thế có thể nói rằng tổ chức việc dạy giải bài tập toán (hoạt động giảitoán) có tác dụng quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong phạm vi của Luận văn, chúng tôi chỉ giới thiệu cách khai thác chứcnăng phát triển của bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư PH năng lực giảitoán cho HS Qua đó khi học chủ đề nguyên hàm, tích phân HS có khả năngphát triển những bài toán đã học thành những bài toán tương tự hay bài toántổng quát, từ đó HS có thể tự phân dạng hệ thống hóa bài tập một cách dễdàng từ đó nâng cao năng lực giải toán

Ví dụ 1: Xét bài toán tìm nguyên hàm f x( ) sin 3x

Với biến đổi sin3xdxsin sin x2x dx(1 cos )sin x2x dx bài toán dễ

dàng giải với phép đổi biến số t c osx,dtsin xdx Khi đã giải được bài toán

đó thì HS cũng có thể giải được sin xdx5 , cos3xdx, cos5xdx… một cáchtương tự Từ đó PH ra dạng tổng quát của bài toán và cách giải tương ứng là:

2 1

os n

c xdx

 với phép đổi biến t sinx,dt cosxdx

Những bài tập dạng như trên vừa giúp HS hệ thống hóa kiến thức vừa giúp

HS phát triển năng lực tư duy tương tự hóa, khái quát hóa

Các con đường khai thác chức năng phát triển của bài tập toán:

- Theo quan điểm Nguyễn Bá Kim “dạy học trong hoạt động và bằnghoạt động” và dựa vào nội dung DH, việc khai thác chức năng phát triển củabài toán cần được thực hiện bằng những con đường sau:

- Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS nhữnghoạt động toán học phức hợp Đó là những hoạt động như chứng minh, giảibài toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, tìm tập hợp điểm,

- Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS nhữnghoạt động như lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, nghiệm duynhất, nhiều nghiệm), phân chia trường hợp, hoạt động tư duy hàm, mô hìnhhóa và thể hiện

- Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS nhữnghoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, kháiquát hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa,

- Thông qua DH giải bài tập toán, tăng cường rèn luyện cho HS nhữnghoạt động ngôn ngữ Đó là những hoạt động được tiến hành khi HS được yêucầu phát biểu định nghĩa, định lý, mệnh đề toán học, giải thích hoặc biến đổimột mệnh đề toán học

Ví dụ 2: Tính tích phân

1 2 1

2 1 1

Khi nghĩ đến một bài toán tương tự thì bài toán cũng có thể giải với căn

bậc 3, bậc 4 … suy ra bài toán tổng quát

1 2 1

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Các yêu cầu đối với lời giải bài toán là:

- Lập luận chặt chẽ Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:Luận đề phải nhất quán;

Luận cứ phải đúng;

Luận chứng phải hợp lôgic;

Lời giải đầy đủ; Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót mộttrường hợp, một chi tiết cần thiết nào

- Ngôn ngữ chính xác Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt racho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầunày

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật Yêu cầu này đặt ra đối với cả lờivăn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ số, hình, kí hiệu,…) tronglời giải

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.[21,tr 388]Đối với bài tập nguyên hàm, tích phân thì với những cách đổi biến số khácnhau hay lựa chọn phương pháp tính khác nhau thì lời giải sẽ khó dễ ngắn dàikhác nhau Vì vậy sau khi giải xong cần yêu cầu HS phân tích kĩ lời giải, cáccách giải để lựa chọn lời giải thích hợp

Bài toán này có thể giải bằng hai cách đổi biến số:

Cách 1 Đổi biến

2 2

1

1 1

2 1

Cách 2 Từ hai cách đổi biến trên ta có thể gộp lại thành phép đổi biến

ln 1

I x x dx

Khi nhìn vào bài toán này tùy vào cảm nhận hay dự đoán của HS có thể

làm theo hai hướng:

Hướng 1: Vì hàm số sau dấu nguyên hàm có chứa cả x và x2 nên ta có thểtính tích phân bằng cách đổi biến số t  1 x2

Hướng 2: Vì hàm số sau dấu nguyên hàm chứa hai loại hàm khác nhau nên ta

có thể tính tích phân đã cho bằng cách tích phân từng phần với cách đặt

1 ln 2

Đây là bài toán cơ bản của phương pháp tích phân từng

1.1.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaPôlya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức đề bài để hiểu rõ nội dung bài toán;

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.[21,tr.387]

Để làm những việc đó thì GV có thể sử dụng các câu hỏi để HS tìm hiểu đềbài chẳng hạn:

- Đâu là cái phải tìm, Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điềukiện có trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

- Hay vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công thức hay không?

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, PH cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biếnđổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặccái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bàitoán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay mộtbài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với dạngtoán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quytích v.v,

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liênquan,

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được một cáchgiải hợp lí nhất

Các câu hỏi GV có thể sử dụng để HS tìm lời giải là:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở mộtdạng hơi khác?

- Hay xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùngcái chưa biết hay có cái cho biết tương tự

- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng mộtđịnh lí nào đó không?

- Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể

sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụngphương pháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thìmới áp dụng được bài toán đó hay không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khácnữa? Quay về những định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì thử giải một bài toán cóliên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợpriêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không?Hay giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xácđịnh đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ranhưng điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không?

Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao chocái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiệnhay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗibước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán haykhông?

- Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếpngay kết quả không?

- Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ralời giải ngắn gọn và hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trìnhgồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Để trình bày lời giải thích hợp nhất HS cần chú ý:

- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước2.

- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, pháthiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

GV có thể sử dụng câu hỏi: Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đócho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nàokhác hay không? [21, tr.393-395]

Ví dụ 4: Phân tích tìm lời giải bài toán tính tích phân:

2 2

dx I

Hàm số sau dấu tích phân có chứa căn thức và không thể tính nguyên hàmngay theo công thức được Cần biến đổi hàm số hoặc áp dụng phương pháp tínhtích phân

Bước 2 Tìm lời giải

Bài toán giống bài toán nào? Hay với những bài toán chứa căn thức ta haylàm như thế nào?

Bài toán có phần giống với bài toán

2

2 1

Dự đoán cách giải:

Nếu giải theo phương pháp đổi biến số thì ta sẽ đổi biến như thế nào?

Dự đoán là đặt t 1x2 Nếu ta có thể biến đổi 1 2

dx

x x về dạng f t dt( ) mà

ta có thể tìm được nguyên hàm của f t( ) thì bài toán giải được theo cách này.Bước này có thể hiểu là thiết lập mối quan hệ của những lượng chưa biết với ẩn.Thực hiện biến đổi t 1x2  t2  1 x2  2tdt2xdx tdt xdx Tới đây tagặp khó khăn vì ta chưa có xdx Vì vậy ta phải biểu diễn x theo t từ t 1x2

suy ra x t21 Tóm lại ta đưa bài toán về dạng

2 2

1

1 1.

tdt

dt t

về bài toán đã biết đó hay không?

GQVĐ: Có thể biến đổi như vậy bằng hai cách như sau:

Cách 1: Dự đoán để đưa mẫu về bậc 1 thì tử phải tạo ra một lượng bậc 1 để rồiđơn giản cho tử số tức là tạo ra các nhân tử t1,t1 suy ra cách biến đổi

Cách 2: Để tạo ra một đa thức bậc hai ta có thể nhân hai biểu thức bậc 1 vớinhau, còn để tạo ra một phân thức có mẫu bậc hai ta cũng có thể nhân hai phânthức có mẫu bậc 1 hoặc cộng hai phân thức có mẫu bậc 1 Với bài toán này tachọn cách cộng hai phân thức bậc 1 vì ta có nguyên hàm của tổng và không cónguyên hàm của tích Như vậy để giải quyết vấn đề ta phải tìm hai số a b, sao

Bước 4 Nghiên cứu sâu lời giải

Ứng dụng của lời giải: Bài toán này cho ta một kinh nghiệm để giải tích phân

của những hàm chứa căn thức và cách giải dạng toán ax2

Bài toán tương tự, mở rộng trong bài toán trên thì ứng với mỗi cáchchọn x là một hàm sẽ cho ta một bài toán tương tự:

- Theo Nguyễn Huy Tú [42, tr.11]: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực

được nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tácđộng của giáo dục và đào tạo Nó cho phép con người giải quyết được nhữngyêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”

Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nóiriêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp Chính vì lẽ

đó đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo

dục vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.

“…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt độngtâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giảiquyết được (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mớinào đó của cuộc sống” - Nguyễn Huy Tú [42, tr.11]

- X.L.Rubinxtein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lýlàm cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”

- X Roegiers [35, tr.90]: “Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác độngmột cách tự nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giảiquyết những vấn đề do tình huống đặt ra”

Phạm Minh Hạc [9, tr.145] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểmtâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo

ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

Theo Nguyễn Huy Tú [42, tr.12]: “Năng lực của con người thường được

phân ra thành các năng lực chung như hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động

khoa học - công nghệ, hoạt động giáo dục dạy học, hoạt động kinh doanh…

và năng lực chuyên biệt như ca hát, thể thao, hội họa…”.

“…Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếp nhận vàthực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tính độc đáocủa hoạt động giải quyết những vấn đề mới…”

Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng:Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kỹ năng) của con người để thựchiện thành công một hoạt động nào đó Năng lực gắn với khả năng hoàn thànhmột hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết nhữngyêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức

độ Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhauthì năng lực cũng khác nhau

1.2.2 Năng lực toán học

Theo V.A.Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập ( tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán ở trường phổ thông, nắm mộtcách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cáchtuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới nănglực sáng tạo Có nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học mộtđộc lập, sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm

ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độclập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bàitoán không mẫu mực…

Với mức độ HS trung bình và khá, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận nănglực toán học theo góc độ thức nhất (năng lực học Toán) Sau đây là một sốđịnh nghĩa về năng lực Toán học của TS Trần Luận

Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá

nhân ( trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt độngtoán học và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp choviệc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và

kỹ xảo toán học

Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học

Năng lực học tập toán học ở mỗi HS là khác nhau, nó hình thành vàphát triển trong quá trình học tập và luyện tập của mỗi cá nhân Vì thế, Trong

dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực

toán học Về vấn đề này nhà Toán học Xô-viết, Viện sĩ A.N.Kôlmôgôrôv chorằng: “Năng lực bình thường của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu,

nắm được Toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầygiáo với sách tốt”.

1.2.3 Sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề để rèn luyện năng lực giải toán

1.2.3.1 Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS trung học phổ thông

Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán là năng lực năng lực hoạtđộng trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tínhhướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằmtìm ra lời giải của bài toán sau một số bước thực hiện

Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa PH phương phápgiải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoà vớinhau Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành,phát triển được năng lực PH phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo.Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứuToán học nói chung - giải Toán nói riêng Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người có

óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặtra"

Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo ởnhững mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành thành tốcủa năng lực PH phương pháp giải Toán khi học sinh đứng trước một bàiToán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thứcgiải quyết Trong quá trình phát triển năng lực PH phương pháp giải Toán cầnchú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua việc tìmkiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định Ta thấyrằng:

- Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phươngpháp, quy trình thủ thuật mà học sinh sử dụng để giải Toán sẽ là những điềuquan trọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặcbiệt chú ý trong chương trình môn Toán.

- Khi giải Toán được xem như một kĩ năng cơ bản thì khả năng lựa chọncác phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HSphải học khi GQVĐ

Từ góc độ tâm lý học có thể hiểu năng lực PH phương pháp giải Toán của

HS là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội tri thức, cókhả năng huy động các kiến thức, các kĩ năng khoa học, các thủ pháp nhậnthức, các cách thức GQVĐ trong hoạt động giải Toán, hướng đến việc gópphần hình thành các phẩm chất tư duy có tính mới mẻ (hình thành nhân cáchlao động) với bản thân HS Năng lực sáng tạo của HS trong việc PH phươngpháp giải Toán được bộc lộ rõ trong hoạt động giải Toán, khi giải quyết cáckhâu trong tiến trình giải Toán Bàn về quá trình sáng tạo khoa học, có thể xemxét sự sáng tạo dưới dạng chu trình mở, trong đó nhấn mạnh: "Kiến thức sángtạo khoa học được xây dựng khi có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giảiđáp cho một câu hỏi, một bài tập mà việc tìm tòi lời giải chính là phải tìm tòimột cái mới chứ không thể chỉ đơn thuần là sự lặp lại các kiến thức và cáchthức hoạt động đã quen thuộc đã biết” - G.Pôlya

1.2.3.2 Bản chất, các thành phần đặc trưng của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán

a) Bản chất của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Thực chất cơ bản

bên trong của năng lược PH phương pháp giải toán gồm các thành tố:

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài Toán, luôn nhìn bài Toán ở nhiềugóc độ và tìm tòi các hướng giải khác nhau

- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, xử

lý sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó các vấn

đề cần giải quyết Từ đó đề ra chiến lược giải Phân tích, nghiên cứu, đánh giákết quả của tiến trình giải Toán và áp dụng phương pháp đó cho các dạngToán tương tự

- Có khả năng tiên liệu các tình huống vấn đề sẽ nảy sinh cùng với cácchiến lược giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp

b) Các thành phần của năng lực PH phương pháp giải Toán

- Lĩnh vực cảm xúc: Khát vọng phát hiện được phương pháp giải và giải được bài Toán, thể hiện ở sự kiên trì về mặt ý chí và hứng thú, say mê trong giải Toán.

- Lĩnh vực nhận thức.

+ Năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong việc phát hiện phương pháp giải Toán: Hiểu bài toán (thu nhận, xử lý, lưu trữ thông tin ), lĩnh hội được tiến trình giải một bài toán.

+ Khả năng xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến thuật giải một bài toán.

+ Năng lực khái quát hóa, PH các vấn đề mới trong các bài toán quen thuộc Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, các phương pháp giải mới.

+ Năng lực PH những thuộc tính chung, bản chất tạo nên nội hàm của bài toán thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái quát hoá đặc biệt hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hoá,…

+ Năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thống hóa kiến thức về giải Toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên hướng về thao tác với các số liệu về giải Toán: ký hiệu, dấu, số, dữ liệu, điều kiện, giả thiết, kết luận Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic,

tư duy sáng tạo Có tốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải Toán.

+ Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướng khác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toán học, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán một cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán.

+ Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải từ những tiền đề cho trước.

c) Đặc trưng của Năng lực PH phương pháp giải Toán: Là tập hợp tất cảnhững nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt với cácnăng lực khác, gồm:

- Năng lực PH phương pháp giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tưduy tích cực, độc lập, sáng tạo của chủ thể (HS); tận lực huy động tri thức vàkinh nghiệm trong tiến trình giải Toán để đi đến lời giải; để tìm được hướnggiải quyết bài toán đã cho và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bàitoán ban đầu

- Năng lực PH phương pháp giải toán của chủ thể (HS) luôn thể hiện ở

"trạng thái động" ở tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổicác phương thức khác nhau để giải bài toán

- Năng lực PH phương pháp giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích vàtính kết quả cao: PH, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi hướng giải để đi đến kết quảcủa bài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực PH phương phápgiải Toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra.

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp

giải Toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp

đó để hoàn tất tiến trình giải Toán

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh

các vấn đề, tình huống vấn đề, các nhu cầu hoặc khó khăn, mâu thuẫn cần giảiquyết trong bài toán và việc "phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đềtrong tiến trình giải Toán

Ví dụ 5: Phân tích tìm lời giải bài toán tính các tích phân sau:

a)

3 2

2 0

os2 (sinx cos 2)

dx x





Phân tích bài toán

a) Ứng với mức độ 1 (Tập trung vào đáp ứng yêu cầu của bài toán)

Để đáp ứng yêu cầu của bài toán thì chỉ cần xem xét dạng bài toán có chứasinx và một hàm theo cos x nên ta đổi biến sốtcosx Khi đó bài toán đưa về

0 1

t dt t

quả tri thức phương pháp đó Tri thức phương pháp ở đây là những bài toán

có dạng f u u x dx( ) '( ) thì ta có thể giải bằng cách đổi biến t u x ( ) Suy ra vấn

đề cần giải quyết làm việc lựa chọn u x( ) thích hợp Vì dưới mẫu là 1 cos2x

nên trước hết biến đổi tử thành cos sinx.cos 2x x dx Vì(1cos ) '2x 2sin cosx xnên ta chọn phép đổi biến t  1 cos2x

Suy ra I=

2 1

có hiệu quả hơn nhiều

b) Ngay từ đầu HS không thể nào nhận ra được phương pháp giải thíchhợp cho bài toán này Cho nên trước hết phải dự đoán phương pháp giải từ

bên trong hàm số cần tính tích phân 3

os2 (s inx cos 2)

có 3 công thức biến đổi cos2x 2cos2x 1 hoặc cos2x=1-2sin2x hoặc

os2 os sin

c x c x x Việc lựa chọn công thức biến đổi quyết định đến bài toán

có giải được hay là không Tới đây phải dự đoán là chọn cos2x c os2x sin2 xvìcông thức này có liên quan tới mẫu đó là có chứa nhân tử s inx cos x Từ tiênliệu này ta biến đổi bài toán về dạng

2

2 0

(sinx cos )( inx+ cos )

Bài toán trở thành

4

3 0

os2 (sinx cos 2)

dx x





2 2 2

2 ln

t dt t

Như vậy điểm mấu chốt của bài toán là việc biến đổi cos2x c os2x sin2x

việc phát hiện ra cách biến đổi này ứng với mức độ 3 ( Tập trung vào việc tiênliệu những điều kiện đã làm nảy sinh các vấn đề)

1.2.4 Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

1.2.4.1 Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán

Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho HS đều liên hệ mậtthiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hànhtrong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó Theo Nguyễn Bá Kim[22], việc phát hiện được những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung

đó vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thờigiúp họ cụ thể hoá được mục đích DH có đạt được hay không và đạt đến mức

độ nào

Đối với HS, trong hoạt động Toán học, mỗi vấn đề được biểu thị thànhcác câu hỏi, yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện Để giảiquyết được nhiệm vụ học toán, HS cần phải tiến hành những hoạt động PH vàgiải quyết những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn, xây dựngkhái niệm, hình thành qui tắc, công thức, chứng minh định lý và giải bài tậptoán Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống đó (dự ở cấp độ nào) cũng cócấu trúc như một bài toán - do đó có thể coi là một bài toán Vì vậy, có thể nóirằng: vấn đề trong học toán là bài toán (theo nghĩa rộng) mà HS chưa biếtđường lời giải

Quá trình nhận thức theo hướng GQVĐ ( cũng giống như quá trình giảiquyết bài toán, nhiệm vụ) có thể chia thành các bước: Tìm hiểu vấn đề ( dự

đoán vấn đề liên quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tựkiểm tra các kết quả và quá trình Trong đó, ở bước đầu và cuối, hoạt độngnhận thức của HS diễn ra thường được bắt đầu bởi tư duy trực giác, trong tìnhhuống đòi hỏi cách tư duy, cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả, xác minhvấn đề, mặt khác ở bước GQVĐ thì hoạt động nhận thức lại diễn ra trong tìnhhuống mà ở đó vấn đề đòi hỏi cách tư duy lôgic, chặt chẽ Như vậy, hoạt độnggiải quyết vấn đề vừa cần tư duy lôgic lại vừa cần tư duy sáng tạo và càngkhông thể thiếu tư duy trực giác.

1.2.4.2 Nội dung của hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán

Giải quyết các vấn đề được nhận định theo nghĩa thông thường là thiếtlập những phương pháp thích ứng để giải quyết các khó khăn, trở ngại Vớinhững vấn đề có độ khó cao hơn, các phương pháp giải quyết cần phải tiến bộhơn khi giải pháp thông thường không thể đáp ứng với hoàn cảnh khó khănnày Một số nhà toán học lớn nhận định rằng hầu hết các kiến thức học hỏiliên quan đến việc giải quyết các vấn đề nói chung và vấn đề khó khăn nóiriêng

Bransford trong nghiên cứu “the IDEAL problem Solver – Con người

lý tưởng giải quyết các vấn đề khó khăn” xuất bản 1984 đó đề nghị năm thànhphần trong việc giải quyết vấn đề là:

Từ cách hiểu vấn đề và GQVĐ ở trường, trong học toán, chung quiquan niệm hoạt động GQVĐ liên quan đến: các hoạt động của HS nhằm nhận

ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệgiữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề là kiến thức và kĩnăng đó có để tiến hành thực hiện các hoạt động toán học (tính toán, biến đổi,suy luận, …) để đi đến lời giải bài toán, thực hiện được yêu cầu của vấn đề.Như vậy, hoạt động giải quyết vấn đề trong dạy học toán bao gồm:

+ PH, huy động kiến thức và phương pháp đó biết liên quan tới nộidung những vấn đề cụ thể trong học toán;

+ PH hướng giải quyết và tiến hành giải quyết những vấn đề toán họcmột cách có kết quả;

+ Vận dụng trong những tình huống học toán tương tự, đặc biệt và kháiquát

Dưới góc nhìn để thấy rõ hơn trong thành phần hoạt động học toán thì

có thể xem hoạt động GQVĐ trong toán học gồm hai hoạt động chính:

+ PH đường lối của bài toán, vấn đề;

+ PH sai lầm nhược điểm trong lời giải;

* GQVĐ trong học toán;

+ Định nghĩa khái niệm; phát biểu định lý;

+ Tiến hành các phép tính toán, suy luận chứng minh;

+ Trình bày lời giải bài toán;

+ Sửa chữa sai lầm, chỉnh sửa cách giải quyết

Đồng thời, có thể thấy rằng, ranh giới giữa hoạt động PH và GQVĐtrong hoạt động nhận thức chỉ là tương đối: trong PH lại có GQVĐ, đểGQVĐ lại cần PH, cứ tiếp tục phát triển như vậy và nâng cao hơn nữa hoạtđộng nhận thức Song ở mỗi bước thì bao giờ cũng PH trước rồi mới giảiquyết sau và hoạt động toán học của HS là sự tổng hoà giữa hoạt động PH vàhoạt động giải quyết, chúng luôn đan xen và tác động tương hỗ lẫn nhau trongquá trình tìm tòi và xác minh kiến thức, hình thành kĩ năng và phương pháptoán học

1.3 Vị trí và vai trò của chủ đề nguyên hàm và tích phân trong chương trình toán phổ thông

Chủ đề Nguyên hàm, Tích phân lớp 12 đối với HS ở trường phổ thôngđược giới thiệu thành một chương trong cuốn sách Giải tích lớp 12 Nội dungcủa nó gồm 3 bài: Bài 1 Nguyên hàm; Bài 2 Tích phân; Bài 3 Ứng dụng củatích phân trong hình học Đồng thời sách giáo khoa còn giới thiệu phần lịch

sử các phép tính tích phân, và cách tính diện tích hình phẳng bằng giới hạn

Với vị trí như thế, chủ đề Nguyên hàm, Tích phân là một chủ đề kháquan trọng vì những lý do sau:

Thứ nhất, nó là một chủ đề nằm trong hệ thống các kiến thức cơ bảncủa giải tích cổ điển mà hầu hết sinh viên có để tiếp tục trong chương trìnhđại học Việc học, giải toán chủ đề này góp phần phát triển tư duy nói chung

và phát triển năng lực toán học nói riêng cho HS

Thứ hai, chủ đề Nguyên hàm, Tích phân có nhiều ứng dụng thực tế nhưtính diện tích hình thang cong, thể tích vật tròn xoay, …

Thứ ba, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, đề thituyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng và các trường Trung họcchuyên nghiệp.

1.4 Một phần thực trạng việc rèn luyện năng lực giải toán chủ đề Nguyên hàm và Tích phân cho HS trường phổ thông hiện nay

1.4.1 Về phía Giáo viên

Thực tiễn dạy học ở trường phổ thông cho thấy chất lượng DH chủ đềNguyên hàm, Tích phân chưa cao, HS nắm kiến thức một cách hình thứcchẳng hạn, sau khi học xong chủ đề Nguyên hàm, Tích phân, nhiều HS khônghiểu gì về bản chất của phép tính tích phân, mặc dù đã dành nhiều thời giancho chủ đề này Do đó việc vận dụng vào thực tiễn là rất khó khăn; chẳng hạn

là HS không đo được diện tích một hồ nước, một mảnh đất có bờ không phải

là đa giác

Phần lớn các GV khi dạy nội dung này chỉ nêu các công thức và rènluyện HS giải các dạng bài tập để chuẩn bị cho các kì thi; không chú trọng về

ý nghĩa bản chất của phép tính tích phân

Những hạn chế trên có nguyên nhân là: nội dung cấu trúc chương trình

và sách giao khoa chưa thật hợp lý, phương pháp DH của GV chưa hợp lý,Chẳng hạn hầu như các tính chất quan trọng của chủ đề Nguyên hàm, Tíchphân không được chứng minh (Ví dụ: Định lý 1 § 3 ), mặc dù chương trình đã

có biện pháp khắc phục thông qua bài đọc thêm: Tính gần đúng của tích phân

và khái niệm tổng tích phân; nhưng số lượng HS có thể đọc và hiểu được làrất ít Mặt khác, hệ thống bài tập và hệ thống bài tập và câu hỏi trong sáchgiáo khoa chỉ đòi hỏi HS ở mức độ đơn giản, áp dụng đơn thuần

Về phần bài tập rất nhiều GV lựa chọn phương pháp làm một vài ví dụmẫu rồi yêu cầu HS làm các bài tập tương tự có trong đề cương, thời lượng

cho việc làm bài tập có thể lên tới 80% tổng thời gian Vẫn biết làm nhiều bàitập sẽ tốt cho HS nhưng nếu HS làm nhiều bài tập theo dạng bài mẫu thì cũngkhông có ý nghĩa gì mấy.

Quan sát GV giảng dạy thì thấy GV thường xem nhẹ phần lý thuyết chỉcoi trọng kĩ năng, kĩ xảo giải bài tập cho HS sinh bằng các ví dụ minh họa rồiyêu cầu HS làm các bài tập tương tự Cũng có GV kiểm tra bài cũ thiên về lýthuyết thì HS mới học lý thuyết và các công thức cần thiết

Việc áp dụng các phương pháp DH mới vào giảng dạy chứa đựng nhiềurủi ro có thể nhiều học DH không hiểu được nội dung bài học, hiểu sai vấn đềthậm chí nhiều HS có cách nghĩ phước tạp hóa khi giải toán

GV thường quan tâm tới cách chia dạng làm bài tập mẫu việc làm nàykhông tốn thời gian, HS làm nhiều bài tập chắc chắn sẽ mang lại hiệu quảnhất định trong các kì thi

Chúng tôi cho rằng với quan niệm như trên chỉ mang hiệu quả nhất thờihọc đối phó học để thi chứ sau đó hoàn toàn không còn đọng lại chút gì trong

HS, không giúp rèn luyện năng lực toán học, khả năng tư duy của HS Ngoàiphương pháp DH trên thì hiện nay có nhiều GV đã áp dụng nhiều phươngpháp DH mới như DH hợp tác, DH kiến tạo hay DH PH và GQVĐ vào DHnguyên hàm, tích phân với kết quả thu được rất tích cực nhưng các phươngpháp trên chưa chú trọng nhiều vào việc rèn luyện năng lực giải bài tập choHS

1.4.2 Về phía Học sinh

Qua sự quan sát và tìm hiểu HS chúng tôi nhận ra thực tiễn việc học của

HS như sau:

- Đa phần HS làm bài tập theo những dạng mẫu mà GV dạy trên lớp, HSgần như không quan tâm đến các nội dung lý thuyết hay lý do tại sao lại giảibài toán như vậy.

- Tài liệu chủ yếu là đề cương do GV phát, ít sử dụng sách giáo khoa haysách tham khảo

Từ phương pháp học như vậy dẫn đến HS thụ động khi giải toán, nếu gặpbài khó hay dạng mà GV chưa hướng dẫn thì gần như HS không làm được vàcũng không biết cách tìm kiếm tài liệu để tìm lời giải

Qua việc nghiên cứu vị trí, vai trò cũng như tìm hiểu thực tế việc DHchủ đề Nguyên hàm, Tích phân ở trường phổ thông, chúng tôi nhận thấy cònnhiều hạn chế, về năng lực giải toán của HS, đồng thời GV chưa chú trọngvào việc dạy chủ đề này theo hướng PH và GQVĐ

Việc tìm hiểu lý luận và thực tiễn những vấn đề trên sẽ là định hướngcho quá trình xây dựng biện pháp sư phạm ở chương 2