chuyên đề đại số lớp 9

Chuyên đề đại số lớp 9định lý vi – et và một số ứng dụng et và một số ứng dụng Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình A.. Song trong trờng hợp tam thức bậc

Chuyên đề đại số lớp 9

định lý vi – et và một số ứng dụng et và một số ứng dụng

Ngời viết : Tạ Phạm Hải

Giáo viên THCS Thị trấn Hng hà , Thái bình

A Kiến thức cần nhớ:

I Nhắc lại một số kiến thức có liên quan

 một số hằng đẳng thức đáng nhớ:

1) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab  a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

2) (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab = (a + b)2 – 4ab  a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab 3) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)  a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 Nhắc lại một số kiến thức có liên quan:

Cho 2 số A và B, khi xét dấu của 2 số này ta có các trờng hợp sau đây:

1) A và B trái dấu  AB < 0

2) A và B cùng dấu  AB > 0

3) A và B cùng dơng  AB > 0

A + B > 0

4) A và B cùng âm  AB > 0

A + B < 0

* Nếu A + B > 0 thì ít nhất một trong 2 số phải dơng

* Nếu A + B < 0 thì ít nhất một trong 2 số phải âm

II Định lý Vi – et: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) thì:

S = x1 + x2 =

P = x1.x2 =

III Một số ứng dụng của định lý Vi – et:

1) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai( có 2 trờng hợp thờng sử dụng)

Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0) (1)

a) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x1 = 1 và x2 = b) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm là: x1 =- 1 và x2=-

2) Tính giá trị một số biểu thức liên quan đến các nghiệm của phơng trình bậc hai

mà không cần tìm nghiệm Ví dụ:

 x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2

b a



c a

c ac a

 (x1 – x2)3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

.v.v

3) Tìm hai số khi biết trớc tổng và tích:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của phơng trình x2 – Sx + P = 0

( ĐK để có hai số u và v là: S 2 – 4P ≥ 0)

4) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:

Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0) (1)

a) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu  ac < 0

b) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu   ≥ 0 và P > 0

c) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng   ≥ 0 và P > 0 và S > 0

d) Phơng trình có 2 nghiệm cùng âm   ≥ 0 và P > 0 và S < 0

e) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm dơng   ≥ 0 và S > 0

f) Phơng trình có ít nhất một nghiệm âm   ≥ 0 và S < 0

B Một số bài toán điển hình:



Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) (1)

Có nghiệm x1 ; x2 thì tam thức f(x) = ax2 + bx + c phân tích đợc nh sau:

f(x) = ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Bài giải

Ta có f(x) = ax2 + bx + c = a x2 – (- )2 +  = a(x – x1)(x – x2)

*ứng dụng của bài toán trên:

 Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử:

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x2 – 5x + 3

b) 3x2 + 8x + 2

Bài giải a) Trớc hết ta giải phơng trình: 2x2 – 5x + 3 = 0

Có a + b + c = 0

 x1 = 1 ; x2 = 3/ 2

* áp dụng kết quả bài toán trên ta đợc:

2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x – 3/ 2)

b a

c a

b) Trớc hết ta giải phơng trình: 3x2 + 8x + 2 = 0

’ = 42 – 3 2 = 10 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm

x1 = ; x2 =

Vậy 3x2 + 8x + 2 = 3( x + )(x + )

* Nhận xét: Với bài toán này ở lớp 8 ta đã biết cách giải đó là: phân tích đa thức

thành nhân tử bằng phơng pháp tách, tuy nhiên với phơng pháp này đôi khi thực

hiện sẽ gặp khó khăn (ví dụ nh câu b) Song trong trờng hợp tam thức bậc hai có

nghiệm, nếu sử dụng kết quả bài toán trên thì bất kỳ tam thức bậc hai nào cũng phân tích đợc thành nhân tử một cách thuận lợi

 Bài toán 2 : Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:

a) 2007x2 – 2008x + 1 = 0 b) x2 – ( 2  3)x + 6= 0

Bài giải a) Ta có a + b + c = 2007 – 2008 + 1 = 0

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = 1 ; x2 = 1 / 2007

* Nhận xét: Với bài toán này, nếu dùng cách giải bằng công thức nghiệm thì

việc tính toán sẽ cồng kềnh, đôi khi dẫn đến kết quả sai Song nhờ ứng dụng của

định lý Vi – et nên việc giải phơng trình trên trở nên nhanh gọn, dễ dàng hơn

 Bài toán 3 :

Cho phơng trình : x2 - x – 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm x1 ; x2 ( giả sử x 2 < 0)

b) Không giải hãy tính giá trị các biểu thức sau:

1) x1 + x2 ; x1.x2 5) x1 – x2

2) 6) x1(1 – x2) + x2( 1 – x1) 3) x1 + x2 7)* A = x1 + 2x2 + 3x1 + 8x2-8 4) x1 - x2 8)* B = x18 10x1  13 + x1

Bài giải 7) x1 là nghiệm của phơng trình (1) nên ta có:

x1 – x1 – 1 = 0  x1 = x1+ 1

x1 = (x1+ 1)2 = x1+ 2x1+ 2 = 3x1 +2

2x2 = 2x2 + 2x2 = 4x2 +2

1 2

1 1

x x

4 10 3

3

 

4 10 3

3



Vậy A = 3x1 + 2 + 4x2+ 2 + 3x1 + 3 + 8x2 – 8

= 6x1 + 12x2 – 1

= 6( x1 + x2) + 6x2 – 1

= 6 1 + 6 x2 – 1 = 5 + 6( ) = 8) x1 = (x1 )2 = 9x1 + 12x1 + 4 = 21x1 + 13

= 21( ) + 13 =

* Chú ý: Trớc khi thực hiện các yêu cầu của bài toán phải kiểm tra xem phơng

trình có nghiệm hay không VD: phơng trình x2 – 2x + 2 = 0 vô nghiệm song vẫn tồn tại biểu thức và biểu thức

* Nhận xét: Với bài toán này nếu dùng cách giải thông thờng: tính cụ thể

nghiệm rồi thay vào biểu thức cần tìm thì việc tính toán rất cồng kềnh, dài dòng, phức tạp, song nhờ định lý Vi – et, ta biểu diễn các biểu thức này thông qua tổng và tích các nghiệm, sau đó mới thực hành tính toán trên các con số, vì vậy việc tính toán sẽ ngắn gọn, chính xác hơn nhiều

 Bài toán 4: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

a) 2 1  và 2 1 

b) 2 và 3 2 1  và 2 1 

c) 0.5 và 2

Bài giải a) Ta có S = 2 1  + 2 1  = 2 2

P = ( 2 1  )( 2 1  ) = 1

Vậy 2 1  và 2 1  là 2 nghiệm của phơng trình x2 - 2 2x + 1 = 0

 Bài toán 5 : Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) (1)

Giả sử phơng trình có 2 nghiệm là x1 và x2 Đặt Sn = x1 + x2 (n  N) a) Chứng minh rằng: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = 0

b) áp dụng: Không khai triển, hãy tính: A =

B =

Bài giải a) Vì x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình (1) nên ta có:

ax2 + bx1 + c = 0 và ax2 + bx2 + c = 0

Ta có: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 + x2n+1) + c(x1 + x2 ) =

= (ax1n+2 + bx1n+1 + cx1 ) + (ax2n+2 + bx2n+1 + cx2 ) = = x1 (ax2 + bx1 + c) + x2 (ax2 + bx2 + c) = 0 (đpcm) c) Đặt x1 = 1- 3 và x2 = 1 + 3 Ta có x1 + x2 = 2; x1.x2 = - 2

c a

2

2



2

2



(2  2) (2  2)

b a



1  3 7 1  37

 x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình: x2 – 2x – 2 = 0.

áp dụng kết quả bài toán trên ta có: Sn+2 – 2 Sn+1 – 2Sn = 0

 Sn+2 = 2Sn+1 + 2Sn

Ta có S0 = x1 + x2 = 2

S1 = x1 + x2 = 2

 S2 = 2S1 + 2S0 = 4 + 4 = 8

S3 = 2S2 + 2S1 = 16 + 4 = 20

S4 = 2S3 + 2S2 = 40 + 16 = 56

S5 = 2S4 + 2S3 = 112 + 40 = 152

S6 = 2S5 + 2S4 = 304 + 112 = 416

A = S7 = 2S6 + 2S5 = 832 + 304 = 1136

Tơng tự ta cũng tính đợc giá trị của biểu thức B

* Nhận xét: Với cách làm trên(ứng dụng của định lý Vi – et), ta đã tính đợc giá trị của biểu thức A không mấy khó khăn Nhng nếu tính trực tiếp bằng cách giải phơng trình bậc hai để tìm nghiệm, rồi khai triển luỹ thừa bậc 7 của nhị thức bậc nhất thì việc tính toán rất phức tạp, mất nhiều thời gian, dễ sai sót

 Bài toán 6 :

Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = 0(1) ( a  0)

có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là (k + 1)2 ac = kb2

Bài giải

* Điều kiện cần: Giả sử phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x1, x2 thoả mãn:

x1 = kx2 hoặc x2 = k x1

Ta có: (k + 1)2ac = kb2  (k + 1) = k

 (k + 1)2kx2 = k(kx2 + x2)2

 (k + 1)2kx2 = k(k + 1) x2 (hiển nhiên đúng)

Vậy (k + 1)2ac = kb2

* Điều kiện đủ: Giả sử có (k + 1)2ac = kb2  (k + 1)2ac - kb2 = 0

Ta có  = b2 – 4ac = b2 – b2 = b2 ≥ 0

Do đó phơng trình luôn có nghiệm Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình(1)

Ta có: (x2 – k x1)(x1 – k x2) = x1x2 – kx2 - k2x1 + k2x1x2

= x1x2 – k(x1 + x2)2 – 2x1x2 + k2x1x2

= + k2

= (ac – kb2 + 2kac + k2ac ): a2

c a

2

4 ( 1)

k

k 

2

1 1

k k





2

2 2

k

c a

2

b a



 

 

 

= = 0.

 (x2 – k x1)(x1 – k x2) = 0  x2 = kx1 hoặc x1 = kx2(đpcm)

 Bài toán 7 : Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là

- 1 và 2 Viết phơng trình đờng thẳng AB

Bài giải

 Cách 1: (giải thông thờng) Ta có A (P) và xA = - 1  yA = 1 A(- 1;1) B(P) và xB = 2 yB = 4  B( 2; 4)

Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b Ta có hệ phơng trình:

- a + b = 1 2a + b = 4 Giải hệ trên ta đợc a = 1 và b = 2 Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: y = x + 2

 Cách 2: (Sử dụng định lý Vi - et).

Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 – ax – b = 0 (1)

Có xA = - 1 ; xB = 2 là 2 nghiệm của phơng trình Theo định lý Vi – et ta có:

xA + xB = a = - 1 + 2 = 1 ; xA xB = - b = - 2

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: y = x + 2

 Bài toán 8 : Cho (P): y = Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại

điểm A có hoành độ là 2

Bài giải

* Cách 1 (Giải thông thờng)

*Ta có A  (P) và xA = 2  yA = 1 A(2; 1)

Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d)

Ta có A  (d)  2a + b = 1  b = 1 – 2a

Xét phơng trình hoành độ giao điểm : ax + b =  x2 – 4ax – 4b = 0 (1) *(d) tiếp xúc (P)  phơng trình (1) có nghiệm kép

 ’ = 0  4a2 + 4b = 0  4a2 – 8a + 4 = 0  a = 1

 b = - 1 Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1

* Cách 2: (Sử dụng định lý Vi – et)

Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d)

2

(k 1) ac kb a

2

4

x

2

4

x

Vì (d) tiếp xúc (P) nên phơng trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép và nghiệm kép đó là xA = 2 Khi đó theo định lý Vi – ét có:

4a = 4 a = 1

4 = - 4b b = - 1

Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là y = x - 1

 Bài toán 9 : Tìm độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi là 50 m và diện

tích là 150 m2

Bài giải Gọi x và y là độ dài các cạnh của hình chữ nhật ( ĐK: x > y > 0) Theo bài ra ta có hệ phơng trình:

x + y = 25

xy = 150

Vậy x, y là nghiệm của phơng trình t2 – 25 t + 150 = 0

’ = 252 – 4.150 = 25 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm là t1 = = 15; t2 = = 10

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 15 m, chiều rộng hình chữ nhật là 10 m

 Bài toán 10 : Cho 2 phơng trình bậc hai: x2 – 2x – m2 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi m  0

b) Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình: m2x2 + 2x – 1 = 0 (2)

Bài giải a) Ta có ac =- m2 < 0  m  0

Vậy phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu  m  0

b)* Cách 1(Giải thông thờng):

Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1 và x2 Khi đó ta có: x2 – 2x1 – m2 = 0

Vì m  0 nên x1  0 và x2  0, khi đó chia cả 2 vế của phơng trình cho m2 ta đ-ợc:

= 0  = 0 chứng tỏ là nghiệm của phơng trình (2)

* Cách 2( ứng dụng định lý Vi – et):

Giả sử phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1 và x2 Khi đó theo định lý Vi – et ta có:



25 5 2

2



2

1 1

2

 

1

1

x

2

2 1

m

x  x 

x1+x2 = 2

x1 x2 = - m2

Ta có: ;

Vậy và là nghiệm của phơng trình x2- x + = 0  m2x2 + 2x – 1 = 0

VI Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho phơng trình mx2 – 2 (m – 2)x + m – 3 = 0 (1) Tìm giá trị của m

để:

a) Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt

c) Phơng trình chỉ có 1 nghiệm âm

d) Phơng trình có 2 nghiệm đối nhau

e) Phơng trình có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau f) Phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 2: Cho phơng trình x2 + mx + 2m – 4 = 0 Tìm các giá trị của m để:

a) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm âm

b) Phơng trình có ít nhất 1 nghiệm dơng

c) Phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn T = x1 + x2

đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 3: Chứng minh điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có nghiệm này gấp 2008 lần nghiệm kia là 20092ac = 2008 b2

Bài 4: Cho Parabol(P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = mx + 1 Xác định m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(xA; yA) và B(xB; yB) sao cho:

a) (xA – 1)2 + (xB – 1)2 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Độ dài AB là ngắn nhất

Bài 5: Giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình x2 + ax + b = 0

a) Không giải hãy tính theo a và b các biểu thức:

* A = * B = x1  x2

* C = (2x1 + x2)(2x2 + x1) * D = x1 + x2

b) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là:

* 2x1 + x2 và 2x2 + x1

* x1 + x2 và x1 + x2

1 2

2

x x x x m

1 2 1 2

.

x x x x m



1

1

x 1

1

2

m



2

1

m



1 2

2 1

x x

x  x

* Gîi ý: Bµi 1- C©u c) Ta xÐt 3 trêng hîp:  Trêng hîp 1: XÐt m = 0, m = 3.

 Trêng hîp 2: Ph¬ng tr×nh chØ cã 1nghiÖm ©m  ac < 0

 Trêng hîp 3: Ph¬ng tr×nh chØ cã 1nghiÖm ©m  m  0  = 0

- b/ a < 0

c/ a > 0